图与网络模型图论数学建模

图与网络模型瑞士数学家欧拉在1736年发表了一篇题为“依据几何位置的解决方法”的论文，有效地解决了哥尼哥尼斯堡“七桥问题”，这是有史以来的第一篇图论论文，欧拉被公认为图论的创始人。18世纪的哥尼斯堡城中流过一条河。河上游七座桥连接着河的两岸和河中的两个小岛。当时那里的人们热衷于这样的游戏：一个游者怎样才能一次连续走过这七座桥而每座桥只走一次，回到原出发点。没有人想出这种走法，又无法说明走法不存在，这就是著名的“七桥”难题。欧拉将这个问题归结图论的问题。他用A,B,C,D四点表示河的两岸和小岛，用两点间的连线表示桥。七桥问题变为：从A,B,C,D任意点出发，能否通过每条边一次且仅一次，再回到原点？欧拉证明了这样的走法不存在，并给出了这类问题的一般结论。

1857年，英国数学家哈密顿发明了一种游戏，他用一个实心正12面体象征地球，正12面体的20个定点分别表示世界上20座名城，要求游戏者从任一城市出发，寻找一条可经由每个城市一次切仅一次再回到原出发点的路，这就是“环球旅行”问题。如图5-3所示。他与七桥问题不同，前者要在图中找一条经过每边且仅一次的路统称欧拉回路，而后者是要在图中找一条经过每个点一次且仅一次的路，能成为哈密尔顿回路。哈密顿根据这个问题的特点，给出了一种解法如图5-4所示。在这一时间，还有许多诸如迷宫问题、博弈问题以及棋盘上马的行走路线之类的游戏难题，吸引了许多学者。这些看起来似乎无足轻重的游戏却引出了许多有实用意义的新问题，开辟了新学科。

运筹学中的“中国邮路问题”：一个邮递员从邮局出发要走遍他所负责的每一条街道去送信，蚊蝇如何选怎适当的路线可是所走的总路程最短。这个问题就与欧拉回路有密切的关系。而著名的“货郎担问题”则是一个带权的哈密尔顿回路。而著名的“货郎担问题”则是一个带权的哈密尔顿回路问题。图论的第一本专著是匈牙利数学家OKoing写的“有限图与无限图的理论”，发表于1936年。从1736年欧拉的第一篇论文到这本专著，前后经历了200年之久，总的来讲这一时期图论的发展是缓慢的。直到20世纪中期，电子计算机的发展以及离散数学问题具有越来越重要的地位，使得作为提供离散数学模型的图论得以迅速发展，成为运筹学中十分活跃的重要分支。目前图论被广泛地应用于管理科学、计算机科学、信息论、控制论、物理、化学、生物、心理学等各个领域，并取得了丰硕的成果。

第一节图与网络的基本知识

一、图与网络的基本概念

1.图及其分类

自然界和人类社会中，大量的实物以及事物之间的关系，常可以用图形来描述。例如，为了反映5个队参加的球类比赛请况，可以用点表示球队，用点间连线表示两个队已经比赛过，如图5-5所示。又例如工作分配问题，我们可以用点表示工人与需要完成的工作，点间连线表示每个人可以胜任那些工作，如图5-6所示。

这样的例子很多，物质结构、电路网络、城市规划、交通运输、物资调配等也都可以用点和线连接起来的图进行模拟。

由上面的例子可以看出，这里所研究的图与平面几何中的图不同，这里只关心图中有多少个点，点与点之间又无连线，至于连线的方式

是直线还是曲线，点与点的相对位置如何，都是无关紧要的。总之，这里所讲的图是反映对象之间关系的一种工具。图的理论和方法，就是从形形色色的具体的图以及与他们相关的实际问题中，抽象出共同性的东西，找出其归律、性质、方法，在应用到解决实际问题中去定义1.一个图是由点集V={}和V中元素的无序对的一个集合E={}所构成的二元组，记为G=(V,E),V中元素叫做顶点，E中的元素叫做边。当V,E为有限集合时，G成为有限图，否则，成为无限图。本章只讨论有限图。

例5.1在图5-7中：V={v1，v2，v3，v4，v5}E={e1，e2，e3，e4,e5}.其中：e1=（v1，v2）e2=（v1，v2）e3=（v1,v3）e4=（v2，v3）e5=（v2，v3）e6=（v3,v4）两个点u，v属于V，如果边（u，v）属于E，则称u，v两点相邻。u，v成为边（u，v）的端点。两边ei,ej属于E，如果他们有一个公共端点u，则称ei,ej相邻。边ei,ej成为点u的关连边。用m（G）=|E|表示图G中的边数，用年（G）=|V|表示图G的定点个数。在不引起混淆情况下简记为m,n。对于任一条边（vi,vj）属于E，如果边（vi,vj）端点无序，则他是无向边，此时图G成为无向图。图5-7时无向图。如果边（vi,vj）的端点有序，即他表示以vi为试点，vj为终点的有向边（或称弧），这时图G称为有向图。一条边的两个端点如果相同，称此边为环。如图5-7中的e1。两个点之间多余一条边的，称为多重边。如图5-7中的e4，e5。定义2不含环和多重边的图称为简单图，含有多重边的图成为多重图。以后我们讨论的图，如不加特别说明，都是简单图。有向图中两点之间有不同方向的两条边，不是多重边。如图5-8种的（a)，（b）为简单图，（C），(d)为多重图。定义3每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全图。有n个顶点的五项完全图及做Kn。有向图完全图则是指每一对顶点间有且仅有一条有向边的简单图。定义4图G=（V，E）的点集V可以分为两个非空子集X，Y，即，，使得E中每条边的两个端点必有一个端点属于X，另一个端点属于Y，则称G为二部图（偶图），又是记作G=（X，Y，E）。例如图5-9种的（a）是明显的二部图，点集X:{v1，v2，v5}。（b）也是二部图，但是不象（a）那样明显，改画为（c）时也可以看清楚。

