高考数学复习常考知识点专项练习8全称量词与存在量词

8全称量词与存在量词一、选择题1．下列不是全称量词的是(D)A．任意一个B．所有的C．每一个D．很多解析：很明显A，B，C中的量词均是全称量词，量词．2．下列不是D中的量词不是全称存在量词的是(D)A．有些B．至少有一个C．有一个D．所有解析：A，B，C中的量词都是存在量词，D中的量词是全称量词，故选D.3．下列命题：(1)今天有人请假；(2)中国所有的江河都流入太平洋；(3)中国公民都有受教育的权利；(4)每一个中学生都要接受爱国主义教育；(5)有人既能写小说，也能搞发明创造；(6)任何一个数除0都等于0.其中是全称量词命题的个数是(D)A．1B．2C．3D．4解析：(2)(3)(4)(6)都含有全称量词．4．将“x2＋y2≥2xy对任意实数x恒成立”改写成符号形式为(A)A．∀x，y∈R，x2＋y2≥2xyB．∃x，y∈R，x2＋y2≥2xyC．∀x>0，y>0，x2＋y2≥2xyD．∃x<0，y<0，x2＋y2≥2xy解析：由全称量词命题的形式，知选A.5．“对x∈R，关于A．∃x∈R，使x2>0成立B．∃x∈R，使x2≤0成立C．∀x∈R，有x2>0成立x的不等式x2>0有解”等价于(A)D．∀x∈R，有x≤0成立22/7

解析：对x∈R，关于x的不等式x2>0有解，等价于不等式x2>0在实数范围内有解，所以与命题“∃x∈R，使x2>0成立”等价．6．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是(D)A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∃x∈R，x2＝xD．所有的等边三角形都相似解析：A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以A是假命题．B在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对题．故选D.7．有下列四个命题，其中真命题是(B)角线不一定相等，所以B是假命题，C是存在量词命A．∀n∈R，n2≥nB．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝mC．∀n∈R，∃m∈R，m2<nD．∀n∈R，n2<n解析：对于选项A，令n＝21即可验证其不正确；对于选项C、选项D，令n＝－1，即可验证其均不正确，故选B.8．下列命题中，是真命题的是(A)3/7A．∀x∈R，x2＋2>0B．∃x∈R，x2＋x＝－2C．∀x∈R，x2－x＋41>0D．∃x∈R，x2＋2x＋2<0解析：对于A选项：∀x∈R，x2＋2>0恒成立，A正确；对于B选项：1724因为x2＋x＋2＝＋＋>0恒成立，所以不存在x∈R，使x2＋x＝－2，Bx2C选项：因为x2－x＋41＝－2，存在x＝，使x2－x＋41＝0，x112错误；对于2C错误；对于D选项：∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，所以不存在x∈R，使x2＋2x＋2<0，D错误．二、填空题9．对每一个x∈R，x∈R，且x<x，都有x<x是全称量词(填“全称”或“存在量词”)命题，是假(填“真”或“假”)命题．解析：令x＝－1，x＝0.22212121量词1210．下列命题中，全称量词命题是①②③；存在量词命题是④.(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．4/7解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②可表述为“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”，是全称量词命题；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题．三、解答题11．用符号“∀”或“∃”改写下面的命题，并判断真假．(1)实数的平方大于或等于0；(2)存在实数x，y，使2x－y＋1<0成立；(3)直角三角形满足勾股定理．解：(1)是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”．改写后命题为∀x∈R，x2≥0，是(2)改写后命题为∃x∈R，y∈R，使得2x－y＋1<0，是真命题．真命题．如x＝0，y＝2时，2x－y＋1＝0－2＋1＝－1<0成立．(3)是全称量词命题，所有直角三角形都满足勾股定理．改写后命题为∀Rt△ABC，a，b为直角边＝c2，是长，c为斜边长，都有a＋b22真命题．12．若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围．5/7

|x|解：若x>0，由|x|>ax得a<＝1，x|x|若x<0，由|x|>ax得a>＝－1，x若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，则实数a的取值范围是－1<a<1.13．(多选题)下列命题是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的有(ABD)A．有一个x∈R，使得x2>3成立B．对有些x∈R，使得x2>3成立C．任选一个x∈R，都有x2>3成立D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立解析：14．“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(C)C选项是全称量词命题，A，B，D选项符合题意．故选ABD.A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5解析：“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，可化为∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选项可知C符合题意．故选C.15．已知命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1≤0是真命题，则实数a的取值范围是a≤1.解析：当a<0时，y＝ax2＋2x＋1开口向下，必然存在x使ax2＋2x＋1≤0；当a＝0时，原不等式为2x＋1≤0，解得x≤－21；当a>0时，令Δ＝4－4a≥0，得a≤1.故a的取值范围为a≤1.16．已知命题p：“至少存在一个实数x∈{x|1≤x≤2}，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，求参数a的取值范围．解：由题意知