高中数学人教高中选修第四讲用数学归纳法证明不等式数学归纳法

从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，…

从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。

"万百千"的笑话故事情境问题情境一

问题1:盒子中有5个小球，如何证明它们都是红色的？

问题2:数列的通项公式是：an=(n2－5n+5)2请算出a1=，a2=，a3=，a4=,猜测1111猜测是否正确呢？问题情境二由于a5＝25≠1，所以猜测是不正确的问题3:在数列{}中,

＝1,

(n∈),

（1）求，，的值；（2）试猜想该数列的通项公式．

像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。

（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法（2）不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法

问题

1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？

完全归纳法

不完全归纳法

问题2:在数列{}中,

试猜想该数列的通项公式。＝1,(n∈),

数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：

思考：归纳法有什么优点和缺点？优点：可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律缺点：仅根据有限的特殊事例归纳得到的结论有时是不正确的

在使用归纳法探究数学命题时，必须对任何可能的情况进行论证后，才能判别命题正确与否。

思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？

思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？多米诺骨牌游戏问题情境三

这个游戏中，能使所有多米若骨牌全部倒下的条件是什么？需满足以下两个条件：

（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相临两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.思考：你认为条件（2）的作用是什么？

思考：能否类比这种方法来解决不完全归纳法存在的问题呢？你能证明这个猜想是正确的吗？引例在数列{}中,

＝1,

(n∈),

（1）求，，的值；（2）试猜想该数列的通项公式．探究发现形成概念任意相邻的两块牌，前一块倒下一定导致后一块牌倒下．第一项成立第k项成立，第k+1项成立．第一块骨牌倒下1234kK+1…………n=1时如果n=k时猜想成立即……那么当n=k+1时猜想也成立，即猜想成立证明一个与正整数有关的命题步骤如下：(2)假设当n＝k(k∈N*,k≥n0)时命题成立,证明当n＝k＋1时命题也成立．

完成这两个步骤后,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数

n都正确．(1)证明当n取第一个值n=n0时命题成立——这种证明方法叫做数学归纳法．归纳奠基归纳递推框图表示了数学归纳法的基本过程：（1）验证：n=n0（n0∈N+）时命题成立。（2）证明：假设n=k（k≥n0）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。结论：命题对所有的n（n0∈N+，n≥n0）成立归纳奠基归纳递推情境1.观察下列各等式，你发现了什么？归纳思考：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？师生互动讲练结合

类比多米诺骨牌游戏证明猜想

的步骤为：(1)证明当n=1时猜想成立(2)证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立.

完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想对于所有的正整数n都是成立的。相当于第一张牌能倒下

相当于使所有骨牌倒下的第2个条件证明①当n=1时，左边＝1＝右边,等式显然成立。例1

证明：递推基础递推依据②假设当n=k时等式成立，即那么,当n=k+1时，有即当n=k+1时,等式也成立。综上①②可知，对任何nN*等式都成立。凑结论从n=k到n=k+1有什么变化凑假设变式训练1：2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*)证明：假设当n=k时等式成立，即

2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(kN*)那么，当n=k+1时，有

2+4+6+8+…+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,因此，对于任何nN*等式都成立。缺乏“递推基础”事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！

这不是数学归纳法证明①当n=1时,左边=,②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即右边=此时，原等式成立。那么n=k+1时,综上①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

变式训练2：缺乏“递推依据”证明①当n=1时,左边=,这才是数学归纳法②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即右边=此时，原等式成立。那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.综上①②知,对一切正整数n,原等式均正确.

用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时结论正确；

（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．

递推基础递推依据“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”“综合（1）（2），……”不可少！注意:数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。(2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论；(3)数学归纳法优点：即克服了完全归纳法的繁杂的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足。(4)数学归纳法的基本思想：运用“有限”的手段来解决“无限”的问题(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法思考：

步骤(1)中n取的第一个值n0一定是1吗？为什么？

举例说明：用数学归纳法证明n边形的对角线的条数是此时n取的第一值（3）（纠错题）课本P87T32n>n2(nN*)证明：①当n=1时，21>12,不等式显然成立。②假设当n=k时等式成立，即2k>k2,那么当n=k+1时，有2k+1=22k=2k+2k>k2+k2k2+2k+1=(k+1)2.这就是说，当n=k+1时不等式也成立。根据（1）和（2），可知对任何nN*不等式都成立。虽然既有“递推基础”，又用到假设（“递推依据”），但在证明过程中出现错误，故上述证法错误！事实上，原不等式不成立，如n=2时不等式就不成立。练习巩固

1、

用数学归纳法证明：“”在验证

n=1成立时，左边计算所得的结果是（

）

A．1 B.C．

D.

