世纪金榜第五章第六节

第六节数列的综合应用数列的实际应用(1)解答数列应用题的步骤.①审题——仔细阅读材料，认真理解题意.②建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征.③求解——求出该问题的数学解.④还原——将所求结果还原到原实际问题中.具体解题步骤用框图表示如下：(2)数列应用题常见模型.①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an+1的递推关系，还是前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)在等差数列{an}中，首项a1、公差d、前n项和Sn、通项an、项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个.()(2)在等比数列{an}中，首项a1、公比q、前n项和Sn、通项an、项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个.()(3)数列与不等式问题中经常使用放缩的方法，则对n∈N*有()(4)数列与函数问题中有时会使用导数的方法，证明不等式2n>n时，可以构造函数f(n)=2n-n(n∈N*)，然后对这个函数求导，研究函数的性质得出所证不等式.()【解析】(1)正确.根据等差数列各个元素之间的关系知正确.(2)正确.根据等比数列各个元素之间的关系知正确.(3)错误.对n≥2才有意义.(4)错误.函数在自变量离散的地方不存在导数，必须先把函数的定义域拓展到连续的实数区间上才能求导.答案：(1)√(2)√(3)×(4)×1.一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为_______.【解析】每小时传递人数构成数列2，4，8，…，所以n小时共传递人数，∴n≈19.答案：19小时2.设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1,a3,a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn=_______.【解析】设数列{an}的公差为d，则根据题意得(2+2d)2=2·(2+5d)，解得d=或d=0(舍去)，所以数列{an}的前n项和Sn=答案：3.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k=______.【解析】由等差数列{an}且a1=9d，得.ak=a1+(k-1)d=(k+8)d，a2k=a1+(2k-1)d=(2k+8)d.又∵ak是a1与a2k的等比中项，则有ak2=a1a2k,即[(k+8)d]2=9d×[(2k+8)d]得k2-2k-8=0，解得k1=4,k2=-2(舍去).答案：44.已知x>0，y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是_______.【解析】∵a+b=x+y,cd=xy,答案：45.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为______.【解析】设公比为q,则an=a1qn-1，又4S2=S1+3S3，即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2)，解得q=.答案：

考向1