2.顶点的次定义5以点v为端点的边数叫做点v的次，记作deg(v)，简记d(v)。如图5—7中点v的次d(v)=4，因为边e1要计算两次。点v的次d(v3)=4，点v4的次d(v4)=1。次为1的点称为悬挂点，连接悬挂点的边成为悬挂边。如图5—7中v4,v6。次为0的点称为孤立点。如图5—7中点v5。次为奇数的点称为奇点。次为偶数的点称为偶点。定理1任何图形中，顶点次数的和等于边数的二倍。证明由于每条边必须与两个顶点关联，在计算点的次时，每条边都被计算了两次，所以顶点数的总和是边数的两倍。定理2任何图形中，次为奇数的顶点必为偶数个。证明设V1和V2分别为图G中奇点与偶点的集合(V1V2=V)。由定理1知由于2m为偶数，而为若干偶数之和也是偶数。所以也比为偶数，即|V1|是偶数。定义6有向图中，以vi为始点的边数成为点的vi的初次，用d+（vi）表示，以vi为终点的边数为点vi的仁次，用d­-（vi）表示。vi点的初次与人次之和就是该点的次，容易证明由此向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的初次之和。

3.子图定义7图G=（V，E），若E1是E的子集，V1是V的子集，且E1中的边仅与V1中的顶点相关联，则称G1=（V1，E1）是G的一个子图。特别的，若V1=V，则G1成为G的生成子（支撑子图）。如图5-10中（b）为（a）的子图，（e）为（a）生成子图。子图在描述图的性质和局部结构中有重要作用。4.网络在实际问题中，往往只用图来描述所研究对象之间的关系还不行，与图联系在一起的，通常还有与点或边有关的某些参数指标，我们称之为“权”，权可以代表如距离、费用、通过能力（容量）等等。这种点或边带有某种数量指标的图成为网络。与无向图和有向图相对应，网络又分为无向网络和有向网络，图5-11（a），（b）是常见的网络例子。（a）给出了物资供应站vs与用户（v1，v2，v7）之间的公路网络图，的权表示个点间的距离，从优化角度出发存在一个寻求到各点的最短路问题。（b）是个从的管道运输网络，边上的权表示物流的最大容量，我们要求从德客运的最大流方案。这些网络模型将在各节中讨论。

二、连通图定义8无向图G=（V，E），若图G中某些与变得交替序列可以排成的形式，且,则称这个点便序列为联接的一条链，链长为K。点边列中只有重复的点而无重复边者为简单链。点边列中没有重复的边者为初等链。图5-12中，定义9无向图G中，连结的一条链，当是同一个点时，称此链为圈。圈中只有重复点而无重复边者为简单圈，即无重复点也无重复边者为初等全。图5-12中为一个圈。对于有向图可以类似于无向图定义链和圈，初等链、圈、简单链、圈，此时不考虑边的方向。而当链上的边方向相同时，称为道路。图5-13中，对于无向图来说，道路与链、回路与圈意义相同。定义10一个员图中予任意莲两点逆间至恒少有殃一条德链相樱连，熊则称倡此图招为连哥通图霸。任产何一夫个不躺连通农图都唤可以宏分为祝若干车个连醒通子臂图，遍每一药个称谁为原素图的忠一个难分图丸。三、图的掉矩阵委表示用矩拖阵表湖示图柜对研截究图元的性爸质及桌应用熔常常估是比贫较方煌便的疫，图碍的矩闸阵表榨示方像法有育权矩宽阵、青邻接跨矩阵倘、关色联矩睛阵、而回路妇矩阵像、割始集矩斤阵等紫，这掠里只面介绍薄其中毙两种与常用们矩阵仙。定义11网络G=（V，E），倡其边蓬，练其中怠：则称素矩阵A为网西络G的权糊矩阵箭。例5.娱2图5-记14所示拜的图寄，其馆矩阵月为定义12对于锹图G=（V，E），廊构造肆一个榨矩阵A=，其灭中：则称划矩阵A为图G的邻赞接矩著阵。例5.扇3对图5-就15所示核的图饿可以摧构造坏邻接太矩阵A如下未：当G为无宁向图叮时，晕邻接机矩阵重为对秤称矩胜阵。四、欧拉渠回路贼与中鞋国邮夜路的妨问题。1、欧抵拉回议路与叶道路定义13连通红图G中，展若存掏在一敞条道贸路，扎经过陷每边泄一次刷且仅饮一次祖，则欢称这宣条路巨为欧物拉道住路。漏若存申在一怨条回沫路，潮经过师每边田一次曾且仅幼一次讽，则倚称这积条回斤路为欧拉帜回路霸（欧雹拉环赌游）。含有挥欧拉化回路易的连伸通图盏称为欧拉摸图（E图）驻。在蹈引言除中提阔到哥挪尼斯士堡七赵桥问神题就厨是要图在图雷中寻限找一买条欧际拉回没路。定理3无向偿连通致图G是欧吗拉图亲，当导且仅梁当G中无割奇点。证明(必要取性)因为G是欧眯拉图意，则办存在仓一条插回路扮，经纳过G中所氧有的羊边，炕在这贷条回呆路上稳，定禁点可阿能重批复出替现，碍但边蔬不重今复。鞠对于垃图中感的任料意顶长点，替只要芦在回节路中膛出现纯一次册，必恭关联根两条弦边，粱即这傲条回督路沿森一条蜘边进薯入这眠点，持再沿逗另一筑边离程开这轮点。剖所以挨点虽年然可涉以在石回路号中出畜现，笑但de迈g(诸vi)必为懒偶数掠。所瞎以G中没瓦有基岗点。(充分嘉性)由于G中没追有基忧点，播从任抬意点历出发蹲，如遗从点底出发滔，经涝关联稳边如提此进纷行下雷去，资每边倒仅取前一次勺。由吐于G图中外点数热有限址，所劫以这晕条路滨不能伯无休赢止地竹走下乖去，类必可蛮走回V，得斩到一楼条回郊路C。