创新设计高中数学苏教第十五章第讲不等式的证明

第6讲不等式的证明考点梳理≥a＝b≥a＝b＝c不小于不小于≥a1＝a2＝…＝ana－b>0(2)分析法从所要证明的结论入手向__________________反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式_____的假设；第二步：从___________出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立；使它成立的充分条件相反条件和假设(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地___________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．(6)数学归纳法设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立．放大或缩小一个考情解读证明不等式、最值问题是江苏高考考查的重点，特别要关注证明不等式的几种证明方法；也应注意函数与数形结合的证明问题、最值问题、恒成立问题的处理方式．注意方程、函数、不等式三者之间的联系，恒成立求最值，构造函数利用分离变量，再利用均值不等式、配方法、导数单调性等求最值即可．【助学·微博】考点自测考向一分析法证明不等式[方法总结]分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．(1＋a)(馋1＋b)(枪1＋c)≥8(奏1－a)(郊1－b)(腐1－c)．证明∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，∴要扭证原拣不等怠式成办立，即证[(a＋b＋c)＋a][时(a＋b＋c)＋b][爷(a＋b＋c)＋c]≥8[枪(a＋b＋c)－a][川(a＋b＋c)－b][仗(a＋b＋c)－c]，也就嗓是证[(a＋b)＋(c＋a)]液[(a＋b)＋(b＋c)]锻[(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b)．①【训练1】已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求始证：考向圣二色用综国合法锋证明导不等罩式[方法耗总结]证不欲等式碗时，伶在不窑等式扣的两俭边分辨别作扛恒等闪变形抹，在胡不等借式的总两边山同时吉加上(或减降去)一个涂数或肢代数勺式，办移项眉，在笼不等邪式的夫两边誓同时障乘以(或除答以)一个忍正数迹或一歌个正拳的代旧数式功，得歪到的故不等槐式都矿和原帅来的亚不等竭式等衫价．蒙这些帽方法傍，也响是利规用综悬合法为和分蛙析法斥证明窝不等帽式时治常常果用到坝的技渴巧．【例3】设x＋2y＋3z＝3，求4x2＋5y2＋6z2的最但小值允．考向光三洒利用练柯西铺不等篮式求谷最值[方法暗总结]柯西险不等拆式的继应用纯比较旷广泛恐，常练见的肝有证效明不萍等式命，求持函数赵最值撕，解障方程梁等．耗应用保时，公通过掀拆常犯数，兴重新狗排序缠、添螺项，匙改变混结构接等手置段改男变题鉴设条誓件，拘以利欲于应贷用柯蒙西不惜等式涉．解由柯鲜西不糖等式茄，得(a＋2b＋3c)2≤(a2＋b2＋c2)(商12＋22＋32)＝142，当且俊仅当a＝2b＝3c时等矿号成坏立，所以a＋2b＋3c≤14，即a＋2b＋3c的最躁大值拌为14侄.【训练3】析(互20粥12铜·盐城群市期屡末考秆试)已知a，b，c为正踏数，植且a2＋b2＋c2＝14，试炸求a＋2b＋3c的最宜大值什．利用服算术—几何桶平均意不等屡式证语明不舍等式肃或求泉最值坏问题粘，是盒不等为式问只题中护的一展个重聋要类挤型，斯重点形要抓铃住算傍术—几何根平均指不等环式的售结构丘特点急和使贿用条舅件．规范揪解答31利用沈算术—几何菜平均漆不等由式求角最值[点评]在解贵答本骆题时升有两食点容祝易造赤成失省分：小一是守多次死运用拆算术—几何榜平均策不等卡式后佛化简租错误热；二是帅求解威等号庭成立挡的a，b，c的值业时计察算出博错．高考筹经典扮题组冰训练2．(2朽00庙9·江苏驴卷)对于明正整晃数n≥2，用Tn表示抖关于x的一季元二阀次方害程x2＋2ax＋b＝0有实仗数根化的有纳序数醒组(a，b)的组恶数，览其中a，b∈{1趴,2，…，n}(a和b可以尾相等)；对线于随嚼机选钞取的a，b∈{1探,2，…，n}(a和b可以诞相等)，记Pn为关期于x的一挎元二此次方服程x2＋2ax＋b＝0有实懒数根表的概革率．(1系)求Tn2及Pn2；(1景)解因为缝方程x2＋2ax＋b＝0有实求数根档，所皱以Δ＝4a2－4b≥0，即b≤a2.(ⅰ蔬)n≤a≤n2时，他有n2