等差、等比数列的综合应用【典例1】(2013·南通模拟)各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(n∈N*)；(1)求an.(2)令cn=(n∈N*),求{cn}的前n项和Tn.(3)令bn=λ+λ(λ,q为常数,q>0且q≠1),cn=3+n+(b1+b2+…+bn),是否存在实数对(λ,q),使得数列{cn}成等比数列?若存在,求出实数对(λ,q)及数列{cn}的通项公式,若不存在,请说明理由.【思路追点拨】(1杆)根据an与Sn的关秤系求抬解.(2员)分别烛求c1,c2,cn(n罗≥3摇),再求Tn.(3障)把cn用λ,捎q表示,根据赴等比偶数列学的通钱项公冒式确礼定λ,冰q的值.【规范法解答】(1封)a1=S1=∵a1>0匆,∴碑a1=2熔;当n≥庸2时,an=Sn-Sn-今1=即(an+an-辨1)(羡an-an-鸟1-2洞)=年0.∵an>0根,∴乖an-an-飘1=2听,∴{说an}为等租差数泰列,∴冶an=2镰n(涉n∈乓N*).(2弯)c1=b6=b3=a3=6之,c2=b8=b4=b2=b1=a1=2赢,n≥灰3时,此时,Tn=8鸽+(地22+2澡)+碗(23+2器)+环…+宫(2n-屿1+2胞)=灿2n+2请n,(3息)cn=令∴存在(λ穿,q套)=挺(-健1,荡±乐),cn=4浸·(权)n+敬1.【拓展泉提升】解答傅数列倦综合掏问题些的注娃意事麦项(1焰)要重诉视审司题，愤善于暮联系晚，将疼等差农、等估比数袍列与魔函数漏、不斤等式颈、方敏程、公应用识性问水题等莫联系申起来.(2袜)对于继等差管、等进比数聚列的筹综合笔问题页，应根重点溜分析并等差假、等鼻比数曲列的喂通项螺、前n项和营以及湿它们须之间迟的关末系，忆往往船用转核化与绣化归叔的思肺想来矿处理.【变式棍训练】数列{an}的前n项和响记为Sn,a1=1腹,an+虫1=2吼Sn+1绞(n请≥1发).(1义)求{an}的通宅项公访式.(2苏)等差海数列{bn}的各堆项为恳正，毙其前n项和确为Tn，且T3=1铁5,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等丸比数林列，筹求Tn.【解析】(1璃)由an+棵1=2而Sn+1受,可得an=2云Sn-齐1+1骑(n衬≥2允),两式孝相减悦得an+乱1-an=2嗓an，则an+渐1=3考an(n否≥2逆).又a2=2掏S1+1婶=3姥,∴剂a2=3絮a1.故{an}是首亿项为1，公暂比为3的等滋比数选列，遮∴an=3n-葡1.(2皂)设{bn}的公规差为d,由T3=1岗5,即b1+b2+b3=1台5,可得b2=5香,故可序设b1=5束-d勿,b3=5重+d，又a1=1僵,a2=3沙,a3=9，由澡题意讨可得(5英-d+1禁)(彼5+萝d+纯9)滥=(攀5+期3)2，解参得d1=2闸,d2=-杰10鹊.∵等差赛数列{bn}的各直项为椅正，协∴d＞0,∴d登=2烛,b1=3枕,∴外Tn=3至n+贪×川2=吸n2+2豆n.考向2数列努的实文际应笔用【典例2】(2旬01最2·湖南获高考)某公倚司一争下属坟企业州从事蚂某种捷高科居技产冠品的溪生产.该企斯业第欧一年拾年初刘有资浪金2差00末0万元俗，将吧其投镜入生是产，你到当摄年年欢底资痒金增献长了50％.预计鸣以后积每年野资金闯年增币长率毫与第迁一年愉的相缠同.公司泰要求该企业择从第疲一年患开始屠，每即年年蹦底上条缴资守金d万元明，并谣将剩译余资拾金全系部投怎入下猪一年蚀生产.设第n年年他底企雕业上恋缴资糠金后弯的剩刑余资嗽金为an万元.(1察)用d表示a1，a2，并桶写出an+豪1与an的关弄系式.(2稀)若公礼司希吸望经示过m(奥m≥赞3)年使类企业拜的剩狼余资县金为4尤00雄0万元畜，试西确定级企业洪每年楚上缴宾资金d的值(用m表示).【思路鞋点拨】(1码)只要榆根据乓增长者率求宅出当躁年年助底的尘资金绑总额款，再廊减去肚上缴严的资盐金，雀就是拐下年弓度年伶初的尘资金竿，即妥可求皇出a1,a2，以裁及建罗立an+详1与an间的震递推赔关系辜式.(2倚)使用洪逐次蜓迭代孕的方庆法或闲者构汤造等厅比数静列的幸方法竞均可拳求出农数列{an}的通受项公荣式an，令am=4颈0贤00即可此求出d.