(1梅)若回痰路C1经过G的所螺有边陕，则C1就是洁欧拉咳回路蹄。(2福)从G中去男掉C1后得部到子乡丰图，头则中枣每个兆定点严的次愉数仍侄为偶泛数。旗因为G图时防连同矿图，衔所以C1与点至少多有一旋个定纷点重贷合，咽在中泻从出泉发，槽重复向前面C1的方双法，针得到蚕回路C2。推论1无向约连通吨图G为欧板拉图曾，当棋且仅狱当G的边阴集可睬划分樱为若济干个奴初等挣回路拍。推论2无向遗连通偷图G有欧摇拉道楼路，严当且堂仅当G中恰侧有两详个奇巴点。根据籍定理犹来检谎查哥剂尼斯掌堡七浙桥问罩题，烫从图5-符2中可水以看顶到de睡g(极A)=丘3,乔de源g(迅B)在=3巩,d斑eg性(C纯)=弃5,舍de丘g(灭D)财=3有四门个基南点，僻所以暖不是窜欧拉字图。肤即给沾出了灵哥尼裙斯堡际七桥医问题禾的否景定回辨答。与七亩桥问丘题类佣似的哥还有一笔资画问饰题。给师出一帽个图献形，通要求皆判定绪是否驱可以族一笔闭画出改。一乔种是岩经过总每边降一次终且仅滑一次仔到另粪一点练停止更。另姻一种态是经纯每边谣一次朵且仅迅一次史回到似原开削始点贸。这撕两种沫情况讯可分浇别用趣关于相欧拉鸽道路郑和欧反拉回携路的脆判定肉条件敏加以翻解决珍。定理3的证惑明方伞法实妄际上钻给出慰了构农造欧绞拉回华路的险一种尚算法妈，从清图G中任姥一点糖出发敬，找市一个赚初等莲回路秘，再拉从图英中去梅掉，挂在剩察余的蛙图中砖再找任出等访回路助，～患，一蹈直做降到图圈中所妥有的破边都律被包键含在傍这些芳初等瘦回路肥中，咱再把宫这些风回路绑连续淋起来立既得轮这个豆图这张个图零的欧挂拉回棋路。关于嘱无向叼图的绸定理3，可秩以直纠接推扶广到进有向捧图。定理4连通档有向稍图G是欧遥拉图脸，当贞且仅义当它非没个筑顶点塌的初毙次等喂于入徐次。连通逝有向文图G有欧垒拉道凑路，耀当且扫仅当讨这个估图中尖除去莲两个轮顶点怒外，扇其余学每一矩个顶落点的晚初次虽等于动入次摧，且释这两烫个顶芳点中捉，一吐个顶杨点的劣入次僚比初街次多1，令互一个姜顶点忠的入鸟次比狗初次小少于1。2、中国既邮路幼问题一个卸邮递螺员，触负责兆某一筹地区修的信铲件投刺递。叫他每衡天要狮从邮安局出拔发，累走遍加该地叨区所戚有街浸道再培返回阳邮局兵，问予应如汽何安板排送镇信的梢路线拒可以杂使所扮走的扁总路祥程最筝短？跟这个晌问题捏是我杂国管攀梅谷征同志仓在19霸62年首竖先提毒出的伞。因搞此国帅际上讽统称与为中蜘国邮善路问损题。环用图盲论的绕语言奴描述亚：给档定一踪蝶个连昨通图G，每霉遍有口非负睡权L（e），克要求橡一条巩回路份过每步边至攀少一骗次，姑且满傲足总衫劝最岗小。如果G中有街奇点缸，要虎求连翁续走问过每姨边至越少一仓次，放必然锤有些田便不绿止一壶次走辅过，快这相茶当于路在图G中对灿某些座怎加仓一些豆重复五边，顽时所辨得到准的新协图娇没有录奇点谁且满予足总迟路程惹最短躺。由承于总蔬路程榜的长淘短完些全取阴决于凡所增众加的飞重复愤边的改长度位，所欠以中炊国邮赶路问足题也亩可以弊转为搭如下走问题创：在连诵通图G=（V，E）中策，求良一个长边集的边吸均变视为二虑重边秆得到征图阳，灰使其则满足G*无奇蜂点，厘且最小宪。定理5已知拣图弱无填奇点席，则乓最锄小的细从份丢必要饼条件稀为：(1割)每条咱边最霸多重雄复一下次。(2绑)对图G中每垫个初烛等圈池来讲寺，重包复边诵的长酬度和辈不超览过圈淋长的左一半咱。证明(必要眯性)假如顿中找有某炮条边似重复镜次数n（n>非2），闭而外是欧护拉图秒，那蛋么把梦这条鲜边上时的重菊复边勤去掉缝两条偿，则面与此演便关抢联的僵两个属顶点架的次兽都减2，仍有为偶侄点故驶仍为肆欧拉烟图，凉所以壮重复宋边次虚数最非多为棕一次皱即可厕。其次谋，把促土的梨一个蛇初等饱圈上里原来掌重复窜的边栗都不您重复俱，而尺原来愤不重屋复的米重复镜一次佛，则立圈上廉没个飞顶点栏的次斩改变0或2，也摸不改朵变欧设拉图车的性许质。歌因此放，如屈果图G中存蓝在某治个圈城，其肚重复兆边的租长度泰超过划圈长斑的一急半，乎我们沫就可猴以使富从复寇边的供长度勺减少阴，这待与注最便小矛疑盾。(充分述性)只需革证明垒凡满床足定矛理中旬条件通（1），念（2）的租重复射边集疏，其浆总长屋度均宾相等阴即可革。设作边谷集漆，尽则购中的吊边或跪属于匀或属限于略，二纵者必康居且槽仅据蝴其一雅。观裁察由昼边集炎中边坛和与厌之相侨关联驴的点门组成狂的图相，批可能庄不连么通，挣但其杠每个丙分图雁必为甚欧拉婆图（咱因为间图G的每起个顶景点v与狭中相吸关联匹的重袄复边高的数仪目与V与E2相关服联的唐变数男的奇冒偶性丑相同汪，都品取决辫于v原来沟的次究数为运奇或划为偶穷，重报复变削数也外必为避奇或切偶，什所以胳图梳的点迈必为右欧点谈），丛所以踪蝶每个薄分图戒可分僵为若呜干个慨初等绳圈。住根据横定理歇条件看，对陪每个酿初等盖圈上幅均有于的歌重复嚷变长守不超敬过周材长的岁一半雹和耀的重童复边艺长不盼超过目周长忧的一安半，轻故只终能相旗等。佩则在察中是属于E1的边颗总长授等于疫属于重的慎边总新长，贝于是决有定理箭给出球了中辆国邮岁路问浮题的盐一种巷算法克，成真为“奇武偶点神图上腿作业弊法”破，下面适举例霜说明孔这个揪算法魔。例5.露4求解垦图5-裂16所示私网络暮的中妙国邮裂路问歪题。第一誉步：确定杂初始贪可行幻玉方案。先检淘查途翅中是庭否有板奇点车，如缎无奇断点则对已是仍欧拉披图，白利用Fl失eu陪ry算法概找出领欧拉凤回路切即可胶。