2011年考研数学微积分基础3老师

基础班微积分第3章导数概念导数定义与概念是一元函数微分学的内容，对它的背景与概念，应从极限的角度去认识，并且应把导数的定义看作一种标准极限模式。由导数概念本身，可以得到一性质，而这些性质是研究函数性态的重要依据与工具。在计算方面，应训练准确快速的导数计算能力。在学习中要掌握好基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，以及反函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导及要点。3．1．1导数定义及其变形形3.1设函数yf(xx0xxx0，yf(x0x)f(x0)f(x0 limylimf(x0x)f(x0)f(x)f(x)limf(x)f( 0x0 x0导数f(x0的几何意义:切线斜率。f(x0)A(xAf(x0。其中(xx0f(x0)f(x0)x(x) f(x)f(x0)f(x0)x(x(xxx0导数定义的描述，还可以扩展理解 f

)limf(x0(x))f(x0

3.2如果limylimf(x0xf(x0x0 编考研培训网 f(x0x)f(x0显然由极限存在的充要条件，左、右导数都存在，且相等f(b)

f(xx0f(xx0f(af(x)在闭区间[ab上可导，是指f(x)(ab内每一点都可导，并且f(af(b)均存在。3.1limx[sin

3sinln(11 【解】令t1，则 原极限＝limsinln(13t)sinln(1t) t0 [3sinln(13tsinln(1t)]|t023.2（1）若f(aklimhf(a1f(a h （A）k。（B）k （C）0 （D）不存在limhf(a1f(a h f(a1)f limf(at)f h

t f(a)f(a)上述第最后用到了导数存在的充要条件：左右导数存在且相等，因此应选（A2（ 若若

fx)f(0)xf(x)f(f(0)x若limf(xf(0) 编考研培训网 若limf(xf(xf(0) 【解】答案D考点：点连续概念，导数定义，无穷小量比阶的概念与极限运算法则。(D)的成立不一定保证导致可导的两个极限存在。请看错误做法：limf(x)f limf(x)f(0)limf(x)f f(0)f(0)2ff(0)存在。xarctan13.3f(x

x

f(xf(x讨论其连续性。

(esinx xf(xx0f(xx处的可微性，为此考虑极限xarctanf(0) x

esinx f(0) 2

2=ff(xx0f(x(,xarctanx2f(x)2

3 x2 2(x1)

xx0cosxesinx x limf(x)f(0)f(xx0f(x 编考研培训网 局性质。3.5f(0)x0fx)f(0)，且f(0)1,若

1cosf(x)sin )xe,则f(0) 2(A)0 (B)1 。 2【解】答案：Clim(1

1cosf(x)sinx

xex0lim1ln(11cosf(x))1,lim11cosf(x)x0 sin x0 sin因为f(0)1limf(x0

f(0)于是lim11cosf(x)1limf2x)x0 sin 2 f(0)[f(0)]2limf(x)limf(x)2，得 f(0) 13.6设f(xx0x0f(x0f(0)0,f(0)2lim(12f(x))sinx【解】所求极限为“1”型，设法利用标准极限，并与导数f(0)2相联系。

lim(12f

2f(

2f(x)sinx由复合极限定理，只须考虑极限lim2f(x)lim2f(x) sin sinf(0)0,f(0)2]lim2f(x)2[limf(x)f(0) x]2f(0)] sin x0sin1于是lim(12f(x))sinxe4注：利用导数定义求某些极限是一类重要题型，应熟悉导数定义的极限构造形式，并注意利用复合极限定理与已知重要极限的结论。微分概念与相对变化率微分概念f(xxd(f(x)g(x))df(x)dg(x)d(f(x)g(x))f(xdg(x)g(xdf(x)，d(cf(x))cdf c为常数 df(x)g(x)df(x)f(x)d g [f(x)g(x)h(x)]f(x)g(x)h(x)[f(x)g(x)h(x)]f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)f3.7yy(xx,y