【规范猛解答】(1枝)由题恨意得a1=2群0嚼00娘(1某+5亚0%览)-船d=3庆0每00绩-d，a2=a1(1闸+5远0%堂)-院d=庄a1-d洪=4厅5龟00饼-颂d，∴an+炸1=an(1卫+5辫0%疤)-的d=既an-d悼.(2眼)方法辨一：设由(1佣)得an=闲an-壳1-d=丧(那an-水2-d锐)-暴d=(价)2an-滑2-d-围d=…=(行)n-暗1a1-d底[1药+衣+铲(艘)2+…呀+(常)n-卖2].整理睡得an=(骨)n-因1(3情0倒00重-d祖)-厌2d保[(紫)n-妨1-1企]=(情)n-埋1(3败0弹00我-3辞d)患+2蛇d.由题束意，am=4杨0斑00冻,∴(拼)m-抢1(3甩0丢00嗓-3丸d)怒+2企d=喉4数00王0,解得故该形企业签每年浩上缴被资金d的值碌为唱时，茎经过m(胆m≥榨3)年企规业的蛾剩余盐资金掠为4呆00脊0万元.方法润二：侮由于an+撒1=倒an-d，设an+伶1+λ友=没(终an+λ蝴)，化杂为an+误1=渠an+角λ沟,与an+奖1=戴an-d比较可得λ=者-2延d，故an+彩1-2伪d=慌(an-2宰d)，这堡说明瘦数列{an-2调d}是以a1-2维d=贯3衡00怜0-屠3d为首史项,为公乌比的咏等比创数列掀，所以an-2头d=贤(3丛0评00情-3亭d)键·(收)n-兼1,即an=(丘3既00泽0-栋3d慕)·廉(鬼)n-团1+2铃d.(下同话方法腔一).【拓展戏提升】解答茎数列雪实际济应用研问题撒的步态骤(1恐)确定气模型页类型寺：理笛解题誉意，旦看是巴哪类议数列稍模型饲，一事般有躬等差接数列阁模型顷、等则比数察列模表型、锈简单号的递桃推数姨列模王型.基本边特征桥见下酸表：(2俭)准确火解决劳模型据：解需模就类是根荒据数派列的健知识紫，求锁数列鱼的通蜡项、涂数列转的和阁、解潜方程绞或者漆不等闷式等滑，在遇解模必时要品注意撑运算毯准确.(3酿)给出帐问题仿的回爱答：健实际碧应用送问题如最后滤要把倒求解领的数柱学结忆果化约为对啦实际鞠问题谋的答径案，峡在解校题中察不要法忽视妇了这溪点.【提醒】解数珠列应啦用题宿要明输确问住题属妻于等乡丰差数姑列问国题还惕是等滤比数腔列问利题，阿是求an还是叹求Sn,特别氧是要隐弄清随项数.【变式补训练】某企猪业去骄年的雅纯利纸润为50迁0万元寨，因煌设备逃老化权等原因殿，企桃业的孕生产匙能力挂将逐宋年下稀降.若不银能进惯行技档术改泼造，杯预测从滴今年旗起每谨年比绿上一醋年纯佣利润浇减少20万元关，今臂年年悬初该沃企业一次瓣性投鲁入资绍金60灾0万元箭进行娇技术吨改造挽，预耻测在志未扣叨除技答术改造资狸金的拆情况甘下，组第n年(今年族为第钱一年)的利忧润为50应0(晋1+鸟)万元(n为正傲整数).(1导)设从搬今年炒起的厦前n年，搅若该低企业拉不进抵行技航术改槐造的殿累计俭纯利鹅润为An万元妥，进犁行技更术改狐造后眠的累捡计纯覆利润段为Bn万元(需要公扣除斧技术萌改造腥资金)，求An,Bn的表弹达式.(2生)依上守述预沉测，揉从今牌年起绳该企北业至约少经尼过多志少年报，进眨行技肢术改师造后院的累壳计纯盟利润独超过厚不进巾行技础术改权造的劲累计设纯利逼润？【解析】(1辫)依题熊意知嫩，数妹列{An}是一贤个以48碰0为首翁项，-2逢0为公差迷的等赶差数泄列，所以An=4业80营n+员×珠(-雹20描)=辫49润0n雁-1辜0n2,Bn=5奴00满(1转+体)互+5盟00戴(1散+翅)+跌…+浆50贱0(叙1+安)爪-6恶00=5洋00限n+蹈50债0(堵)-传60拥0=5扰00舅n+尖50疾0×滑-收60象0=5朽00来n-由-1额00绑(n朋∈N*).(2络)依题肌意得额，Bn>An，即50浪0n拳-眯-兰10守0>谁49猎0n锹-1制0n2,可化士简得<n2+n亭-1班0,设f(晴n)=冒,祖g(维n)移=n2+n咽-1以0,又∵n∈大N*，f(项n)是减位函数上，g(烫n)是增衣函数姐，又f(伟3)脂=崖>g勉(3辜)=凳2,秤f(译4)搂=蔑<g坟(4黄)=泡10蜓,∴溜n≥多4,史n∈耽N*，所朵以从今锋年起用该企匙业至胆少经脆过4年进勾行技恒术改挽造后殿的累铲计纯验利润哥超过不纯进行聋技术颗改造吐的累浴计纯兽利润.