人教A版选择性必修第三册81成对数据的统计相关性学案

第八章成对数据的统计分析8．1成对数据的统计相关性新课程标准新学法解读1.会作散点图，并利用散点图推断两个变量之间是否具有相关关系．r，并能利用公式求相关系数r.r推断两个变量线性相关程度的大小，从而推断回归直线方程拟合的效果.1.通过学习相关系数，培育数学运算的素养．2.借助相关关系的学习，提升数据分析和数学建模的素养.课前篇·自主学习固根底[笔记教材]学问点1相关关系两个变量有关系，但又没有准确到可由其中的一个去____________另一个的程度，这种关系称为相关关系．思索：函数关系是相关关系吗？答案：精确地打算思索：提示：不是．函数关系中两个变量之间是一种确定关系．学问点2线性相关(1)散点图一般地，假如收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表所示.序号i123…n变量xx1x2x3…xn变量yy1y2y3…yn那么在平面直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i＝1,2,3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图．(2)正相关和负相关假如从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现________，我们就称这两个变量正相关；假如当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现________，那么称这两个变量负相关．(3)线性相关：一般地，假如两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条________四周，我们就称这两个变量线性相关．答案：(2)增加的趋势减小的趋势(3)直线学问点3相关系数r的计算公式假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，那么变量间相关系数r的计算公式如下：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,)i－n\x\to(x)2)))\r(\i\su(i＝1,n,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,i)－n\x\to(y)2)))).学问点4相关系数r的性质(1)|r|≤1，且y与x正相关的充要条件是r>0，y与x负相关的充要条件是r<0.(2)|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的状况；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值．(3)|r|＝1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上．[重点理解]1．相关关系与函数关系的异同(1)相同点：两者均是指两个变量的关系．(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．②函数关系是一种因果关系，而相关关系不肯定是因果关系，也可能是伴随关系．2．推断变量的相关性通常有两种方式：一是散点图，二是相关系数r.前者只能粗略地说明变量间具有相关性，而后者从定量的角度分析变量相关性的强弱．3．只有当两变量间呈现线性相关关系时，才可以求回归系数，得到回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；假设两变量间的关系不是线性相关关系，应观看分析其散点图，找出拟合函数，通过变量代换把非线性回归问题转化为线性回归问题．[自我排查]1．(2021·山西朔州高二期末)对于变量x与y，当x取值肯定时，y的取值带有肯定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫做()A．函数关系 B．线性关系C．相关关系 D．回归关系答案：C解析：对于自变量x和因变量y，当x取值肯定时，y的取值带有肯定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫相关关系．应选C．2．(2021·河北邢台月考)r1表示变量X与Y之间的线性相关系数，r2表示变量U与V之间的线性相关系数，且r1＝0.837，r2＝－0.957，那么()A．变量X与Y之间呈现正相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性B．变量X与Y之间呈现负相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性C．变量U与V之间呈现负相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性D．变量U与V之间呈现正相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性答案：C解析：由于r1＝0.837，r2＝－0.957，所以变量X与Y之间呈现正相关关系，变量U与V之间呈现负相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性．应选C．3．(2021·哈密第八中学高二期末)观看以下各图形，其中两个变量x，y具有相关关系的图是________．答案：③④解析：由图可知，图③中这些点大致分布在一条直线四周，具有线性相关关系；图④中这些点大致分布在一条类似二次曲线四周，具有相关关系；而图①②中这些点分布不匀称，比拟分散，不具有相关关系．故为③④.4．(2021·陕西咸阳百灵学校高二月考)r是相关系数，当|r|越接近于1，线性相关程度________．答案：越强解析：相关系数的范围是|r|≤1，|r|越接近于1，表示线性相关程度越强．故答案为越强．5．在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别为(1,2)，(2,0)，(4，－4)，(－1,6)，那么y与x的相关系数为________．答案：－1解析：方法一：eq\x\to(x)＝1.5，eq\x\to(y)＝1，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝22，eq\i\su(i＝1,4,y)eq\o\al(2,i)＝56，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝－20，相关系数r＝eq\f(－20－4××1,\r(22－4×256－4×12))＝－1.