C3.

用数学归纳法证明:1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1)＝

练习巩固

4、用数学归纳法证明：

5．求证:当n∈N*时，

用数学归纳法证明

1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

练习巩固

则当n=k+1时，

+＝=

即当n=k+1时命题正确。综上(1)(2)可知，当，命题正确。

=证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立从n=k到n=k+1有什么变化凑假设凑结论练习巩固

4、用数学归纳法证明证明:(1)当n=1时，左边=1,右边===1.命题成立

(2)假设n=k时命题正确，即

则当n=k+1时,

=+

=

∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。

提什么好呢?注意结论的形式

练习巩固

5．求证:当n∈N*时，证明:

∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。(1)当n=1时，左边=;右边∴左边=右边，∴n=1时，命题成立。(2)假设n=k时命题正确，即:

当n=k+1时，

左边=

用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时结论正确；

（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．

递推基础递推依据“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”“综合（1）（2），……”不可少！注意:数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。求证：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．[证明]

(1)显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能被x＋y整除．(2)假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1则当n＝2k＋1时，x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1)又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1)由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除.分析:贝努利不等式中涉及两个字母,X表示大于-1且不等于0的任意实数,N上大于1的自然数,我们利用数学归纳法只能对N进行归纳.[分析]

按照数学归纳法的步骤证明，在由n＝k到n＝k＋1的推证过程中应用了放缩技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常用技巧之一．[点评]用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式．[例6]求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*，a∈R.[分析]

证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得以解决．[证明]

(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题也成立．由(1)，(2)知，对一切n∈N*，命题都成立．[点评]

①对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项式，那么A能被B整除．②在推证n＝k＋1时，为了凑出归纳假设，采用了“加零分项”技巧：a(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1.另外，在推证n＝k＋1命题也成立时，还可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设n＝k时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则ak＋1＋(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)(q(a)为多项式)，所以(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1，所以n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝ak＋2＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝ak＋2＋(a＋1)2[(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1]＝ak＋2＋(a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－(a＋1)2ak＋1＝(a＋1)2·(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1(a2＋a＋1)，显然能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时，命题亦成立．一、选择题1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是(

)A．1

B．1＋3C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4[答案]

C[解析]

当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故应选C.[答案]

B[答案]

1＋2＋3＋4[解析]

当n＝1时，n＋3＝4，所以等式左边为1＋2＋3＋4.5．用数学归纳法证明某个命题时，左边为1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，从n＝k到n＝k＋1左边需增加的代数式为________．[答案]

(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)[解析]

当n＝k时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)．当n＝k＋1时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)，所以从n＝k到n＝k＋1左式应增加(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)．[例7]平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个及以上的圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n2－n＋2(n∈N*)个区域．[分析]

本题关键是弄清第k＋1个圆与前k个圆的交点个数，以及这些交点又将第k＋1个圆分成了多少段弧，每一段弧又是怎样影响平面区域的划分的．[证明]

(1)当n＝1时，1个圆将平面分成2个区域，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即k个圆将平面分成k2－k＋2个区域．则当n＝k＋1时，第k＋1个圆交前面k个圆于2k个点，这2k个点将第k＋1个圆分成2k段弧，每段弧将各自所经过的区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k＋1个圆将平面分成k2－k＋2＋2k个区域，即(k＋1)2－(k＋1)＋2个区域，故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)、(2)可知，对一切n∈N*，命题都成立．[点评]用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何中图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧．[例8]是否存在常数a，b，c使等式1·(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立？证明你的结论．[分析]

先取n＝1,2,3探求a，b，c的值，然后用数学归纳法证明对一切的n∈N*，a，b，c所确定的等式都成立．[点评]本题是探索性命题，它通过观察—归纳—猜想—证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．已知数列{an}的第一项a1＝5且S