考向3数列杂与函早数、酸不等顽式的陡综合鸦应用【典例3】(2占01盼3·南京贫模拟)已知艰函数f(皱x)=安ln钳(1挖+x级)-臣x，数括列{an}满足托：a1=烦,束ln瓣2愿+l气n捏an+孔1=an+寺1an+f马(an+增1an).(1掀)求证驰：ln龙(1逃+x续)≤敬x.(2涨)证明焦数列{悉}为等今差数友列，炒并求膜数列{an}的通耍项公突式.(3所)求证霉不等姐式：a1+a2+…否+an<n+轿ln2-很ln见(n停+2抗).【思路把点拨】(1寇)求函炉数导鲁数,利用开函数稀的单拌调性后证明.(2雾)根据此函数角关系掠把数期列的饶递推馅关系炭找出葵来，覆利用逮变换破的方通法将规递推仿关系落转化礼为等坦差数村列或烟等比漫数列碗的关都系解摸决.(3物)根据(1洞)(捏2)的结碌果分摄析探驶究.【规范据解答】(1做)f搭(x货)=藏ln惹(1域+x桌)-晨x,礼f′偶(x蒙)=当-1尤<x硬<0时，f′沙(x)>斧0，即y=f(杆x)是单斜调递叉增函邪数；当x>茄0时，f′状(x)<剩0，即y=f(喘x)是单葵调递踪蝶减函油数.即f(体0)是极摩大值艇，也因是最令大值.f(屡x)=筐ln幻玉(1绳+x双)-价x≤息f(跃0)冤=0⇒ln沈(1默+x赤)≤漂x,当x=唐0时取础到等裙号.(2贡)由ln俩2状+l倾n啄an+医1=an+英1an+f忘(an+垫1an)得2an+叠1=an+坡1an+1，an+股1=an+姥1-1被=庆=即数似列{绸}是等湖差数偿列，聪首项监为=-均2，公漂差为-1，(3膊)a1+a2+…涌+an=n围-(尤)早.又∵x>束0时，姑有x>职ln涌(1剥+x裙),令x=舞>0身,则∴n-分(钢)<n梢-(脊ln竟+l浸n叼+失ln想+…爪+l贤n晶+钓ln卫)=n疏-l让n(折)=n闲-l趟n菜=n+陈ln2-民ln奸(n译+2废)∴a1+a2+…辞+an<n+页ln2-气ln社(n拥+2娘).【拓展趋提升】数列蜜中不奔等式劈燕的处东理方迅法(1飘)函数轿方法脖：即鲜构造搁函数坊，通老过函适数的岭单调刚性、葛极值怖等得殿出函夺数的粉不等遇式，炸通过另对函径数不液等式王特殊晶赋值祸得出爱数列延中的锄不等蜜式.(2阳)放缩纳方法志：数练列中轮不等店式可姿以通苏过对臭中间阅过程拜或者缠最后撤的结谁果放控缩得图到.(3岭)比较贸方法硬：作揭差或拥者作绣商比狂较.【变式昼训练】(1境)已知an=2灵n-百1，求锻使不素等式(1工+宜)秆(1稿+以)榴…(1华+拾)≥虑p对一丈切n∈佳N*均成览立的岛最大润实数p.【解析】由题崖意得p≤对n∈价N*恒成立蕉，记F(钱n)=则∵F(平n)>边0,乓∴F武(n河+1韵)>F(叮n),即F(给n)随n的增固大而甩增大,F(劈燕n)的最庭小值氧为F(悄1)城=∴p特≤即pma吃x=(2惊)已知an=(灵n+抓1)党(2梳n+笛1)，求努证：【证明】当n=衰1时不绞等式怕显然挡成立锤；当n≥幼2时，an=(抬n+腰1)赏(2翁n+投1)劲=2霜n2+3环n+漂1>门2(宿n+毯1)稳n=bn,故综上准可知先，所评证不采等式温成立.【创新稻体验】数列秘与函士数的黄珠联代璧合【典例】(2永01仇2•四川课高考冠改编)设函冠数f(椅x)=激2x针-c第os狠x，{an}是公差勤为业的距等差发数列荡，f(窄a1)+幻玉f(枯a2)+厕…+膏f(偿a5)=缎5π，则[f甘(a3)]2-a1a5=_袍__枣__持__界_.【思路絮点拨】【规范低解答】f(歉a1)+黄f(顽a2)+遍f(匠a3)+贼f(勉a4)+萝f(五a5)=2亭(a1+a2+a3+a4+a5)-筛(c俭os纪a1+c持os烂a2+c迹os笔a3+c统os按a4+c挥os席a5)=1千0a3-[丸co邪s(盆a3-杜)信+c敲os狱(a3-雾)闲+c东os成a3+c娇os暑(a3+穴)环+co联s(纹a3+只)到]=1钥0a3-(肚2c夜os凝+块2c裙os压+消1)猛co樱s振a3.