北京市海淀区2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)

北京市海淀区2020届高三数学上学期期末考试一试题（含解析）本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.

在试卷上作答无第一部分（选择题

共40分）一、选择题共10小题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项.已知会合，，，则会合是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【剖析】利用补集和交集的定义可求出会合.【详解】会合，，，则，因此，.应选：D.【点睛】此题考察交集与补集的混淆运算，熟悉交集和补集的定义是解题的重点，考察计算能力，属于基础题.2.抛物线的焦点坐标为（

）A.

B.

C.

D.【答案】B【解析】解：由抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于轴正半轴，由，可得：，即焦点坐标为.此题选择B选项.3.下列直线与圆相切的是（

）A.

B.

C.

D.【答案】A【解析】【剖析】察看到选项中的直线都过原点，且圆也过原点，只要求出圆在原点处的切线方程即可.【详解】由于选项中各直线均过原点，且原点在圆上，圆心坐标为，圆心与原点连线的斜率为，所以，圆在原点处的切线方程为.应选：A.【点睛】此题考察直线与圆地点关系的判断，考察计算能力，属于基础题.4.已知、，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【剖析】利用特殊值法和函数单一性可判断出各选项中不等式的正误.【详解】对于A选项，取，，则成立，但，A选项错误；对于B选项，取，，则成立，但，即，B选项错误；对于C选项，由于指数函数在上单一递减，若，则，C选项正确；对于D选项，取，，则，但，D选项错误.应选：C.【点睛】此题考察不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单一性与不等式的性质来进行判断，考察推理能力，属于中等题.5.在的展开式中，的系数为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【剖析】写出二项展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可计算出的系数.【详解】的展开式通项为，令，得.因此，的系数为.应选：A.【点睛】此题考察二项展开式中指定项系数的求解，解题时要娴熟利用二项展开式通项来计算，考察计算能力，属于基础题.6.已知平面向量、、知足，且，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【剖析】由等式得，等式两边平方可求出的值.【详解】由可得，等式两边平方得，即，因此，.应选：A.【点睛】此题考察平面向量数量积的计算，解题的重点就是平等式进行变形，考察计算能力，属于中等题.7.已知、、是三个不同的平面，且，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【剖析】根据几何模型与面面平行的性质定理，联合充分条件和必要条件的定义可判断出“”是“”的必要而不充分条件.【详解】如下列图所示，将平面、、视为三棱柱的三个侧面，设，将、、视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“”“”；另一方面，若，且，，由面面平行的性质定理可得出.所以，“”“”，因此，“”是“”的必要而不充分条件.应选：B.【点睛】此题考察必要不充分条件的判断，同时也考察了空间中平行关系的判断，能力，属于中等题.8.已知等边边长为，点在边上，且，.下列结论中错误的选项是（）

考察推理A.

B.

C.

D.【答案】

C【解析】【剖析】利用余弦定理计算出，联合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行判断.【详解】如下列图所示：点在边上，且，，由余弦定理得，整理得，，解得，，则，由正弦定理得，所以，.由余弦定理得，同理可得，则.应选：C.【点睛】此题考察三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，波及余弦定理以及正弦定理的应用，考察计算能力，属于中等题.声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）知足.喷气式飞机腾飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机腾飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A.倍

B.倍

C.倍

D.倍【答案】B【解析】【剖析】设喷气式飞机腾飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为、，根据题意得出，，计算出和的值，可计算出的值.【详解】设喷气式飞机腾飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为、，由题意可得，解得，，解得，所以，，因此，喷气式飞机腾飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，应选：B.【点睛】此题考察对数函数模型的应用，同时也波及了指数与对数式的互化，考察计算能力，属于中等题.若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：①线段长度的取值范围是；②存在点使得平面；③存在点使得.其中，所有正确结论的序号是（A.①②③B.②③

）

C.①③

D.①②【答案】D【解析】【剖析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴成立空间直角坐标系，设点的坐标为，求出点、的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.【详解】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点.在正方体中，平面，平面，，又，，平面，即，，同理可证，，则，.以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴成立空间直角坐标系，设，则，

