高中数学人教高中必修第四章指数函数与对数函数函数性质钟锦明

钟锦明学点一学点二学点三学点四学点五学点六学点七1.一般地，函数

叫做指数函数，其中x是

，函数的定义域是

值域是

.2.函数y=ax(a>0,且a≠1)，当

时，在(-∞,+∞)上是增函数；当

时，在(-∞,+∞)上是减函数.3.y=ax(a>0,且a≠1)的图象一定过点

.当a>1时，若x>0,则y

，若x<0，则y

;当0<a<1时，若x>0,则y

,若x<0，则y

.4.函数y=2x-2的图象可以看成指数函数y=2x的图象向

平移

个单位得到的；函数y=ax-m(a>0,且a≠1,m>0)的图象可以看成指数函数y=ax的图象向

平移个

单位得到的；函数y=ax+m(a>0,且a≠1,m>0)的图象可以看成指数函数y=ax的图象向

平移个

单位得到的.y=ax(a＞0,且a≠1)自变量R（0,+∞）a>10<a<1(0,1)>1∈(0,1)∈(0,1)>1右2右m左m返回

5.函数y=ax和y=a-x的图象关于

对称；函数y=ax和y=-ax的图象关于

对称；函数y=ax和y=-a-x的图象关于

对称.6.当a>1时，af(x)>ag(x)

；当0<a<1时，af(x)>ag(x)f(x)<g(x).7.若函数y=f(x)在区间D上是增（减）函数，则函数y=af(x),当a>1时，在区间D上是

函数；当0<a<1时，在区间D上是

函数.y轴y轴原点f(x)>g(x)增（减）减（增）返回

学点一基本概念指出下列函数中，哪些是指数函数：（1）y=4x;（2）y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=x;(6)y=4x2;(7)y=xx;（8）y=(2a-1)x（a>,且a≠1.）【分析】根据指数函数的定义进行判断.【解析】由定义，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫指数函数.由此可以确定（1）（5）（8）是指数函数.

（2）不是指数函数.

（3）是-1与指数函数4x的积.返回

(4)中底数-4<0,所以不是指数函数.(6)是二次函数,不是指数函数.(7)底数x不是常数,不是指数函数.【评析】基本初等函数:一次函数、二次函数、指数函数及后面将要学到的对数函数、幂函数，都有一定的形式,要注意定义的要求.返回

已知指数函数y=(m2+m+1)·（）x,则m=

.解：∵y=(m2+m+1)·（）x为指数函数,∴m2+m+1=1,即m2+m=0,∴m=0或-1.0或-1返回学点二函数的定义域值域求下列函数的定义域、值域:（1）y=2;（2）y=（）;（3）y=4x+2x+1+1;（4）y=10.【分析】由于指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，利用指数函数的单调性求值域.返回学点三比较大小比较下列各题中两个数的大小：（1）1.72.5,1.73;（2）0.8-0.1,0.8-0.2;（3）1.70.3,0.93.1.【分析】将所给指数值化归到同一指数函数，利用指数函数单调性比较大小；若不能化归为同一底数时，或求范围或找一个中间值再比较大小.返回

【解析】（1）指数函数y=1.7x，由于底数1.7>1，∴指数函数y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数.∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.（2）函数y=0.8x，由于0<0.8<1,∴指数函数y=0.8x在(-∞,+∞)上为减函数.∵-0.1>-0.2，∴0.8-0.1<0.8-0.2.（3）由指数函数的性质得1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,∴1.70.3>0.93.1.【评析】比较大小一般用函数单调性，而比较1.70.3与0.93.1的大小，可在两数间插入1，它们都与1比较大小可得结论，注意此类题在求解时，常插入0或±1.返回学点四单调性的判定已知a>0，且a≠1,讨论f(x)=a-x+3x+2的单调性2【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题.指数-x2+3x+2=0当x≥0时，是减函数,x≤0时，是增函数,而f(x)的单调性又与0<a<1和a>1两种范围有关,应分类讨论.返回

【评析】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数;如果两个函数中一增一减,则其复合函数是减函数.但一定要注意考虑复合函数的定义域.返回学点五最值问题求函数y=，x∈［-3,2］的最大值和最小值.【分析】令=t，化函数为关于t的二次函数，再求解.【评析】化为二次函数,用配方法求解是一种常用的方法.返回

学点六函数的图象及应用【分析】指数函数的复合函数常常由指数函数经过平移变换、对称变换、翻折变换等得到，经过这些变换其性质与图象将发生变化.画出函数的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质.返回

由图象可知函数有三个重要性质：（1）对称性：对称轴为x=1;（2）单调性：(-∞,1］上单调递减，［1,+∞)上单调递增；（3）函数的值域：［1,+∞).【评析】作较复杂函数的图象（本题称分段函数），要把各部分变换而得到一个整体，为了表示某部分是某个函数图象的一部分，常画出一些虚线进行衬托，虚线部分不是函数图象上的点，应注意区别.返回

画出函数y=2x-1+1的图象，然后指出其单调区间及值域.先画出指数函数y=2x的图象，然后将其向右平移一个单位，再向上平移一个单位即可，由图象可看出函数的单调增区间为(-∞,+∞),函数的值域为(1,+∞).返回

设a>0，f(x)=在R上满足f(-x)=f(x).（1）求a的值；（2）证明：f(x)在(0,+∞)上是增函数.【分析】f(-x)=f(x)说明f(x)是偶函数，由此求a；单调性只能用定义证明.【解析】（1）因为对一切x∈R有f(x)=f(-x)，即，所以对一切x∈R成立.由此可得即a2=1.又因为a>0，所以a=1.学点七指数函数的综合应用返回【评析】指数函数的复合函数的性质是学习的重点，研究这些性质，使用的方法仍是前面学习的基本方法.（2）证明：∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.返回1.解题时需要注意什么问题？（1）函数y=ax的图象与性质是本学案的核心，对a>1或0<a<1的图象和性质，如单调性、值域的分布等要熟练掌握，只有这样，在研究有关复合函数时才能收到事半功倍的效果.(2)当a>0，且a≠1时,函数y=ax与函数y=的图象关于y轴对称.(3)由函数y=2x,y=2x+1的图象可以看出,将函数y=2x的图象向左平移1个单位,就得到函数y=2x+1的图象.注意不要把方向搞错.（4）结合图象记忆性质，直接进行运算、判断是学习本学案应特别注意的思想方法.返回

2.指数函数的定义中,需要注意什么?指数函数的定义中,要注意以下几点：