构造芽函数g(珠x)金=1菊0x路-(痰2c秆os当+漂2c胃os北+彩1)另co为s洞x-肝5π驻,g′煌(x衔)=咱10钥+(郊2c冰os嫂+瞎2c葱os愉+汽1)雕si跃n盾x>旨0,函数g(逐x)在(-末∞,众+∞歇)单调啄递增锦，由g(较)=扰0，所以纱方程10所x-奋(2棵co渔s荐+2承co堵s努+1朋)c川os肆x正-5这π=撑0有惟哀一解x=，所体以a3=槽.所以[f侮(a3)]2-a1a5=[始f(径a3)]2-(饭a3-樱)开(a3+隐)=[钟f(贿a3)]2-a32+=π2-(铜)2+疫=答案串：【思考闪点评】1.方法厉感悟皮：本案题充那分体尘现了讽函数驼思想词在解化题中娱的应习用，过根据兵等差品数列听性质冠和三咸角函烛数性略质化尾简f(飘a1)+血f(聪a2)+旅f(狱a3)+宁f(毕a4)+f(岩a5)为关稠于a3的表每达式当，通普过构隶造函撑数，运研究倚其单教调性贵，求萝出a3的值.这种途“构捏造函执数”礼的思介想，鸽是解繁决数栏学问教题的策重要鬼思想.2.技巧乖提升行：在宋数列剪与函确数的翁综合宾问题探中，给通过飞观察华分析牛，找甲出问顾题的扇特征吃，通比过构得造函越数，醉研究至函数键的性优质解义决问跨题，开是处迫理数叉列与扫函数管综合樱问题刊的基帮本手元段之核一.1.蜂(2夜01化3·无锡轻模拟)在等溪差数墓列{an}中an＞0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5·a6的最宇大值枣等于__呜__鞭__风_.【解析】等差堡数列轨的性扛质：监项数犁和相月等，报则项篮的和似也相羊等，耗所以由a1＋a2＋…＋a10＝30保,得a5+a6=逗=6，由耕基本牵不等趟式得a5·a6≤9此.答案愈：92.斩(2射01局3·镇江薄模拟)已知户数列{an},陡{bn}满足a1=b1=1修,an+狭1-an=,n牙∈N*，则荷数列{吓}的前10项和四为__滥__阵__歌.【解析】根据盛已知an=2跌n-珠1，bn=2n-轮1，所以亭，亡所以锻数列{串}的前10项和榨等于答案贿：3.剧(2低01苦3·南京玻模拟)已知念函数f(干x)=发x2+b寒x的图会象在缩慧点A(返1，f(辰1)载)处的舞切线l与直融线3x港-y增+2再=0平行治，若左数列{述}的前n项和为Sn,则S2洋01帮3的值脏为__烘__俘__弓_.【解析】∵f′葬(x)=深2x依+b蕉,∴员f′坦(1壤)=华2+允b,∴2见+b白=3黄,∴粱b=住1.∴∴Sn=∴Sn=∴S2缝01脚3=答案零：4.港(2六01林3·泰州宋模拟)某同觉学利厦用暑算假时遍间到香一家简商场却勤工跟俭学滚，该垦商场赤向他泉提供肺了三享种付初酬方汉案：皱第一座种，铺每天果支付38元；树第二妖种，立第一息天付4元，晃第二容天付8元，热第三紫天付12元，飞依此碎类推候；第画三种何，第债一天南付0.贫4元，勒以后葵每天跨支付思的薪果酬是匹前一勿天薪辟酬的2倍，事工作军时间晶为n天.(1搅)工作n天，顶记三暑种付罚酬方使式薪种酬总卡金额字依次袭为An，Bn，Cn，写误出An，Bn，Cn关于n的表终达式.(2好)如果n=慨10，你贴会选夸择哪道种方板式领妥取报绣酬？【解析】(1物)设三头种付剩酬方苗式每武天金涝额依阿次为丢数列{an}，{bn}，{cn}，它境们的辱前n项和谁依次番分别呢为An,Bn,Cn.依题忌意，第一断种付存酬方栽式每拼天金样额组知成数害列{an}为常茧数数阅列，羡则An=3钳8n录.第二绢种付动酬方终式每茶天金掩额组困成数夸列{bn}为首硬项为4，公岁差为4的等差车数列佛，则Bn=4铅n+肚×责4=购2n2+2满n.第三梦种付向酬方号式每认天金佛额组淡成数尸列{cn}为首馒项是0.找4，公越比为2的等便比数旁列，痒则Cn=劫=0缴.4价(2n-1摧).(2各)由(1罩)得，吊当n=徐10时，A10=3圣8×艘10喜=3气80候,B10=2种×1辆0