如蚀有奇援点，房诚由前偿知奇肚点个强数比奶为偶春数个属，所焦以可束以两贞两配禽对。柱每队岩点间络选择户一条忧路，著使这是条路浮上均政为二尽重边贷。图5-鸟16中有纤十个才奇点秤将行，源配对樱，连腿接哪的灭路有阁好几蛇条，爷任取茶一条飘，如惜，老类似少地，萌对得到斤图5-杰17，已欲是欧莫拉图晶。对展应这编个可荣行方拒案，呆从复汽边的毙总长期为：第二馅步：调整此可行慕方案沾，是跌重复授边最旦多为捆一次。去掉纵各架两条质，得裳到图5-守18，重锦复边扬总长矩度下揪降为昆：第三筐步：检查华图中污每个正初等圆圈是盏否满佳足定夺理条言件（2）。盏如不担满足楚则进摆行调汪整，船直至币满足会为止。检查智图5-轮18，发庙现圈河总午长度企的长正为24，而冲重复尿边的提长为14碗,大于扶该圈房诚总长驱度的允一半映，可场以做楚一次殃调整社，以得到清图5-柔19，重任复边且总长衫度下愿降为微；在检荷查图5-贪19，圈虫总长蹲度为24，而叶重复觉边长熔为13。再灯次调木整得季图5-觉20栋,重复夫边总有长度挖为15。检查腿图5-裕20，条另件（1），强（2）均绢满足岗，得国到最锯优方妨案。惭途中股任意宝欧拉抖回路自即为朵最优案邮递谢路线帖。这种纽奉方法冬虽然塑比较盛容易现，但拣要检堆查每剩个初兼等圈质，当G的点灭数获斧边数长较多煎时，书运算狗量极针大。Ed方mo概ds和Jo肠hn阿so何n与19豪73年给内出了条一种童比较市有效糟的算勿法，逗即化勤为最胞短路猪即最非优匹笔配问魄题求优解。第二张节树一、或树的罢概念文和性执质树是相图论酬种结气构最且简单位但又瓶十分炊重要锅的图旺，在刘自然殊科学猫和社惜会的秤许多落领域航都有以广泛态的应梳用。例5.但5乒乓摔球单鱼打比购赛抽文签后笨，可嗽用图聪来表扔示项颗羽情含况，竟如图5-季21。例5.章6某企五业的牢组织享结构招可用愈图5-骑22所示预。定义14连通盟且不陆含圈右的物层象图浙称为响树，攻树中纠次为1的点节称为昼树叶谷，次速大于1的点经称为计支点怕。下面扰研究怖树的读性质嫂。树争的性评质的桥用下砖面定淹理标倡出。定理6图T=翠(V，E)触,︱V︱=n忠,︱E︱=m乱,则下刚列关浇于书倘的说奥法是横等价蜻的。（1）T是一坊个树白。（2）T无圈酬，且m=逢n-明1。（3）T连通少，且m=广n-长1。（4）T无圈场，但洋每加鬼一新轨边即妙唯一颤一个烈圈。（5）T连通年，但杨每舍堆去一陷边就肃不连榨通。（6）T中任药意两叛点，堡有唯带一链雕相连饮。证明:限(1察)壶→(劳2)由于T是树顷，由灵定义竹知T是连督通的纵并且散没有梦圈。相只需斤证明T中的嫌边数m等于晃顶点陵个数1，即m=板n-嚷1.用归泥纳法桃。当n=秘2时，喂由于T是树揉，所盼以两首点间谈显然妈有且晃仅有压一条侍边，颂满足m=晶n-自1.归纳禾假设n=毛k-滨1匙命糟题成亚立，纺即有k-田1个顶识点是T有k-抢2条边烈。当n=砌k时，危因为T连通袖无圈预，k个顶翼点中进至少鸽有一隶个点崇次为1。设啦此点厘为1。设肺此点继为u，即u为悬娃挂点飞，设疤连接u点的疏悬挂开边为粪（v，u）。劳从T中去泡掉（v，u）边推及u点不扫会影竿响T的连贤通性杯，得顺图，航为树强只有k-针1个顶遵点，授所以棋有k-笔2条边串，再邀把（v，u），u加上位去，响得知享当T有k个顶拣点时库有k-锦1条边彩。(2菊)骗→(欧3)只需智证明T是连扒通图塑。反证半法。突设T不连裹通，铜可以享分为l个连食通图个顶宅点，抚。因江为第i个分街图是恼树，敢所以介条珠边，L个分晨图共姨有边刺数为与已懂知矛拾盾。胳所以T为连撑通图穷。(3圾)侍→(言4)若T中有丛圈，斜设为C。可翠以去决掉C中一五条边伏，并开不影递响T的连床通性码。如暴果剩杆余途才中仍傍有图璃，可御如前霞那样牺继续南拿去舍一条洋边··匀··然··。像着这样涨去掉P条边镜后得汇到一带个没席有权爹的连双通图救，显采然有n-爹1-斜p条边帖。但末既然醋是树轻，定栋点个许数又递与T相同嗽为n个，茧所以失中应益有n-距1条边锣。矛奶盾，灵即T中无表圈。设T中u，v两点些间无叉边直聋接相欲连，尘由于T是连浙通图己，所承以经虚由其雕他点群必有恐一条少链连钉结u，v，且淡此联豆是连盯结着平两点更的唯清一链圆，则T+（u,滔v）后关，出筛现唯它一一资个圈秘。(4争)陪→(获5)先证配明T连通幼。若T不连锄通，璃由定狭义至匙少存滋在两魄点u，v之间戏无路祝可通孙。那沾么加悟上一苹边（u，v）也萝不会男形成申圈，忙与已缠知矛兄盾。在证衬每舍厘去一展边遍斜布连互通。株若T中有献一边稼（u，v），视舍去(u,劫v)后图T-（u，v）仍他然连汁通，浑与（4）中钞树妹醋家一句新边悔壁出默现唯睬一圈台相矛摆盾。(5画)→(6娘),否(6均)→(1棉)，均俯显然盯，故筒定理猎证毕集。定理6中每然一个毅命题其均可坝作为晌书的监定义渔，他酬们对泰判断教和构幕造树棵将极气为方武便。二、旦图的含生成究树定义15若图G的生何成子级图是截一棵周树，手则称菠该树谜为G的生月成树台。或贴简称松为图G的树协。如图5-刺23中（b）为到（a）图推的生裂成树统，边为树哗枝，佛为弦血。定理7图G=（V，E）有罢生成客树的贝充分阴必要裕条件狐为G是连梳通图奸。证明必要蓬性显乏然。充分垂性任取膝，这规时生甚成树T的边杆集合销为空掀集。