函数的极值与最值

摒弃侥幸之念，必取百炼成钢。厚积分秒之功，始得一鸣惊人。1.3.2函数极值与最值例2，例3：

函数

在

时有极值10，则a，b的值为（）A、或B、或C、D、以上都不对

例4：解:由题设条件得：解之得注意代入检验

注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．已知极值求参数考点二极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．函数极值的综合应用考点三例5

设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【思路点拨】(1)利用导数求单调区间和极值.(2)由(1)的结论，问题转化为y＝f(x)和y＝a的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解.【名师点评】用求导的方法确定方程根的个数,是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．1．极值的概念理解在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点：(1)极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．方法感悟(2)函数的极值不一定是惟一的，即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)＞f(x1)．2．极值点与导数为零的点(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分但不必要条件；(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同.如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是极值点．二、妥新课——函数读的最粗值xX2oaX3bx1y观察攀右边槐一个筹定义利在区津间[a,脾b]上的考函数y=f(闹x)的图笑象.发现丝式图中__请__稀__银__渗__朋__是极贤小值偷，__屈__拐__谨__五_是极粪大值如，在糖区间闯上的匠函数乏的最剪大值复是__幸__去__，最提小值油是__虫__堡__额_。f(就x1)、f(遮x3)f(驰x2)f(糕b)f(忌x3)问题径在于斥如果溉在没树有给服出函义数图周象的姐情况串下，上怎样嗓才能扒判断姨出f(叙x3)是最挥小值渡，而f(宁b)是最怎大值痛呢？导数贴的应贼用--忘--碗-求函千数最堡值.(2倒)将y=学f(陆x)的各挎极值狭与f(陪a)、f(波b)(端点穷处)比较,其中卵最大再的一体个为础最大数值，井最小膨的一个锈最小垦值.求f(咏x)在闭区仅间[a女,b驶]上的易最值排的步南骤(1魄)求f(稼x)在区验间(a,愚b)内极左值(极大主值或数极小挽值)所有脖极值狭连同御端点社函数包值进响行比伙较，最大对的为励最大急值，抖最小计的为跑最小每值※典型勇例题61、求旱出所酿有导崇数为0的点匙；2、计阁算；3、比庄较确异定最乘值。※动手帐试试求下爬列函阻数在屠给定爪区间留上的洁最大撤值与面最小壮值：（浙江）（本题满分12分）已知a为实数，（Ⅰ）求导数；（Ⅱ）若，求在[-2，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若

在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围。※典型候例7题小结求在[a,哥b]上连踢续,(a,辟b)上可究导的节函数f(伯x)在[a,灶b]上的兼最值秋的步贱骤:(1撇)求f(严x)在(a,窑b)内的赖极值;(2谱)将f(枕x)的各席极值炕与f(呈a)、f(遭b)比较,其中俯最大旧的一龙个是挎最大睬值,最小臣的一辅个是极最小语值.※思考反思裙：本炮题属松于逆颜向探学究题咬型；其基骨本方张法最鼻终落刘脚到目比较崖极值腹与端阳点函置数值废大小粱上，夺从而硬解决耳问题圣，往临往伴得随有忽分类略讨论名。2、求间最大取（最侮小）庸值应犹用题字的一白般方除法:(1姿)分析窑实际糊问题睁中各艇量之尖间的帆关系拴，把腊实际软问题档化为矛数学混问题内，建掌立函昆数关糕系式野，这黄是关须键一死步;(2粗)确定赵函数源定义恭域，伴并求冻出极帆值点;(3页)比较枣各极纯值与曾定义范域端析点函远数的椅大小孩，模结合招实际择，确质定最敬值或飘最值占点.1、实膨际应两用问乱题的朗表现皱形式伯，常妹常不雀是以画纯数治学模佣式反谱映出超来:首先议，通迫过审手题，循认识数问题飘的背稳景，已抽象伙出问肢题的彻实质;其次刑，建浪立相取应的伙数学纱模型,将应趋用问奶题转凶化为际数学抓问题,再解.应用例1、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解:设箱酒底边鸦长为x,则箱优高h=填(6饿0-庙x)稳/2尺.箱子燃容积V(毛x)=沿x2h=贿(6太0x2-x3)/畏2(棉0<里x<柱60鲁).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由题桶意可丈知,当x过小(接近0)或过头大(接近60此)时,箱子惜的容汗积很伐小,因此,1田60右00是最予大值.答:当x=驰40奖cm时,箱子劝容积凶最大,最大椒容积叠是16兰00欺0c言m3.2、若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.说明1、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义xy例2:如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(冶x,锦0)痛(0国<x逮<2啄),则A(旁x,惨4x欠-x2).从而|A绑B|餐=猜4x腔-x2,|膨BC提|=芝2(遮2-迎x)齿.故矩保形AB宜CD的面恨积为:S(巧x)=焦|A冬B|叹|B饥C|休=2那x3-1猴2x2+1罩6x弃(0茅<x陆<2阴).令,得所以当时,因此当点B为时,矩形的最大面积是※拓展详提高我们共知道布，如忠果在杏闭区孙间【a，b】上函冻数y=洒f（x）的所图像纠是一漏条连趴续不霸断的绿曲线营，那私么它测必定指有最次大值您和最汤小值照；那闷么把闭区房诚间【a，b】换成姥开区役间（