《力学基础》第三章 剪切和扭转

第三章剪切和扭转3.1剪切的概念3.2剪切和挤压的实用计算3.3扭转的概念3.4外力偶矩扭矩和扭矩面3.5薄壁圆筒的扭转3.6圆轴扭转时的应力及变形3.7圆轴扭转时的强度和刚度计算3.8圆柱形密圈螺旋弹簧3.9圆轴扭转时斜截面上的应力及扭转破坏分析3.10矩形截面杆扭转简介螺栓连接铆钉连接销轴连接平键连接榫连接焊接连接3.1剪切PPPPmnPQmn0ppP单剪双剪3.2剪切和挤压的实用计算

一、剪切的实用计算方法

PQt剪应力τ在剪切面上均匀分布，于是剪应力的计算式为式中，Ａ为剪切面面积。由公式算出的剪应力是以假设为基础的，并不是真实应力，通常称为名义剪应力。当剪切面上的剪应力达到一定值后，剪切构件会因剪切而破坏。许用剪应力，即（３-２）这就是剪切强度条件。若材料的极限剪应力，n为安全系数则材料的许用剪应力，即

实验结果表明，材料的剪切强度极限与拉压强度极限有近似比例关系：塑性材料：脆性材料：根据这个关系，工程上常根据拉伸许用应力的值估算剪切许用应力的值。例：销钉联接结构如图所示，已知载荷P=15kN，板厚t=8mm,销钉的直径d=20mm,销钉许用剪应力试校核销钉的剪切强度。

0ppd1.5tttpmmnnQQmmnn

二、挤压的实用计算挤压力：作用在接触面上的压力挤压变形：在接触面处产生的变形挤压面：挤压发生在联结件与被联结件的接触面挤压应力：挤压面上的压强pp式中，为有效挤压面面积。按公式得到的挤压应力并不是真实应力，所以称为名义挤压应力。挤压面

有效挤压面面积的计算分两种情况讨论：（１）当挤压面为平面时，有效挤压面面积为实际接触面面积，即（２）当挤压面为圆柱面时，（如铆钉杆和铆钉孔）有效挤压面面积是实际接触面的直径投影面，即这样，按公式算出的挤压应力和实际产生的最大挤应力很相近。lhh2

为了防止挤压破坏，应该使最大的挤压应力不超过材料的许用挤压应力，即（3-4）这就是挤压强度条件。许用挤压应力与许用拉应力之间有如下关系：塑性材料：脆性材料：如果两个接触构件的材料不同，应对连接中挤压强度较弱的构件进行计算。三、连接件的强度计算

工程上常用的连接件受力后发生破坏有三种可能情况：一是沿剪切面被剪断；二是挤压面受挤压发生显著的塑性变形，使连接杆件松动；三是连接板因钻孔后截面受到削弱，可能被拉断。

为充分利用材料，切应力和挤压应力应满足例2

铆钉联接结构如图a所示，已知载荷，铆钉直径，钢板的许用拉应力，铆钉的许用剪应力，钢板及铆钉的许用挤压应力。试校核结构的强度。Pd=16P=100KN(a)t=10t=10解：铆钉联接结构的可能破坏形式有三种：铆钉因剪切而破坏；铆钉或钢板因挤压而破坏；钢板因拉伸而破坏。（1）校核铆钉的剪切强度。每个铆钉受到的作用力为1p2p321123P4p4p4p4pPPb=90Pd=16P=100KNt=10t=10铆钉剪切面上的剪力为铆钉的剪应力为PP1p2p10PP123P3214p4p4p4pb=90Pd=16P=100KNt=10t=10（2）校核铆钉的挤压强度。铆钉的挤压力为挤压应力为2314p34PP1123P3214p4p4p4p+Pd=16P=100KNt=10t=10（3）校核钢板的拉伸强度。截面法截面2-2：截面3-3：故整个结构满足强度要求。四、冲剪力的计算

工程中都要求这些构件工作时的剪应力达到材料的极限剪应力，即

（3-5）

在杆件的两端作用一对大小相等、方向相反，且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕杆件轴线的相对转动。杆件的这种变形形式称为扭转变形。有截面法可知，杆件产生扭转变形时，横截面上内力分量只有位于面上的力偶矩，称其为扭矩。3.3扭转的概念一、外力偶矩的计算设轴传递的功率为，转速为n(r/min)，传递的力矩为Me，于是有即（3-6）注意：式（3-6）中的单位为千瓦，n的单位为转/分。当功率为马力（H.P，1马力=735.5W）时，外力偶矩的计算公式为（3-7）