漠因为G是连北通图桑，点瘦集滴之绑间必将有变促相连饺，设爷为这倦样的距边，则得重复卷上述共步骤决，对足于仍能左找到于边答满足爽其一回端在量点集,另一享端景在溜点集拒有稍一端原在Vi之外抬，所云以中的也边不晶构成熔圈。戴当i=肚n时得清到即图T=（V）,有n-迈1条边江且无尿圈，神由定逝理6知，恳这是检一棵推树，喜且为滋图G的一效棵生日成树养。定理7证明减是构喊造型猜的证痒明，赶给除宣了寻正求的锤生成敬树的籍方法脊。这旬种方杨法就漠是在涨以给伴出的我图G中，由每步摸选出完一条弯边使黑它与患已选煎边为毯构成哈圈，诉直到臭选够n-傍1条边计为止夸。这首种方流法可夸为“避葱圈法化”，哗或“布加边叠法”侦。按照芽边的移悬法鞭不同鼠，找显图中叙生成暑树的挨方法厅可分遣为两剂种：（1）深退探法挤。步骤啊如下肌：（筐用标肥号法迎）1、在铅点集V中任长取一设点v，给v已标迈号0。2、若嗽某点u已得蛾标号i，检耕查一宿端点榜为u的各析边，蹄另一赠端点者是否敞均已希标号食。若有巴（u，w）边脂之w未标模号，咐则给w以标搭号为i-革1的r点，腿以r代u，重领复2。直物到全哑部点鲜得到钉标号弄为止握。下图5-挥24的（a）为鸽标号招过程做，粗钓线边苗即为衬生成时树，逢图5-喊24（b）即矛是生膜成树特，也既显示都了标中号过辅程。（2）广令探法扰。步骤箭如下兴：1、在圈点集V中任泻取一犁点给v，给v以标沿号0。2、令狭所有烘标号坚为i的点糖集为宿中的役边端消点是滴否均梁以标余号。扭对所湿有为歌标号接之点吗均标光以i+隶1，记炊下这绪些边采。3、对破标号i+扫1的点荷重复滨步骤2,直到柜全部蚊点得朽到标水号为输止.如图5-慕25（a）中纽奉粗线蒸边就惜是用目广探脚法生萝成的仓树，备也可魄表示骑为图5-绢25（b）。显然带，图引的生搬成树创不唯返一。相对贵于避衫圈法荷，还冻有一马种求铃生成寨树的板方法额。这堤种方填法是捐在图G中任域一曲奴一个零圈，朝从圈游上任络意舍拉弃一向条边叶，将诊这个异圈破芬掉。月重复胁这个贼步骤叙直到销图G中没熊有圈删为止吓。例5.毛7一个弟乡有9个自配然村莫，其霞间道民路如罢图5-疤26（a）所者示，板要以农村无为中价心建唯有线碍广播陵网络芒，如赌要求去沿道快路架全设广永播线庭，应义如何此架设牧？解穷本问恋题用剩上述学破解贱法，兴任取窑一圈虾从中跨去掉震边半，再痰选圈棒，去扎掉边赠，音以同尽样方钳法进浑行，抽直到汁无圈达。图5-嫩26（b）就滋是一峡种方担案.三、最小藏生成崇树问夏题定义16连通哲图G=（V，E），滋每条沸边上肺有非及负权姑。口一棵闹生成暗树所适有树比枝上熟权的碌总合孙，成沸为这促个生柄成树予的权奶。具漫有最赛小权茄的生张成树亭成为搂最小粱生成静树，凝简称墙最小竟树。许多介网络叼问题篇都可冲以归孕结为捉最小危树问内题。梦例如煌，设词计长滴度最筹小的喊公路舌网把马若干其城市哲联系虏起来纵：设穴计用该料最裂省的凉电话谅线网慌把有无关单粗位联衫系起俗来等寺等。下面印介绍订最小施树的泰两种图算法爸。算法1（Kr沫us概ka疤l）算食法这个吹方法园类似举于生诊成树喂的“各避圈钉法”表，基沾本步捕骤如餐下：每步轮从未窝选的仰边中笔选取言边e，使竹它与吸已选芽边不扶构成修圈，敞且e是位愁选边决中的半最小致权边轮，直喉到选跪够n-水1条边殿为止梅。例5.干8仍用感上节籍例7，若专已知涛各条挡道路熔长度捏如图5-竿27（a）所收示，把各边邀上的宗数字适表示钩距离脚，问递如何登拉线善才能滥使用抱线最姓短。恢这就倘是一览个最会小生陕成树宗问题椅，用Kr挎us破ka畜l算法辛。先将券（a）中甚边按粪大小辽顺序摇由小弱至大床排列泥：然后草按照僻边的偏排列霞顺序继，取祥定由于司下一童个未杰选中华的最钥小权华边返构成凝圈，给所以危排除昂。选赞。得资到（b）就贫是图G的一平颗最鬼小树债，它齐的权融是13。定理8用Kr舒us闹ka戴l算法拢得到遮的子回图是一喘棵生移最小产树证明雷由算午法所手构造什的子秒图幼无回隶路且n个点瓦有n-幼1条边只，则体由定命理6知案是图G的生务成树狗。下面撕证明化生成史树族一古定是包最小扯树。若今不是跌最小迫树，蓄而T≠，T为最庸小树牛。把T中的誉边也没按权朝由小巾到大蛛排列棵然泡后与断中的述边相修比较叶，若即吧也是稀树。因为T是最疾小树努，所氏以权化即探有：由Kr芝us府ka抹l算法辣知授，没狗有权小的位即选边防中最笑小权劫边，倦所以钟权只能隔有权(f妈)。所纹以也码是最器小树锅且与细的敏公公织边比T多一悬条，暑以古取搅代T,继续闷讨论ei工+1与e′烫i+披1是否剂相同纹，同巨前进翻行，敲易证T*是最门小树挡。算法2（破腾圈法简）基本垃步骤喷：（1）从捧图G中任炊选一纯棵树陆。（2）加扛上一娇条弦谈中拼立即村生成朋一个鸡圈。析去掉汇此圈夸中最屡大权盗边，昼得到坡新树暴，轧重复坡（2）在劲检查留剩余你的弦碑，直箭到全绍部弦滚检查催完毕昨为止盛。仍用握例8，先击求出抱图G的一伸棵生巡寿成树深如图5-吹28的（a），颂加以与弦,去掉息最大夸权边扰：再骡加上誓弦,得圈,去掉捧最大湖权边利直敲到全市部弦掀均以炮试过碗，图5-符28（b）即经为所雀求。算法2的根卷据为曾下述规定理定理9图G的生垄成树T为最移小树抄，当泄且仅凡当对颜任一检弦e来说哭，e是T+细e中与扔之对舌应的炼圈。常中的辞最大锤权边期。证闯明从忧略。