，，，.对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确；对于命题②，，则平面的一个法向量为，，令，解得，所以，存在点使得平面，命题②正确；对于命题③，，令，整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误.应选：D.【点睛】此题考察立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也波及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来办理是解题的重点，考察推理能力，属于中等题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每题5分，共30分.在等差数列中,若,则.【答案】【解析】试题剖析：设等差数列的公差为，由已知得，所以，所以．考点：等差数列的通项公式.12.若复数，则_________.【答案】【解析】【剖析】利用复数的除法法例将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出的值.【详解】，因此，.故答案为：.【点睛】此题考察复数模的计算，同时也考察了复数的除法运算，考察计算能力，属于基础题.已知点，点、分别为双曲线的左、右极点.若为正三角形，则该双曲线的离心率为_________.【答案】【解析】【剖析】根据为等边三角形求出的值，可求出双曲线的焦距，即可得出双曲线的离心率.【详解】由于为正三角形，则，得.所以，双曲线的半焦距为，因此，该双曲线的离心率为.故答案为：.【点睛】此题考察双曲线离心率的计算，解题的重点就是求出双曲线方程中的几何量，考察计算能力，属于基础题.14.已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【剖析】由题意可知，函数在区间上存在极小值，分和两种情况议论，剖析函数在区间上的单一性，在时求出函数的极值点，可得出，解出即可.【详解】，.当时，对随意的，，此时，函数在区间上为增函数，则函数在区间上没有最小值；当时，令，可得，当时，，当时，，此时，函数的极小值点为，由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】此题考察利用函数的最值点求参数，解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系，考察运算求解能力，属于中等题.用“五点法”作函数的图象时，列表如下：则_________，_________.【答案】(1).(2).【解析】【剖析】根据表格中的数据求出、、的值，可得出函数的解析式，然后辈值计算可得出和的值.【详解】由表格中的数据可知，，函数的最小正周期为，，，当时，则，解得，则，，.故答案为：；.【点睛】此题考察三角函数值的计算，解题的重点就是利用表格中的数据求出函数解析式，考察计算能力，属于中等题.已知曲线（为常数）.i）给出下列结论：①曲线为中心对称图形；②曲线为轴对称图形；③当时，若点在曲线上，则或.其中，所有正确结论序号是_________.（ii）当时，若曲线所围成的地区的面积小于，则的值能够是_________.（写出一个即可）【答案】(1).①②③(2).均可【解析】【剖析】i）在曲线上任取一点，将点、、代入曲线的方程，可判断出命题①②的正误，利用反证法和不等式的性质可判断出命题③的正误；ii）根据时，配方得出，可知此时曲线为圆，且圆的面积为，进而得悉当时，曲线所表示的图形面积小于.【详解】（i）在曲线上任取一点，则，将点代入曲线的方程可得，同理可知，点、都在曲线上，则曲线对于原点和坐标轴对称，命题①②正确.当时，，反设且，则，，所以，，则，所以，，这与矛盾.假定不可立，所以，或，命题③正确；ii）当时，曲线的方程为，即，即，此时，曲线表示半径为的圆，其面积为.当时，且当时，在圆上任取一点，则，则点在曲线外，所以，曲线的面积小于圆的面积.故答案为：①②③；均可.【点睛】此题考察曲线中的新定义，波及曲线的对称性以及曲线面积有关的问题，考察推理能力，属于难题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.已知函数.（Ⅰ）求函数的单一递增区间；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【剖析】（Ⅰ）利用二倍角的降幂公式以及协助角公式将函数的解析式变形为，然后解不等式，即可得出函数的单一递增区间；（Ⅱ）由，，联合题意得出，即可求出实数的最小值.【详解】（Ⅰ），因为的单一递增区间为，令，得.所以函数的单一递增区间为；（Ⅱ）因为，所以.又因为，的最大值为，所以，解得，所以的最小值为.【点睛】此题考察三角函数的单一性以及最值的求解，解题的重点就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考察计算能力，属于中等题.18.如图，在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明看法析；（Ⅱ）证明看法析；（Ⅲ）.【解析】【剖析】（Ⅰ）由中位线的性质得出，然后利用直线与平面平行的判断定理可证明出平面；（Ⅱ）由已知条件可知，然后利用面面垂直的性质定理可证明出平面，即可得出；（Ⅲ）以为原点，、所在直线分别为轴、轴成立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）在中，、分别为、的中点，所以为中位线，所以.又因为平面，平面，所以平面；（Ⅱ）在等腰直角三角形中，，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又因为平面，所以；（Ⅲ）在平面内过点作垂直于，由（Ⅱ）知，平面，因为平面，所以.如图，以原点成立空间直角坐标系.则，，，，.，，.设平面的法向量为，则，即.令则，，所以.直线与平面所成角大小为，.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】此题考察直线与平面平行的判断、利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考察了直线与平面所成角的正弦值的计算，考察推理能力与计算能力，属于中等题.某市《城市总体规划（年）》提出到年实现“分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身个方面建立“分钟社区生活圈”指标体系，并依据“分钟社区生活圈”指数高低将小区区分为：优质小区（指数为）、优秀小区（指数为）、中等小区（指数为）以及待改良小区（指数为）个等级.下面是三个小区个方面指标的检查数据：注：每个小区“分钟社区生活圈”指数，其中、、、为该小区四个方面的权重，、、、为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为之间的一个数值）.现有个小区的“分钟社区生活圈”指数数据，整理获得如下频数散布表：分组频数（Ⅰ）分别判断、、三个小区是否是优质小区，并说明原因；（Ⅱ）对这个小区按照优质小区、优秀小区、中等小区和待改良小区进行分层抽样，抽取个小区进行检查，若在抽取的个小区中再随机地选用个小区做深入检查，记这个小区中为优质小区的个数为，求的散布列及数学希望.【答案】（Ⅰ）、小区不是优质小区；小区是优质小区；看法析；（Ⅱ）散布列看法析，数学希望.【解析】【剖析】（Ⅰ）计算出每个小区的指数值，根据判断三个小区是否为优质小区；（Ⅱ）先求出个小区中优质小区的个数，可得出随机变量的可能取值，然后利用超几何散布的概率公式计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的散布列，利用数学希望公式可计算出随机变量的数学希望值.【详解】（Ⅰ）小区的指数，，所以小区不是优质小区；小区的指数，，所以小区是优质小区；小区的指数，，所以小区不是优质小区；（Ⅱ）依题意，抽取个小区中，共有优质小区个，其余小区个.依题意的所有可能取值为、、..则的散布列为：.【点睛】此题考察概率统计综合问题，同时也考察了超几何散布列与数学希望的计算，时要联合题意得出随机变量所知足的散布列种类，考察剖析问题和解决问题的能力，

