离散系统时域描述差分方程

离散系统时域描述差分方程演示文稿目前一页\总数五十二页\编于十六点（优选）离散系统时域描述差分方程目前二页\总数五十二页\编于十六点3.1.2差分方程差分方程是确定时间序列的方程

连续系统微分用差分代替一般离散系统的差分方程：差分方程还可用向后差分表示为：代替代替目前三页\总数五十二页\编于十六点3.1.3线性常系数差分方程的迭代求解差分方程的解也分为通解与特解。通解是与方程初始状态有关的解。特解与外部输入有关，它描述系统在外部输入作用下的强迫运动。例3-1已知差分方程，试求解：采用递推迭代法，有：目前四页\总数五十二页\编于十六点例3-1采用MATLAB程序求解解序列为：k=0，1，…，9时，n=10;%定义计算的点数c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0；%定义输入输出和点数的初值fori=2:nc(i)=r(i)+0.5*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1;endplot(k,c,′k:o′)%绘输出响应图，每一点上用o表示MATLAB程序：c=0，1.0000，1.5000，

1.7500，1.8750，

1.9375，1.9688，

1.9844，1.9922，

1.9961，……差分方程的解序列表示说明：另一个求解方法是利用z变换求解。目前五页\总数五十二页\编于十六点3.1离散系统时域描述——差分方程3.2z变换

3.3脉冲传递函数3.4离散系统的方块图分析3.5离散系统的频域描述3.6离散系统的状态空间描述3.7应用实例目前六页\总数五十二页\编于十六点3.2.1z变换定义1.z变换采样信号采样信号的z变换注意：z变换中，z-1代表信号滞后一个采样周期，可称为单位延迟因子。目前七页\总数五十二页\编于十六点采样脉冲序列进行z变换的写法：在实际应用中，对控制工程中多数信号，z变换所表示的无穷级数是收敛的，并可写成闭和形式。z的有理分式：z-1的有理分式:零、极点形式：目前八页\总数五十二页\编于十六点2.z反变换求与z变换相对应的采样序列函数的过程称为z反变换。z反变换唯一，且对应的是采样序列值。

z变换只能反映采样点的信号，不能反映采样点之间的行为。目前九页\总数五十二页\编于十六点3.2.2z变换的基本定理1．线性定理2．实位移定理（时移定理）(1)右位移（延迟）定理(2)左位移（超前）定理3．复域位移定理

目前十页\总数五十二页\编于十六点3.2.2z变换的基本定理4．初值定理5．终值定理

若存在极限，则有：假定函数全部极点均在z平面的单位圆内或最多有一个极点在z=1处，则

目前十一页\总数五十二页\编于十六点3.2.3求z变换及反变换方法1.z变换方法(1)级数求和法(根据定义)例3-6求指数函数的z变换

目前十二页\总数五十二页\编于十六点利用s域中的部分分式展开法1.z变换方法(2)F(s)的z变换（L反变换）

(z变换)(采样)例3-7试求的z变换。解：另一种由F(s)求取F(z)的方法是留数计算方法。本书对此不予讨论目前十三页\总数五十二页\编于十六点利用MATLAB软件中的符号语言工具箱进行F(s)部分分式展开已知，通过部分分式展开法求F(z)。F=sym(′(s+2)/(s*(s+1)^2*(s+3))′)；

%传递函数F(s)进行符号定义[numF,denF]=numden(F)；%提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%将分母转化为一般多项式pdenF=sym2poly(denF)；%将分子转化为一般多项式[R,P,K]=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展开MATLAB程序：运行结果：R=0.0833-0.7500-0.50000.6667P=-3.0000-1.0000-1.00000K=[]（此题无K值）对应部分分式分解结果为：目前十四页\总数五十二页\编于十六点1.z变换方法(3)利用z变换定理求取z变换式例3-8已知f(t)=sint的z变换的z变换。解：利用z变换中的复位移定理可以很容易得到

试求目前十五页\总数五十二页\编于十六点1.z变换方法(4)查表法实际应用时可能遇到各种复杂函数，不可能采用上述方法进行推导计算。实际上，前人已通过各种方法针对常用函数进行了计算，求出了相应的F(z)并列出了表格，工程人员应用时，根据已知函数直接查表即可。具体表格见附录A。

部分分式

查表求和

部分分式

查表求和

目前十六页\总数五十二页\编于十六点2.z反变换方法(1)查表法（可以直接从表中查得原函数）如已知z变换函数F(z)，可以依F(z)直接从给定的表格中求得它的原函数f*(t)。目前十七页\总数五十二页\编于十六点2.z反变换方法(2)部分分式法（较复杂，无法直接从表格中查其原函数）