四、根树击及其放应用前面帜几节抢我们它讨论猜的树土都是拼无向铺树，阿本届例讨论遭有向挣树。脾。有史向树异的根娱树在迅计算限机科康学、倘决策稼论中舰有重配要应夕用。定义17若一床个有妥向图慰在不辜考虑斜边的践方向临时是数一棵浇树，比则这暑个有猫向图卸为有向镜树。定义18有向花树T，恰泊有一秆个结嘴点入哀次为0，其欲余各拿点入狗次均编为1，则渔称T为根凭树（堤又称膏外向哭树）至。根树压中入吐次为0的点释称为爽根。效根树惹中出书次为0的点死称为焦叶,其他愉顶点纺称为士分枝迷点.由根袭到某浇一顶使点Vi的道僵路长护度（赌设每枝边长每度为1），牙称为Vi点的呈层次例。如图5-县29所示稳的数化十根偷树，祥其中为分盟枝点库，其窄余各鼻点为戒叶，蹈顶点知的层揉次为1，顶候点帝的层胞次为3等等笼。根树侮有广杠泛的妇应用碗，如倘用来倚表示贡一个牧系统谣的传谷递关甩系，价指挥塔系统敲的上赢、下仗级关宿系，源机关瓦中各基领导净与被蜜领导伯关系墨以及枪社会侄中一付个家巾族胳宴臂之喷间的熊关系桥等等倾。在原计算坝机科盼学中挎应用忌根树强时，素还常律借用培家族脉中的舱各种健称呼截，如粱图5-奶29中，特称的儿境子，块而仍互为剩兄弟鸽等等汪。定义19在根励树中伶，若迟某个瓶顶点拾的次怨小于厘或等喜于m，称阁这棵魂树为m叉树世。若蛙没个临顶点饺的出灾次恰昨好等疲于m或零逆，则蒸称这遮棵树柴为完泽全m叉树沸。当m=乓2时，瞧称为细二叉宣树、仅完全篮二叉克树。例如掠图5-鸣30中（a）为弹完全祖二叉则树、舱（b）为眉四叉漫树。在实酱际问贡题中气常讨满论叶荐子上紧的距潮离（吊层次起）为，这滔样二烦叉树T的总栋权数满足畏总权车最小皮的二浩叉树渣成为设最有躺二叉赞树。氧霍夫甘曼（D疲A绩Hu版ff瞎ma剂n）给阀出了盈一个删求最还有二踪蝶叉树猫的算犁法，统所以避又称霍夫扯曼树。算法炸步骤蜘为：（1）将s个叶牢子节楼点按龟权由更大排买列，劲不失吨一般盼性，展设（2）将布二个脸具有苏最小筑权的逼叶子泼合并想成一康个分艘枝点羡，其咽权为额，皆将新糟的分搜枝点吴作为惹一个贸叶子蜜。令疏若s=邀1停止找，否益则转梯（1）。例5.热9简s白=6，其壮权分袄别为4，3，3，2，2，1，求最液有二散叉树。解夹该树迈构造读过程横见图5-贤31。总鉴权为1×给4+产2×最4+尺2×米3+允3×橡2+伶3×馆2+秆4×注2=任38可以搜证明混此算幼法得突到的吉数位寒最优聪二叉酿树，明直观归意义量：叶何子的弟距离绒是依驱权的销递减振而增芒加，膏所以顿总权瓣最小办。最优诸二叉梯树有圈广泛饺的应封用。例5.凝10最优招检索柄问题敞。使罚用计揭算机拔进行阻图书营分类黄。现榜在五膀类图碍书共10袄0万册服，其徐中有A类50万册俘，有B类20万册伶，C类5万册拐，D类10万册枯，E类15万册柏。问蔬如何嫌安排类分检裤过程岁，可滔是总辰的运蚀算（无比较筹）次趴数最奥小？解体构造珠一棵预具有5个叶珠子的亮最优绪二叉职树，系其叶剖子的霸权分蹦别为50，20，5，10，15，见索图5-血32（a）所雀示，跑按（b）进趣行分毅类。蛋总权汗为：分拣肚过程叔是先混把A类50万册票从总裤数中乞检出服来，喜其次速将B类20万册单分检朋出来蛙，然皮后再妙将E类15万册躲分检扑出来伏，最佳后再赞将D，C分检弱。例5.振11某厂足购进统一批火原件看。欲搁进行阻检验感后按在质量哀分为乐六等签。已形知一勿等品讯的概口率为0.朱45，二兰等品队的概椒率为0.砖25，三仇等品0.阻12，四栏等品0.盏08，五候等品0.剥05，等略外品0.挂05。假轰设分显等测恳试一论次只安能分传辩出堆一种雪等级岛，而秧每次俩测试朴的时闯间皆厦为t。问泥如何续安排段测试千过程春，是味期望畜的时爸间达拣到最抄短？解狸构耐造一英棵具筑有6个叶制子的音最优卵二叉遮树的总惭权。港经计穗算得课堂蹈练习细：在通棚讯中痕，已生知字体母A,企B,上C,柿D,勿E,览F出现里的频执率如扑下：A:专30柱%,社B:叉25仗%,吓C:磨20乘%,炮D:坏10厌%,E:身10泪%,脚F:庆5%求传羊送他搁们的犹最优挺前缀棒码。（1）首眨先构粪造Hu哗ff洽ma生n树（2）然竟后再兄构造孟最优涨前缀股码第三促节加最短成路问厉题最短菠路问飘题是摇网络刃理论类中应矿用最套广的堂问题搞之一连。许犁多优句化问浆题可祝以使若这个遮模型避，如且设备离更新晃、管广道铺臣设、柔线路赌安排霉、厂敏区布玻局等侵。图随论方狮法比首较有束效。最短零路问认题的旅一般萌提法救如下端：设G=（V，E）为议连通引图，虑图中讯各边为图屋中任垦意两筹点，排求一哑条道鞠路贞，使顶他是泪从的所排有道再路中扒总权驼最小渔的道有路。迎即：最小.有些斗最短门问题战也可帝以使谁球网蹲络中晋某指缩慧定点托到其拉余所季有结孙点的嘱最短堪路，匀过求劲网络港中任为意两偷点间颠的最丧短路并。下觉面我族们介烫绍三革种算摄法，膀可分厅别用窗于求苏解这魔几种毙最短费路问亡题。一、Di锯jk挠st佣ra算法本算初法由Di策jk子st颂ra于19终59年提宗出，质可用略于求贞解指暑定两织点灿间系的最姥短路汇，或拌从指宜定点酸到渣其余著各点栗的最迈短路少，目柄前被百认为穿是求紧无负盼权网株络最圆短路唇问题沿的最船好方孔法。具算法惨的基租本思蜜想基题于以扯下原匠理：炸若序料列中是从篇的最委短路渴，则冤序列敢必沃为从袭的棵最短坛路。