3.4外力偶矩扭矩和扭矩面

二、扭矩和扭矩图从指定截面m-m处截开，取左半部分I由平衡条件得扭矩Mn是I、II两部分在m-m截面上相互作用的分布内力系的合力偶矩。取右半部分II可求出截面m-m上的扭矩，但其方向与按部分I求出的扭矩相反。eMeMmmIIIeMmmIImmIxeMnMnM扭矩的正负号规定如下：按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，扭矩Mn为正；反之为负。根据这一规则，在图中，无论就部分I还是部分II而言，m-m截面上的扭矩都是正的。根据扭矩的大小和正负，画出沿轴线方向扭矩变化的图形，称之为扭矩图。扭矩图的画法与轴力图相似。

例3

在图所示传动轴上，主动轮A与原动机相联，从动轮B、C、D与机床相联。已知轮A输入功率NA=50kW，轮B、C、D输出功率分别为NB=NC=15kW，ND=20kW，轴的转速n=300r/min。求各段轴内的扭矩，并画扭矩图。(a)AMBMCMDMBACDIIIIIIIIIIIIC解（1）计算外力偶矩（2）计算扭矩BC段：沿I截面将轴截开，由平衡方程得BMnMIBMCMnMIIDMnMIIIBACDIIIIIIIIIIIIAMBMCMDMAMBMCMDMBMnMIBMCMnMIIDMnMIIIBACDIIIIIIIIIIII结果为负说明I截面上扭矩的实际方向与所设方向相反，即该截面的扭矩为负值。在BC段内各截面上的扭矩不变，所以这一段内的扭矩图为一水平线（图e）。CA段：故有AD段：AMBMCMDMBMnMIBMCMnMIIDMnMIIIBACDIIIIIIIIIIII+-故有

（3）作扭矩图从图中可以看出，最大扭矩发生于CA段，其绝对值为

3.5薄壁圆筒的扭转为了研究圆轴扭转时的应力和变形，首先讨论薄壁圆筒的扭转，以了解剪应力及剪应变的规律和它们之间的关系。一、薄壁圆筒扭转时的应力图为一等截面薄壁圆筒。在两端施加外力偶矩后，可以看到以下变形现象：（1）各周向线的形状、大小和间距均未改变，两相邻周向线发生相对转动；（2）各纵向线都倾斜了同一微小角度，但仍可以近似地看成直线；（3）试件表面原来的小矩形都变成了同样大小的平行四边形。tRjgmnmnabcddxnMjg1圆筒扭转各横截面上没有正应力，只有垂直于半径的剪应力,

剪应力沿壁厚方向均匀分布。

2横截面上沿圆周方向各点的剪应力相同。

3扭转时横截面上只有垂直于半径且均匀分布的剪应力，其方向与截面上扭矩Mn的转向一致。由静力学可知Mn为所以 （3-8）或 （3-8）

为横截面上筒壁中线围成的面积。RRdAdqg(e)设l为薄壁圆筒的长度，R为薄壁圆筒的外半径，φ为薄壁圆筒两端的相对扭转角。可以看出或（3-9）即剪应变与扭转角φ成正比。jgcabdgg二、纯剪切状态剪力力偶矩为平衡条件上、下两个面上存在大小相等、方向相反的剪应力。由平衡条件有即(3-10)在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这个关系称为剪应力互等定理。

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如图所示单元体的上下左右四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，单元体的这种应力状态称为纯剪切状态。yxzdxtt¢dyt三、剪切虎克定律

低碳钢的τ-γ曲线如图所示。剪切虎克定律

(3-11)比例系数G称为剪切弹性模量，它反映材料抵抗剪切变形的能力。剪应变γ没有量纲，所以G有与τ相同的量纲。钢材的G值约为80GPa。gttg0“拉压虎克定律”、“剪切虎克定律”、“剪应力互等定理”是材料力学的基本定律和基本定理。拉压弹性模量E、剪切弹性模量G、泊松比μ。可以证明，这三个弹性常数之间存在如下关系

(3-12)即三个弹性常数中只有两个是独立的。四、剪切变形能当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，扭转角φ

与外力偶矩成正比。外力偶矩所做的功为

剪切变形能U

，

用u表示单位体积的剪切变形能，即剪切变形比能，则u应等于剪切变形能U畜疫薄壁圆筒的体积V，即

再利用剪切虎克定律，可得 （3-13）力学家与材料力学史Charles-AugustindeCoulomb(1736-1806)圆轴扭转的切应力公式是由Coulomb于1784年首先建立的。Coulomb是法国物理学家、力学家。他在摩擦学、磁学、粘性流体等方面有重要贡献。