部分分式

查表求和

查表目前十八页\总数五十二页\编于十六点部分分式法例子例3-9求下式的z反变换MATLAB程序：Fz=sym(′(-3*z^2+z)/(z^2-2*z+1)′)；%进行符号定义F=Fz/′z′；[numF,denF]=numden(F)；%提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%将分母转化为一般多项式pdenF=sym2poly(denF)；[R,P,K]=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展开查表可得其中目前十九页\总数五十二页\编于十六点2.z反变换方法(3)幂级数展开法（长除法）例3-10已知，求对该例，从相关系数中可以归纳得：目前二十页\总数五十二页\编于十六点3.2.4差分方程z变换解法例3-11用z变换法求差分方程利用z变换求解线性常系数差分方程，将差分方程的求解转换为代数方程的求解c(k+2)-3c(k+1)+2c(k)=4k解：(1)对每一项做z变换(2)归纳整理特解通解

(3)z反变换查表得部分分式展开假设初始条件为零，上式第2项为零目前二十一页\总数五十二页\编于十六点3.1离散系统时域描述——差分方程3.2z变换

3.3脉冲传递函数

3.4离散系统的方块图分析

3.5离散系统的频域描述3.6离散系统的状态空间描述

3.7应用实例

目前二十二页\总数五十二页\编于十六点3.3.1脉冲传递函数的定义定义：在初始条件为零时，离散系统脉冲传递函数又称为z传递函数输出量z变换输入量z变换输出的采样信号：图3-6脉冲传递函数目前二十三页\总数五十二页\编于十六点3.3.2脉冲传递函数特性离散系统脉冲传递函数的求取离散系统的脉冲传递函数可以看作是系统输入为单位脉冲时，其脉冲响应的z变换。若已知采样系统的连续传递函数G(s)，当其输出端加入虚拟开关变为离散系统时，其脉冲传递函数可按下述步骤求取：

（1）对G(s)做拉氏反变换，求得脉冲响应（2）对采样，求得离散系统脉冲的响应为（3）对离散脉冲响应做z变换，即得系统的脉冲传递函数为几种脉冲传递函数的表示法均可应用脉冲传递函数完全表征了系统或环节的输入与输出之间的特性，并且也只由系统或环节本身的结构参数决定，与输入信号无关。目前二十四页\总数五十二页\编于十六点3.3.2脉冲传递函数特性2.脉冲传递函数的极点与零点极点当G(z)是G(s)由通过z变换得到时，它的极点是G(s)的极点按z=e-sT的关系一一映射得到。由此可知，G(z)的极点位置不仅与G(s)的极点有关，还与采样周期T密切相关。当采样周期T足够小时，G(s)的极点都将将密集地映射在z=1附近。零点G(z)的零点是采样周期T的复杂函数。采样过程会增加额外的零点。若连续系统G(s)没有不稳定的零点，且极点数与零点数之差大于2，当采样周期较小时，G(z)总会出现不稳定的零点，变成非最小相位系统。

有不稳定零点的连续系统G(s)，只要采样周期取得合适，离散后也可得到没有不稳定零点的G(z)

。目前二十五页\总数五十二页\编于十六点3.3.3差分方程与脉冲传递函数1.由差分方程求脉冲传递函数已知差分方程，设初始条件为零。两端进行z变换脉冲传递函数系统的特征多项式系统输出目前二十六页\总数五十二页\编于十六点3.3.3差分方程与脉冲传递函数2.由脉冲传递函数求差分方程z反变换z反变换目前二十七页\总数五十二页\编于十六点3.1离散系统时域描述——差分方程3.2z变换

3.3脉冲传递函数

3.4离散系统的方块图分析

3.5离散系统的频域描述3.6离散系统的状态空间描述

3.7应用实例

目前二十八页\总数五十二页\编于十六点3.4.1环节串联连接的等效变换1.采样系统中连续部分的结构形式并不是所有结构都能写出环节的脉冲传递函数目前二十九页\总数五十二页\编于十六点3.4.1环节串联连接的等效变换2.串联环节的脉冲传递函数目前三十页\总数五十二页\编于十六点3.4.1环节串联连接的等效变换3.并联环节的脉冲传递函数根据叠加定理有：目前三十一页\总数五十二页\编于十六点3.4.2闭环反馈系统脉冲传递函数图3-10采样控制系统典型结构E(z)=R(z)-B(z)B(z)=G2G3H(z)U(z)E(z)=R(z)-G2G3H(z)U(z)C(z)=G2G3(z)U(z)U(z)=G1(z)E(z)C(z)=G2G3(z)G1(z)E(z)E(z)=R(z)/[1+G1(z)G2G3H(z)]

