离散数学重点笔记

word文档精品文档分享第一章，0命题逻辑素数=质数，合数有因子和或假必真同为真(p→q)∧(q←→r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)等都是合式公式，而pq→r→(r→q)等不是合式公式。假设公式A是单个的命题称A为0层合式(┐∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分为3层和4层公式【例】求以下公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。(┐p∧q)→┐r公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是成真赋值第二章，命题逻辑等值算〔〕双重否认律AA〔〕等幂律A∧AA；A∨AA〔〕交换律A∧B∧A；A∨B∨A〔〕结合律〔∧〕∧C∧〔∧〕；〔∨〕∨C∨〔∨〕〔〕分配律〔∧〕∨C〔∨〕∧〔∨〕；〔∨〕∧C〔∧〕∨〔∧〕〔〕德·摩根律〔∨〕∧B；〔∧〕∨B〔〕吸收律A∨〔∧〕；∧〔∨〕A〔〕零一律A∨11；A∧00〔〕同一律A∨0A；A∧1A〔〕排中律A∨A1〔〕矛盾律A∧A0〔〕蕴涵等值式A→B∨B〔〕假言易位A→B→A〔〕等价等值式AB〔→〕∧〔→〕〔〕等价否认等值式ABABBA〔〕归式〔→〕∧〔→〕Aword文档精品文档分享i(i=1,2,⋯,s)为简单合取式，A=A∨∨⋯∨s为析取X式(p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨pA=A1∧2∧⋯∧s为合取X式(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r一个析取X式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式一个合取X式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式主X式【∧小真，∨大假】∧成真小写【例】(p→q)→(┐q→┐p)=┐(┐p∨q)∨(q∨┐p)(消去→)=(p∧┐q)∨┐∨q(┐内移)(已为析取X式)=(p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐∧q)∨(p∧q)〔*〕=m2∨m0∨m1∨m1∨m3=m0∨m1∨m2∨m3(幂等律、排)(*)由┐p及q派生的极小项的过程如：┐p=┐p∧(┐∨q)=(┐p∧┐q)∨(┐∧q)q=(┐∨p)∧q=(┐p∧q)∨(p∧q)熟练之后，以上过程可不写在演算过程中。该公式中n=2个命题变项，它的主析取X式中了22=4个极小项，故它为重言式，00，01，10，11全为成真【例】(p→q)∧┐p=(┐p∨q)∧┐p(消去→)=┐p∨(┐∧q)(分配律、幂等律)已为析取X式word文档精品文档分享=(┐p∧┐q)∨(┐∧q)=m0∨m1【例】(p∧┐q)∨(┐p∧q)=(p∨┐p)∧∨q)∧(┐q∨┐p)∧(┐∨q)=(p∨q)∧┐∧q)重言蕴涵式【例】用附加前提证明法证明下面推理。前提：→〔→∨，Q结：→R〕∨P前提引入那么〔〕S附加前提引入那么〔〕P〔〕析取三段〔〕→〔→〕前提引入那么〔〕→R〔34〕假言推理那么〔〕Q前提引入那么〔〕R〔5〕假言推理那么【例】用归缪法证明。前提：∨，→，→S结：∨R证明〔1〕〔∨〕附加前提引入那么〔2〕∧R〔1〕置〔3〕S〔〕化〔4〕R〔〕化〔5〕→S前提引入那么〔6〕∨S〔〕置〔7〕Q〔3〕析取三段论〔8〕∨Q前提引入那么〔9〕P〔8〕析取三段〔10〕→R前提引入那么word文档精品文档分享〔11〕∨R〔10〕置〔12〕R〔11〕析取三段〔13〕∧R〔12〕合取引入那么全称量"""∨"无分配律。同样的，存在量"""∧"无分配律(3)xyF(x,y)x(F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c))word文档精品文档分享(F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))谓词逻辑的等价公式定理1〔x〕是谓词公式，有关量词否认的两个等价公式：〔〕xA〔x〕x〔x〕〔〕xA〔x〕x〔x〕定理2〔x〕是任意的含自由出现个体项x的公式，B是不含x出现的公式，那么有〔〕x〔〔x〕∨〕xA〔〕∨B〔〕x〔〔x〕∧〕xA〔〕∧B〔〕x〔〔x〕→B〕xA〔x〕→B〔〕x〔→〔x→xA〔x〕〔〕x〔〔x〕∨〕xA〔x〕∨B〔〕x〔〔x〕∧〕xA〔x〕∧B〔〕x〔〔x〕→B〕xA〔x〕→B〔〕x〔→〔x→xA〔x〕定理3〔x〔〕是任意包含自由出现个体元x的公式,那么有：〔〕x〔〔x〕∧〔xA〔x〕∧xB〔x〕〔〕x〔〔x〕∨〔xxA〔x〕∨xB〔〕定理4以下蕴涵式成立〔〕xA〔x〕∨xB〔x〕x〔〔x〕∨〔x〔〕x〔〔x〕∧〔xxA〔x〕∧xB〔x〕〔〕x〔〔x〕→B〔xxA〔x〕→xB〔x〕〔〕x〔〔x〕→B〔xxA〔x〕→xB〔x〕〔〕xA〔x〕→xB〔x〕x〔〔x〕→B〔xword文档精品文档分享【例】【例】【例】word文档精品文档分享【例】word文档精品文档分享【例】在一阶逻辑自然推理系统F中构造下面推理的证明〔1〕所有的人或者是吃素的或者是吃荤的，吃素的常吃豆制品，因而不吃豆制品的人是吃荤的。