角平分线的性质 省赛获奖

1.4角的平分线的性质

［教学内容1］生活中有很多数学问题：小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.问题1：怎样修建管道最短？问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看看..P暖气天然气

创设情境［教学内容2］要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线.将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线.BA····EDC

探究体验［教学内容3］把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边AB与AD相等，从几何作图角度怎么画？BC=DC，从几何作图角度怎么画？BA····DC

探究体验［教学内容3］角平分线的画法：（２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．（3）作射线，则射线OC即为所ABOMNC

探究体验(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．［教学内容3］想一想：为什么OC是角平分线呢？已知：OM=ON，MC=NC.求证：OC平分∠AOB.证明：连接CM，CN在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC即：OC平分∠AOBABMNCO

探究体验［教学内容4］操作：（1）作一个平角∠AOB的平分线OC，（2）反向延长OC得到直线CD..OABCD

探究体验思考1：请说出直线CD与AB的位置关系.思考2：作出一个45º的角.［教学内容5］操作：用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕.问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？

探究体验2．探究体验［教学内容6］如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕.分组讨论、交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质.结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程.

探究体验［教学内容6］结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E.

求证：PD=PE.

探究体验［教学内容7］判断正误，并说明理由：（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.AOBPEF图2图3AOBPEAOBPEF图1（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.

合作交流［教学内容8］运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题：问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？.P暖气天然气

合作交流MN［教学内容9］例题讲解例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：EB=FC.

合作交流AFCDBE［教学内容9］例题讲解变题1如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF，求证：CF=EB.

AFCDBE

合作交流变题2如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE.

ACDBE［教学内容9］例题讲解

例2已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）

同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等DEFABCPMN

合作交流［教学内容10］1、这节课你有哪些收获，还有什么困惑？2、通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？

评价反思谢谢指导［教学内容6］

探究体验［教学内容11］作业（必做题）（1）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，为什么？（2）△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF

⊥

AC，垂足分别为E，F.求证：EB＝FC.（3）如图，CD

⊥

AB，BE

⊥

AC，垂足分别为DE，BE，CD相交于点O，OB＝OC.求证：∠1＝∠2

合作交流AFCDBE4．评价反