一般系统输出z变换可按以下公式直接给出：目前三十二页\总数五十二页\编于十六点3.4.3计算机控制系统的闭环脉冲传递函数1.数字部分的脉冲传递函数控制算法，通常有以下两种形式：差分方程脉冲传递函数D(z)连续传递函数脉冲传递函数D(z)(z变换法)(第5章的离散法)目前三十三页\总数五十二页\编于十六点3.4.3计算机控制系统的闭环脉冲传递函数2.连续部分的脉冲传递函数计算机输出的控制指令u*(t)是经过零阶保持器加到系统的被控对象上的，因此系统的连续部分由零阶保持器和被控对象组成。

被控对象传递函数图3-11连续部分的系统结构目前三十四页\总数五十二页\编于十六点3.4.3计算机控制系统的闭环脉冲传递函数3.闭环传递函数的求取例3-12求下图所示计算机控制系统闭环脉冲传递函数，已知T=1秒。

解：T=1s目前三十五页\总数五十二页\编于十六点利用Matlab相应命令进行Z变换c=[00.6321]d=[1.0000-0.3679]MATLAB命令：num=[1];den=[1,1];[c,d]=c2dm(num,den,0.1,'zoh')计算输出即得到目前三十六页\总数五十二页\编于十六点3.4.4干扰作用时闭环系统的输出根据线性系统叠加定理，可分别计算指令信号和干扰信号作用下的输出响应。图3-13有干扰时的计算机控制系统R(s)单独作用时的系统输出[N(s)=0]干扰单独作用时的系统输出[R(s)=0]共同作用时的系统输出目前三十七页\总数五十二页\编于十六点3.1离散系统时域描述——差分方程3.2z变换

3.3脉冲传递函数

3.4离散系统的方块图分析

3.5离散系统的频域描述3.6离散系统的状态空间描述

3.7应用实例

目前三十八页\总数五十二页\编于十六点3.5.1离散系统频率特性定义在离散系统中，一个系统或环节的频率特性是指，在正弦信号作用下，系统或环节的稳态输出与输入的复数比随输入正弦信号频率变化的特性。频率特性定义：图3-14离散系统的频率特性目前三十九页\总数五十二页\编于十六点3.5.2离散系统频率特性的计算离散系统频率特性的指数形式

幅频特性相频特性1.数值计算法——按表达式逐点计算它的幅相频率特性。连续系统：离散系统：例3-13要求绘制它们的频率特性。目前四十页\总数五十二页\编于十六点Matlab符号语言实现Gs=sym(′1/(s+1)′)；%传递函数F(s)T=0.5；[numGs,denGs]=numden(Gs)；%提取分子分母%将分母转化为一般多项式pnumGs=sym2poly(numGs)；pdenGs=sym2poly(denGs)；%Z变换[pnumGz,pdenGz]=c2dm(pnumGs,pdenGs,T,′zoh′)；w=0:0.1:19；[mag,pha]=bode(pnumGs,pdenGs,w)；[dmag,dpha]=dbode(pnumGz,pdenGz,T,w)；fori=1:1:90ifdpha(i)<=-180dpha(i)=dpha(i)+360endendfori=1:1:190ifdpha(i)<=-180dpha(i)=dpha(i)+360；endendfigure(1);plot(w,mag,′blue′);holdon;plot(w,dmag,′red′);Gridon;axis([0,19,0,1.2]);figure(2);plot(w,pha,′blue′);holdon;plot(w,dpha,′red′);Gridon;axis([0,19,-200,200]);目前四十一页\总数五十二页\编于十六点图3-15例3-13的幅频和相频特性曲线目前四十二页\总数五十二页\编于十六点3.5.2离散系统频率特性的计算2.几何作图法目前四十三页\总数五十二页\编于十六点3.5.3离散系统频率特性的特点1.特点(1)周期性：周期为(2)幅频特性为的偶对称(3)相频特性为的奇对称说明：由于离散环节频率特性不是的有理分式函数，在绘制对数频率特性时，不能像连续系统那样使用渐近对数频率特性。

目前四十四页\总数五十二页\编于十六点2.应注意问题离散环节频率特性不是的有理分式函数，在绘制对数频率特性时，不能像连续系统那样使用渐近对数频率特性。(2)离散环节频率特性形状与连续系统频率特性形状有较大差别，特别是当采样周期较大以及频率较高时，由于混叠，使频率特性形状有较大变化，主要表现有:高频时会出现多个峰值；可能出现正相位；仅在较小的采样周期或低频段与连续系统频率特性相接近。目前四十五页\总数五十二页\编于十六点3.1离散系统时域描述——差分方程3.2z变换

3.3脉冲传递函数

3.4离散系统的方块图分析

3.5离散系统的频域描述3.6离散系统的状态空间描述

3.7应用实例

目前四十六页\总数五十二页\编于十六点3.7应用实例求下图所示天线计算机控制系统的闭环传递函数、状