解题属于中等题.20.已知椭圆的右极点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为原点，过点的直线与椭圆交于两点、的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为.【解析】【剖析】

，直线和分别与直线交于点、，求与面积之和（Ⅰ）设椭圆的焦距为，根据题意列出对于、、的方程组，求出这三个量的值，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）设点，可得出点坐标为，求出点、的坐标，求出与面积之和的表达式，联合等式，利用基本不等式可求出与面积之和的最小值.【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，依题意，得，解得.所以椭圆的方程为；（Ⅱ）设点，依题意，点坐标为，知足（且），直线的方程为，令，得，即.直线的方程为，同理可得.设为与轴的交点..又因为，，所以.当且仅当取等号，所以的最小值为.【点睛】此题考察椭圆方程的求解，同时也考察了椭圆中三角形面积之和最值的求解，考察计算能力，属于中等题.已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数有极小值，求证：的极小值小于.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明看法析.【解析】【剖析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出和的值，然后利用点斜式可写出所求切线的方程；（Ⅱ）设函数的两个极值点分别为、，且，由韦达定理可得悉，然后利用函数在区间上的单一性可证明出结论成立.【详解】（Ⅰ）由已知得，因为，，所以直线的方程为；（Ⅱ），令，.（i）当时，即当时，，，所以，函数在上是单一递增函数，此时，函数在上无极小值；（ii）当时，即当时，记、是方程的两个根，不妨设，则，所以此时，随的变化如下：

.极大值极小值所以，函数