3.6圆轴扭转时的应力及变形推导思路变形几何关系

(

平截面假设)切应变与相对转角之间的关系应力应变关系

(

Hooke

定律)切应力与相对转角之间的关系静力学关系

(切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩)相对转角表达式及切应力表达式一、圆轴扭转时的应力1.变形几何关系取出长为dx的微段ab发生的相对错动圆轴表面原有矩形的直角改变量为横截面上距圆心为ρ处的剪应变为（a）jxeMeMmndxmn2.物理关系当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力与剪应变成正比，即服从剪切虎克定律（b）将式（a）代入式（b）可以求得距轴线为ρ处的剪应力 （c）上式表明：横截面上任意点处的剪应力与该点到圆心的距离ρ成正比。即剪应力沿半径按直线规律变化，在圆心处剪应力为零，而在圆周边缘上各点的剪应力最大。注意到剪应力互等定理，则实心圆轴纵截面和横截面上的剪应力沿半径的分布如下图所示。rt3.静力学关系

取一微面积dA，其上作用的微剪力：它对圆心的微力矩：横截面上的扭矩：（d）代入：则：（e）

dArtdAnMrO

式中的积分是与圆截面尺寸有关的几何量，称为横截面对圆心O点的极惯性矩，用表示，即(3-14)rtdAdAnMrO于是可以写成(3-15)得（3-16）这就是圆轴扭转时横截面上任意一点剪应力的计算公式。

由式（3-16）可知，当ρ=R时（即横截面边缘上各点），剪应力取最大值，即（3-17）

引用记号

公式（3-16）可改写为

（3-18）

Wn称为抗扭截面模量。二、圆轴扭转时的变形公式圆轴的扭转变形可用两个横截面绕轴线的相对扭转角Φ来表示。由式（3-15）可得相距为dx的两横截面之间的相对扭转角对长为l的轴，两端面的相对扭转角为

（3-19）由同一种材料制成的等截面圆轴，其为常量，若相距为l的两横截面之间的扭矩也为常量，则该两截面间的扭转角为（3-20）

这是等截面圆轴扭转变形的计算公式。

称为截面的抗扭刚度。

转角Φ的符号规定与扭矩的相同，其单位为弧度（rad）。若两横截面之间的扭矩或抗扭刚度为变量时，欲求两截面的相对扭转角则应按式（3-19）积分或分段计算出各段的扭转角，再代数求和三、极惯性矩和抗扭截面模量的计算环形微面积：圆截面的极惯性矩为

（3-21）drRDmaxtmaxtmaxt抗扭截面模量为

（3-22）上述两式中D为圆截面的直径。的量纲为长度的四次方，的量纲为长度的三次方。rOdrRDmaxtmaxtmaxt对于空心圆轴，空心圆截面的抗扭截面模量为

上述两式中，D和d分别为空心圆截面的外径和内径，且。rOdrRDmaxtmaxtmaxt四、扭转时应力、变形公式的应用条件

上述应力、变形公式是以刚性平面假设为基础导出的，只适用于等直圆杆。当圆形横截面沿轴线变化缓慢时，也可近似的用以上公式，此时、等也在沿轴线变化。

在时，上述公式才成立。3.7圆轴扭转时的强度和刚度计算一、强度条件圆轴扭转 （3-23）等直圆轴（3-24）阶梯轴 （3-25）二、刚度计算工程中常用单位长度内的扭转角θ来表示扭转变形的程度。（rad/m）（3-26a）

θ的单位为弧度/米（rad/m）。扭转的刚度条件（rad/m）（3-26b）

由于工程上[θ]的单位用度/米（o/m）表示，故 （o/m）（3-27）例4条件同例3-4（如图所示）。传动轴剪切弹性模量G=80GPa，许用剪应力，许用单位长度扭转角[θ]=0.3o/m。试按强度条件和刚度条件设计轴的直径d。AMBMCMDMBACDIIIIIIIIIIII解

（1）绝对值最大的扭矩在轴的CA段由强度条件（3-24）有则AMBMCMDMBACDIIIIIIIIIIII由刚度条件（3-27）有所以AMBMCMDMBACDIIIIIIIIIIII例5

材料相同的实心轴与空心轴通过牙嵌离合器联结。传递外力偶矩设空心轴的内外径之比，许用剪应力。试确定实心轴的直径d1和空心轴外直径D2，并比较两轴的横截面面积。2d1D1d解：由强度条件有对实心轴：于是对空心轴：则内径。实心轴与空心轴截面面积之比2d1D1d

实心轴与空心轴截面面积之比2d1D1d3.8圆柱形密圈螺旋弹簧一、簧丝横截面上的应力截面法求应力，得（a）剪应力与扭矩对应的剪应力得pQnM2D(b)pdaD(a)A1tdAd2t最大剪应力发生在A点。

当0时，可忽略剪切的影响，可看作只受扭转作用对较粗的弹簧，要考虑剪切和曲率影响。通常用曲度系数k修正，即dAAd1t2t其中曲度系数而c=D/d。簧丝的强度条件（3-31）dAAd1t2t二、弹簧的变形外力功为扭转剪应力单位体积的变形能pD(a)lddrMr(b)弹簧的变形能有W=U，于是所以

ddrMr(b)

可见，弹簧的变形λ与力P成正比，比例常数C称为弹簧刚度，即