基本慌步骤宴：azbcde4251081263解：0次迭娃代（飘初始丘化）L(途a)=杜0,扫L(灾b)因=L(云c)=L(旱d)=L(份e)=L(电e)=术,S局0=坦;一次停迭代汇：取u1枝=a慌,S嚷1=高{a页}L(曲a)惩+w贯(a供,b)=变0+夕4=挂4<L(速b)L(学a)购+w猪(a缝,c)=架0+森2=跨2<L(觉c)L(双a)捏+w朋(a吐,d)=翅0+秆=L(佛a)傲+w色(a械,e)=L(迈a)庙+w佳(a藏,z)=企0+际=夕;L(盯b)=负4,惨L(穿c)督=2快,L突(d钓)=L(缺e)=L(蛮z)=二次怒迭代油：取u2锅=c笼,瞧S僵2=景{a,坡c}L(初c)专+w倡(c伯,b)=丙2+愈1=银3<L(肃b)L(先c)奋+w竟(c解,d)=印2+惰8=便10蔑<L(底d)L(惩c)扭+w耀(c驴,e)=粪2+晋10掏=1讽2<L(栋e)L(闪c)剑+w扇(c窑,z)=钟2+璃=L(梳b)=香3,某L(返d)狱=1毅0,补L(削e)陵=1持2,迅L(痒z)禽=三次舞迭代笔：取u3哲=b妇,龙S刻3=按{a,芽c,孩b}L(绘b)静+w萍(b靠,d)=窑3+扫5=必8<L(粱d)L(抢b)垄+w帽(b著,e)=松3+尺=L(呢b)针+w托(b肾,z)=柏3+洒=L(亲d)=足8,L(吴e)=律12踏,L(戴z)=四次肆迭代贴：取u4也=d旺,嘱S哈4=世{a,嫩c,衔b,烫d}L(撇d)烤+w蔬(d嫩,e)=门8+备2=缸10茧<L(葬e)L(场d)鞋+w碑(d娱,z)=匀8+钩6=参14营<L(繁z)L(偏e)=贯10邪,L(孔z)=悦14被;五次股迭代姓：取u5阶=e扫,晴S概5=申{a,盼c,辰b,颤d,腿e}L(阔e)怒+w谱(e祥,z)=钓10江+3咸=1他3<L(神z)L(潜z)=静13结束久：u6户=z代,偷S半6=乳{a,斤c,售b,疑d,帅e,吼z}从a到z的最郊短路棒的长铸度为13创,最短仙路经竭为{a,哑c,刚b,算d,湿e,然z}同样芹可以绞利用Di太jk梯st绵ra算法悦计算有向赤网络中最铃短有近向路践的长武度，筛基本胆步骤加如下燃：求出颜点1到其脑余各兆顶点涝的最凶短有绢向路仁的长倦度？321455318274Di疲jk袖st经ra算法:课堂隐练习1：利治用Di悄jk概st园ra算法赖，算物出图阶中，v1到v5的最辣短路划的长灾度？v1V2V3V4V5431027815选址钉问题：已如知某至地区五的交援通网淹络如更图5-炸39所示牢，其馒中点齐代表屈居民菜区，悠边表事示公携路，循为小总区间漫公路先距离毯，问浑区中屿心医酸院建贺在哪针个小枪区，姑可使尺距离肺医院闻最远恭的小软区居破民就烧诊时跃所走昂的路淋程最摧近?V1V3V4V6V7V2V5602030251520183015解：孔实际碧是要摔求出柴图的梨中心蒸，可抬以化市为一肯系列谊求最库短路此问题斩。先换求出v1到其胀他各远顶点附的最净短路脖长dj,令D(脸v1滨)=搜ma世x{犁d1继,d厕2,杠…,帝d7匀},表示粮若医旦院建开在v1浆,则离槐医院摔最远压的小赶区距跨离为D(份v1堡),再依号次计鬼算v2惭,v停3,浙…,联v7到其双余各铜点的参最短延路，衬类似批求出D(杏v2滋),跳D(命v3滴),致…D娇(v念7)适,D(烧vi篮)(因i=1壤,2嫩,…轮,7栽)中最蜻小者族即为粉所求畅，计竭算结斜果见巷表5-膨3。由于D(同v6面)=旺48最小吴，所羞以医雕院健巡寿在v6，此禁时离友医院危最远域的小堆区v5距离题为48。由于D(州v6简)=盖48最小哈，所沿以医扬院健失在v6，此刻时离皂医院沟最远词的小羞区v5距离蚂为48。v1v2v3v4v5v6v7D(vi)V1030506393456093V2300203363153063V3502002050254050V4633320030183363V5936350300486393V6451525184801548v7603040336315063Fl炉oy谦d算法某些香问题凭中，肚要求臂网络堆上任图意两收点间布的最驻短路兔，如禾例15就是学这样木。这旺类问扩题可蛮以用Di废jk炮st赛ra算法所一次搜改变绒起点率的办毁法计揪算，锣但比拜较繁定琐。匀这里盒介绍爆的Fl头oy辱d方法斯（19活62）可香直接跨求出钢网络握中任凭意两岂点间鹅的最部短路从。为计夜算方紧便，许令网衰络的术权矩橡阵为的距滩离。其中算法我基本贞步骤朽为：首先磁介绍吴两种勿矩阵贤的运明算：求图壮中任维意两费点间放的最挑短有饰向路湖的长卵度？V1V6V2V3V5V4127213316课堂昂练习2：利裕用Fl熟oy乱d算法摔，算深出图坡中任住意两音点之耳间的四最短解有向荐路的穗长度?1236455334567212最大塞匹配约问题铸：考虑淘工作利分配抚问题字。有n个工泪人，m件工剩作，接每个毅工人明能力牙不同桑，各召能胜越任其缴中某恐几项是工作旨。假王设每草件工忽作只积需要狱一人鞋做，勇每人想只做意一件简工作潮，怎密样分例配才恐能尽差量的附工作迈有人蜓做，裳更多区的人谦有工垂作？这个毕问题管可以那用图姓的语助言描殖述，辅如图5-普47。其新中x1哭,x耽2,汪…,xn表示尽工人,y袄1,卖y2疑,…戒,ym表示粱工作太，边啄（xi务,y按j)表示评第i个人姐能胜补任第j项工妹作，急这样节就得唤到了移一个念二部柔图G，用垒点集X表示{x总1,室x2钱,…xn}，点翁集Y表示{y李1,币y2浸,…锅,ym}飞,二部柳图G=详(X尿,Y程,E鹅)。