〔个体域为人的集合〕。〔2〕每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车，每个人或者是喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车，有的人不喜欢乘汽车，所以有的人不喜欢步行。〔个体域为人的集合〕。word文档精品文档分享【例】符号化下面的命题以任何虚数既不是有理数也不是无理数证设：〔xx是有理数。Q〔xx是无理数。R〔xx是实数。S〔xx是虚数。此题符号化：x〔〔x〕→R〔xx〔〔x〕→R〔xx〔〔x〕→〔xx〔〔x〕→〔x〕〔x〔〕x〔〔x〕→〔xP〔〕〔y〕→〔y〕US〔1〕〔〕x〔〔x〕→R〔xP〔〕〔y〕→R〔y〕US〔3〕〔〕〔y〕→〔y〕T〔4〕E〔〕x〔〔x〕→R〔xP〔〕〔y〕→R〔y〕US〔6〕〔〕〔y〕→〔y〕T〔7〕E〔〕〔y〕→P〔y〕T〔5〕I〔〕S〔〕→Q〔y〕T〔28〕I〔〔y〕→P〔y〔y〕→Q〔y〕T〔10〕I〔〔y〕∨〔yS〔y〕∨Q〔yT〔11〕E〔〕S〔y〕∨〔P〔〕∧Q〔yT〔12〕Eword文档精品文档分享〔〕S〔〕→〔P〔y〕∧Q〔yT〔13〕E〔〕x〔S〔x〕→P〔x〕∧〔xUG〔14〕第六章，集合代数自然数集合在离散数学中为0也是自然数)，整数集合，有理数集合，实数集合，复数集合C全集U，空集是一切集合的子集〔〕幂等律：∩A＝AA∪A＝A〔〕同一律：∩U＝A〔〕零律：∩＝A∪E＝E〔〕结合律：(A∩B)∩C＝∩(B∩C)(A∪B)∪＝A∪(B∪C)〔〕交换律：∩B＝∩AA∪B＝B∪A(6)分配律B∪C〕＝〔∩B〕∪〔∩C〕A∪〔∩C〕＝〔A∪BA∪〕吸收律A∪〔∩B〕＝A∩〔A∪B〕＝A同一律A∪＝A∩E＝AA-B称为集合B关于A的补集Ａ-B＝｛x|xＡ且xB｝补集~A~〔A∪B〕＝∩~B~〔∩B〕＝~A∪~B〔〕双重否认律：〔~A〕＝A〔〕摩根律：~＝U~U＝A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C)～(B∪C)=～∩～C～(B∩～B∪～C〔〕矛盾律：∩〔~A〕＝〔〕排中律：A∪〔~A〕＝U集合A和B的对称差AB，它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又属于B。AB＝(A∪B)-(A∩B)〔〕AA＝〔〕A＝Aword文档精品文档分享〔〕AＵ＝~Ａ〔〕AB＝BA〔AB〕＝A〔BC〕〔〕AB＝(A-B)∪(B-A)第七章，二元关系B={<x，y>x∈∧y∈B}A×B={a，b}×{c，d}={<a，c>，，d>，<b，c>，<b，d>}自反性和反自反性定4.10R是集合A上的二元关系，如果对于每xA，都有<x，x>R，那么称二元关系R是自反的。R在A上是自反的x〔xA<x，x>R〕定4.11R是集合A上的二元关系，如果对于每xA，都有<x，x>R，那么称二元关系R是反自反的。word文档精品文档分享R在A上是反自反的x〔xA<x，x>R〕4.4.2对称性和反对称性定4.12R是集合A上的二元关系，如果对于每x，yA，当<x，y>R，就有<y，x>R，那么称二元关系R是对称的。R在A上是对称的xy〔xA∧yA∧<x，y>R<y，x>R〕定4.13R是集合A上的二元关系，如果对于每x，yA，当<x，y>R和<y，x>R时，必有x=y，那么称二元关系R是反对称的。4.4.3传递性定4.14R是集合A上的二元关系，如果对于任x，y，zA，当<x，y>R，<y，z>，就有<x，z>R，那么称二元关系R在A上是传递的。R在A上是传递的xy〔xA∧yA∧zA∧<x，y>R∧<y，z>R<x，z>R〕例A={a，b，c}，R，S，T是A上的二元关系，其中R={<a，，<b，，，c>}S={<a，，<b，c>，<c，c>}T={<a，b>}说R，，T是否为A上的传递关系。解根据传递性的定R和T是A上的传递关系，S不是A上的传递关系，为，b>R，<b，c>R，但，c>R。如果R是自反的、反对称的和传递的，那么称R为A上的偏序关系，记作。为偏序关系，如果<x，y>∈，那么记作xy，读作“小于或等