方法二：观看四个点，发觉其在一条单调递减的直线上，故y与x的相关系数为－1.课堂篇·重点难点要突破研习1变量间相关关系的推断[典例1](多项选择题)以下变量之间的关系是相关关系的是()A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是常数，取b为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4B．光照时间和果树亩产量C．降雪量和交通事故发生率D．每亩田施肥量和粮食亩产量答案：BCD解析：在A中，假设b确定，那么a，b，c都是常数，Δ＝b2－4ac[巧归纳]两个变量是否相关的两种推断方法1．依据实际阅历：借助积累的阅历进行分析推断．2．利用散点图：通过散点图，观看它们的分布是否存在肯定的规律，直观地进行推断．假如发觉点的分布从整体上看大致在一条直线四周，那么这两个变量就是线性相关的，留意不要受个别点的位置的影响．[练习1](2021·伽师县第四中学高二期末)以下图形中，两个变量具有线性相关关系的是()答案：B解析：对于AC，由图象可知，两个变量是确定的函数关系，不是相关关系，故AC不正确；对于B，由散点图可知，散点呈现带状分布，所以两个变量具有线性相关关系，故B正确；对于D，由散点图可知，散点不呈现带状分布，所以两个变量不具有线性相关关系，故D不正确．应选B．研习2相关系数的计算[典例2]假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的修理费用y(单位：万元)有如下统计资料：x23456yeq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)≈140.8，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3，eq\r(79)≈8.9，eq\r(2)≈1.4.计算y与x之间的相关系数(精确到0.001)，并推断它们的相关程度．解：由于eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5.所以eq\i\su(i＝1,5,x)iyi－5eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝112.3－5×4×5＝12.3，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)－5eq\x\to(x)2＝90－5×42＝10，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)－5eq\x\to(y)2＝140.8－5×52＝15.8，所以r＝eq\f(12.3,\r(10×15.8))＝eq\f(12.3,\r(158))＝eq\f(12.3,\r(2)×\r(79))≈×8.9)≈0.987.由样本相关系数r≈0.987，可以推断修理费用和年限这两个变量呈现正相关关系，且相关程度很强．[巧归纳]应用公式r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))，正确计算．[练习2]某厂的生产原料消耗x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系：x2468y30405070计算x与y之间的相关系数，并推断它们的相关程度．解：画出(x，y)的散点图如下图，由图可知x，y有线性关系．eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝47.5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝120，eq\i\su(i＝1,4,y)eq\o\al(2,i)＝9900，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝1080，故相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,4,y)\o\al(2,i)－4\x\to(y)2))))＝eq\f(1080－4×5×47.5,\r(120－4×529900－4×2))≈0.9827.由样本相关系数r≈0.9827，可以推断销售额与生产原料消耗这两个变量呈现正相关关系，且相关程度很强．研习3相关系数的性质及应用[典例3](2021·宁夏银川一中高二期末)两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()A．模型3的相关指数R2B．模型2的相关指数R2C．模型1的相关指数R2D．模型4的相关指数R2答案：C解析：相关指数R2越接近1，那么模型的拟合效果越好，所以模型1的相关指数R2为0.98时，拟合效果最好．应选C．[巧归纳]线性相关强弱的推断方法1．散点图(越接近直线，相关性越强)．2．相关系数(肯定值越大，相关性越强)：|r|≤1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小．[练习3]对四组变量y和x进行线性相关检验，n是观测值组数，r是相关系数．①n＝7，r＝0.9545；②n＝15，r＝0.3812；③n＝17，r＝0.4985；④n＝3，r＝0.9870，那么变量y与x具有较强相关关系的是________．答案：①④解析：相关系数r的肯定值越大，线性相关程度越高，故填①④.课后篇·根底达标延长阅读1．(2021·江西南昌高一期末)对两变量间的关系，以下论述正确的选项是()A．任何两个变量都具有相关关系B．正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系D．一个同学的数学成果与物理成果之间是一种非确定性的关系答案：D解析：对A：当两个变量之间具有确定关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，所以A错误；对B：正方形的面积与该正方形的边长之间是函数关系，所以B错误；对C：农作物的产量与施化肥量之间是相关关系，是非确定性的关系，所以C错误；对D：同学的数学成果与物理成果之间是相关关系，是非确定性的关系，所以D正确．应选D．2．在讨论两个变量y与x的相关关系时，分别选择了四组不同的数据，由这四组不同的数据得到的相关系数r分别为0.25,0.50,0.98,0.80，那么其中相关程度最大的相关系数是() B．0.50 D答案：C解析：线性相关系数的推断中，相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越小，相关程度越小．应选C．3．(2021·安徽定远县育才学校高二期中)对两个变量y与x进行回归分析，分别