上胡述的躺工作闭分配浸问题芽就是凶要在辞图G中找垃一个矛边集E的子储集，景使得遭集中末任何蔑两条蔬边没痰有公令共端啦点，材最好蛋的方认案就牛是要烂使此炒边集咸的边共数尽孤可能壶多，喘这就茎是匹配曾问题。定义23二部铁图G=鬼(X塘,Y识,E黄)，M是边揉集E的子桨集，吧若M中的旅任意似两条球边都野没有趟公共浸端点查，则沟称M为图G的一倍个匹它配（帽也称沟对集赠）。M中任杀意一虽条边眨的端宜点v称为私（关潜于M的）廉饱和裕点，G中其奸他定威点称奶为非服饱和笑点。若不献存在害另一旧条匹乱配捉，则谋称M为最涂大匹书配。下面喷给出Di想jk仿st欣ra算法差基本羡步骤堵，采上用标己号法筋。可辽用两水种标裕号：T标号卫与P标号姓，T标号拣为试荷探性从标号逢，P为永有久性乌标号饱，给劳点炼一个P标号舅时，踏表示亩从握点的初最短脸路权挨，券点的因标号喜不再乏改变常。给别点泼一个T标号遮时，遗表示肚从娃点的康估计羞最短追路权跑的上股界，锡是一益种临陪时标拌号，孤凡没黄有得趴到P标号术的点叛都有T标号蚂。算骡法每护一步央都把香某一缺点的1步就做可以旗得到咱从始嘱点到练终点起的最始短路驰。步骤艺：（1）给袜。（2）若们点谜为刚倾得到P标号校的点险，考倚虑这稻样的渡点属于E，且描的T标号洒进行升如散下的滤更改秀：（3）比温较所梯有具础有T标号近的点全，把傲最小视者改隔为P标号高为P标号抗，即:当存挺在两她个以厚上最付小者声时，烘可同煎时改喜变为P标号蓝。若更全部港均为P标号浪则停捎止。仰否则磨用转回邀（2）。例5.等12用Di列jk满st姥ra算法革求图5-屑34中点的斤最短卷路。解（1）首常先给,给其页余所奖有点T标号.（2）由蜘于马边吸属于E，且席为T标号超，所价以修劲改这型两个栋点的弹标号寨：（3）比誓较所见有T标号饥，累最舌小，罢所以班令络。（4）歉为四刚得远到P标号豪的点色，考议察边的端横点乖。（5）比宣较所洗有T标号需，神最身小，喘所以镜令（6）考辉虑点叉，钞有（7）全乔部T标号洁中，（8）考使察向，（9）全堡部T标号橡中，（10）考谢察迹，（11）全蒜部T标号戚中，影。（12）考辩察（13）全蓬部T标号乖中，赤。（14）考距察望，（15）因四只有网一个T标号缺，计测算结享束。全部仿计算芹结果篮见图5-尊35，，同时揉得到法点腰到其驶余各竟点的宫最短碧路。需要饶提醒斯读者缝注意东的是搂，这辆个算蛙法只误适用池于全辰部权堡为非芦负情闯况，末如果乖某边章上权夺为负先的，富算法宫实效颈。这损从一吉个简足单例被子就蒸可以举看到旦，图5-偏36中，掏我们圈按Di早jk斩st瓶ra算法绸得的最卫短路准长显守然是甩错误膨的，悦从凳只有3二、悲逐次右逼近摇算法本算漠法可摧用于史网络钥中有登大负诉权的胆边时卷，求兼某指横定点携到肌网络异中任匙意点映的最粥短路返。算慕法的柜基本邪思路僚是基检于以碎下事农实：武如果的最概短路窃总沿遇着该请路从船然后昼再沿肯边盘的这经条路恳必然屑也是的最咳短路蝴长，妖则必辆有下恋列方蓬程:用迭吹代方钓法解岗这个才方程肾。开蜘始时辩令即用住的宣直接顺距离兔作初惰始解慈，若。从靠第二肝步起歼，是选用迭袄代公仓式求尺，当绕进行蜘到第t步，煤若出启现则停垦止，塔点倍到各伶点的瘦最短滨路长累。例5.号13求图5-骆37中般点到袋各点口的最盛短路浊。解闯初始壤条件拌：第一粥轮迭眉代：类似迟可得桨：可以株看出催最伍短路史长。负全部肆计算乐过程敏可用唤表5-贪1表示喇。迭代产进行梳到第丝式六步通时，政发现周则停柜止。赚表中筛最后钳一列好数字粪分别单表示杏点牛到各薯点的搂最短梦路长挣。如果也需要斩知道伴点落到各权点的稿最短鸽路径己，可霜以采胜取“放反向导追踪燃”的锐办法刻。如涉需要组求出猎点午的最都短路羊径，油已知而协在表肌中寻氧求满足邮等式毯的。再考挽察贡，由逢于考察考察荡。由于芝递推剧公式社中的街，笛实际搜意义慢为从启点念、至衔多含精有k-添1个中末间点苍的最仍短路剂权，泪所以拘在含帆有n各点牺的图锡中，址如果阴不含爸有宗系权小扫于零违的回屡路，居求从厦点肆到任宅一点克的最呈短路死权，窃用上阿述算键法最罚多经歼过n-面1次迭陈代必置定收灿敛。愈显然顽如果序图中蓝含有异宗权闯小于鞠零的雨回路蹲，最主短路据权没拴有下笼界。最短京路问耳题在烦图论映应用荣中处任于很膏重要井的地梨位，恰下面煮举两辫个例羽子。例5.祝14设备袍更新腔问题巩。某族工厂红使用宅一台首设备疑，每梅年年炎初工价厂都烂要作酬出决惩定，括如果炭继续连使用猪旧的珠，要倦付维搬修费烈；若素购买枪一台迅新设烈备，擦要付乱购买镜费。聚试制跌定一绸个5年的辜更新挺计划惑，使自总支丹出最定少。若已盏知设柱备在支各年喊的购躲买费棍，即丙不同盯机器坡役龄往时得仍残值扔与维秧修费万，如嫌表5-戴2所示腊。解屈把这麦个问挤题化比为最笔短路蜓问题犯。用点译年年冻初购号进一查台新喝设备信，需范设一连个点办，诱表示围第五野年年叛底。边谎表示活第i年初爬购进会的设怨备一泻直使秀用到辱第j年年坟初（趋即第j-惨1年年络底）帖。边矿上的椅数字炒表示援第i年初扒购进孟设备帝，一择直使扰用到滤第j年初劝所需量支付侍的购擦买、伴维修巷的全被部费千用（窄要由路表5-溪2计算炒得到晃）。岭例如鸽边影