1x

xo(xy(1e4

3)e3【解】x,f(x(,yy

，dy

，积分后得到1x 1lnyarctanxlnCyCearctanxy(1)e4，得C。于是yearctanx

3)e3例3.8(2004-2-16）设函数fx在,上有定义，在区间0,2上，fxxx24,若对任意的 都满fxkfx2k为常数。（1）写出fx2,0上的表达式；（2）k为何值时，fxx0处可导【解】(1)2x0，即0x22fxkfx2kx2x224kxx2x（2）由题设知f0f'0

fxf0

xx24

x

f'0limfxf0limkxx2x4 x 0f0，得。即k1时，fxx0处可导 高阶导数计 d2 如果函数 f(x)的导函数y(x)仍有导数[f(x)]，则称[f(x)]为 f(x)的二阶导数记为y,f(x), d2

f数 一f数dxdx

的 d d

f 阶导数，记为 , (x),dxn或dxn例 f(x)ln(23x)的10阶导数是

310(2

310；(2

310(2

310。(2【解】答案为(D)。只须注意到(-1)的次数（19次、阶乘的结果及3的方幂即可。复合函数求导法则与微分法3.2如果u(xxdu(xy

f(u在对应点u(u(xdy

f(u，则复合yf[(xxdydydu或f[(x)]}f(u duarctan例 y x与yln(x x21)的导数

arctan x)

arctanxln

11

(x2)

1

arctan 2x2[ln(x x21)] 22x23.15yxsinx(x0)【解】(方法1)这类函数叫做幂指函数。首先两边取对数，得隐函数 lnysinxlnx。再由隐函数求导法得1ycosxlnxsinx，从而yxsinx[cosxlnxsinx] 这种先取对数再求导的方法叫做取对数求导法。除适用于幂指函数yu(x)v(x)外，对含有多个因式相乘除或带乘方、开方的函数也适用。(方法 将幂指函数改写为yxsinxesinxlnx后，再用复合函数求导法则及乘法e2ee2e2x例3.16（2004-4-02）设yarctanex

，

e2【解】将函数表达式改写为yarctanexx

12

1y

1

2e，ee2x

1 1

e2 1。e21在复合函数求导计算时，需要引入中间变量，把函数分解成一串已知导数的函数，再用复合函数求导法则，最后要y2x1反函数与参数方程的求导法则3.3(反函数求导法则)xy在某区间内单调、可导，且y0yf(x1内也可导， f(x)(y)注：这里的反函数没有改变原来函数yf(x的变量记号例3.19设f(x)为单调函数，g(x)为其反函数，且f(1)2,f(1) ，f(1)1g(2)；(2)求

f(1x)f。(1)g(xf(x的反函数的条件中，已经改变了变量记号，为利用反函数导数，应将g(x)易为g(y)，其中yf(x)。由反函数导数可得 f(x)g(y)xf(x)gyf(x)gyyx0 f(x)g(y)[f(x)]2g(y)3令x1，应有y2。注意到g(2) 3f

，因此得到g(2) limf(1xf(1)1f(1 3。注：上述(2)是用到了导数定义。 定理3.4(参数方程确定的函数的求导法则)若xx(tyy(ttT都可导，且(t0，则由参数方程x tTdyyty(t)y应特别注意：

yx(t)，正

d2

d(yt)

y(t)x(t)y(t)x(t) tt

y(t)x(t)y(t)x(t)

dx

xa(tsin

3.20ya(1cos 在t2【解】由于dyyt

asin

sin (t2k1

f(x)lim1 lim lim f(x)11 sinxx02

f(x)

1 sinxx02 1limf(x)1limsinx xsin

1limf(x)1lim 1limf(x)f(0)0 x 运用极限运算法则，可推断极限f(x)f(0) f(x)f(0) lim 存在，且lim 错误做法：

0limln(1x)sinxf(x)limxxf(x)limf(x)10因此

ex2sinxf(x)sinxex21

0

（方法2）应用泰勒则limln(1x)sinxf(x)

x1x2o(x2)sinxf(x)

（2）由导数定义，极限

f(x)1