河南省辉县市2022-2023学年高三第三次诊断性考试数学试题试卷

河南省辉县市2022-2023学年高三第三次诊断性考试数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A． B．4C． D．52．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20 B．27 C．54 D．643．已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．4．把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．给出下列四个命题①的值域为②的一个对称轴是③的一个对称中心是④存在两条互相垂直的切线其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()A． B． C． D．6．如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱AB，BC，的中点，M为棱AD的中点，设P，Q为底面ABCD内的两个动点，满足平面EFG，，则的最小值为（）A． B． C． D．7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，且，则抛物线的方程是()A． B． C． D．8．已知变量，满足不等式组，则的最小值为（）A． B． C． D．9．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．134 B．67 C．182 D．10810．已知复数，则（）A． B． C． D．11．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知方程表示的曲线为的图象，对于函数有如下结论：①在上单调递减；②函数至少存在一个零点；③的最大值为；④若函数和图象关于原点对称，则由方程所确定；则正确命题序号为()A．①③ B．②③ C．①④ D．②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图是一个算法伪代码，则输出的的值为_______________.14．在平面直角坐标系中，双曲线的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为______.15．以，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，且满足，则点的轨迹方程为_________．16．如图所示，点，B均在抛物线上，等腰直角的斜边为BC，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在中，，的角平分线与交于点，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面积.18．（12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．参考公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）如图,设点为椭圆的右焦点，圆过且斜率为的直线交圆于两点，交椭圆于点两点，已知当时，（1）求椭圆的方程.（2）当时，求的面积.20．（12分）如图，四棱锥中，平面平面，若，四边形是平行四边形，且.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若点在线段上，且平面，，，求二面角的余弦值.21．（12分）购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示.（1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取人，记对购车补贴金额的心理预期值高于万元的人数为，求的分布列和数学期望；（3）统计最近个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：月份销售量（万辆）试预计该品牌汽车在年月份的销售量约为多少万辆？附：对于一组样本数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.22．（10分）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均为正三角形，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

还原几何体的直观图，可将此三棱锥放入长方体中,利用体积分割求解即可.【详解】如图，三棱锥的直观图为，体积.故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.2、B【解析】

设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。【详解】设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，则，解得：故选：B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。3、D【解析】

利用抛物线的定义，求得p的值，由利用两点间距离公式求得，根据二次函数的性质，求得，由取得最小值为，求得结果.【详解】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.4、C【解析】

由图象变换的原则可得,由可求得值域；利用代入检验法判断②③；对求导,并得到导函数的值域,即可判断④.【详解】由题,,则向右平移个单位可得,,的值域为,①错误；当时,,所以是函数的一条对称轴,②正确；当时,,所以的一个对称中心是,③正确；,则,使得,则在和处的切线互相垂直,④正确.即②③④正确,共3个.故选:C【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.5、A【解析】

根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.【详解】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：其中，底面为直角三角形，，，高为.∴该几何体的体积为故选：A.【点睛】本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.6、C【解析】

把截面画完整，可得在上，由知在以为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得的最小值．【详解】如图，分别取的中点，连接，易证共面，即平面为截面，连接，由中位线定理可得，平面，平面，则平面，同理可得平面，由可得平面平面，又平面EFG，在平面上，∴．正方体中平面，从而有，∴，∴在以为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形内的部分）上，显然关于直线的对称点为，，当且仅当共线时取等号，∴所求最小值为．故选：C．【点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．7、B【解析】

利用抛物线的定义可得,,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛物线的方程.【详解】设抛物线的焦点为F,设点，由抛物线的定义可知，线段AB中点的横坐标为3，又，，可得，所以抛物线方程为.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.8、B【解析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.【详解】解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下：可知点,，在处有最小值，最小值为.故选：B.【点睛】本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.9、B【解析】

根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，

则小正方形的边长为，小正方形的面积，

则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为，

故选：B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.10、B【解析】

利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得【详解】，故.故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.11、C【解析】

对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵，.当时，，在上单调递增，不合题意.当时，，在上单调递减，也不合题意.当时，则时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又，所以在上有两个零点，只需即可，解得.综上，的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．12、C【解析】

分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性.【详解】（1）当时，，此时不存在图象；（2）当时，，此时为实轴为轴的双曲线一部分；（3）当时，，此时为实轴为轴的双曲线一部分；（4）当时，，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分；画出的图象，由图象可得：对于①，在上单调递减，所以①正确；对于②，函数与的图象没有交点，即没有零点，所以②错误；对于③，由函数图象的对称性可知③错误；对于④，函数和图象关于原点对称，则中用代替，用代替，可得，所以④正确.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解析】

执行循环结构流程图，即得结果.【详解】执行循环结构流程图得,结束循环，输出.【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题.14、【解析】

求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积．【详解】解：双曲线：双曲线中，，，则双曲线的一条准线方程为，双曲线的渐近线方程为：，可得准线方程与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标，，，，则三角形的面积为．故答案为：【点睛】本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．15、【解析】

根据圆的性质可知在线段的垂直平分线上，由此得到，同理可得，由对数运算法则可知，从而化简得到，由此确定轨迹方程.【详解】，，和的中点坐标为，且在线段的垂直平分线上，，即，同理可得：，，，点的轨迹方程为．故答案为：．【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出满足的方程，由此得到结果.16、【解析】

设出两点的坐标，结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程，解方程求得的坐标.【详解】设，由于在抛物线上，所以.由于三角形是等腰直角三角形，，所以.由得，化为，可得，所以，解得，则.所以.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的方程和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，进而得，在中，由正弦定理得，所以的面积即可得解.试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.在中，.在中，由正弦定理得，所以.所以的面积.18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①；②数学期望为6，方差为2.4.【解析】

（1）完成列联表，由列联表，得，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．②由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意，由此能求出随机变量的数学期望和方差．【详解】解：（1）完成列联表（单位：人）：经常网购偶尔或不用网购合计男性5050100女性7030100合计12080200由列联表，得：，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：．②由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，由题意，∴随机变量的数学期望，方差D（X）=．【点睛】本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19、（1）（2）【解析】

（1）先求出圆心到直线的距离为，再根据得到，解之即得a的值，再根据c=1求出b的值得到椭圆的方程.(2)先求出，，再求得的面积.【详解】(1)因为直线过点，且斜率.所以直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，又因为，圆的半径为，所以，即，解之得，或（舍去）.所以，所以所示椭圆的方程为.(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为，离心率，则点到右准线的距离为，所以，即，把代入椭圆方程得，，因为直线的斜率，所以，因为直线经过和，所以直线的方程为，联立方程组得，解得或，所以，所以的面积.【点睛】本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.20、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）推导出BC⊥CE,从而EC⊥平面ABCD,进而EC⊥BD，再由BD⊥AE，得BD⊥平面AEC,从而BD⊥AC,进而四边形ABCD是菱形，由此能证明AB=AD.（Ⅱ）设AC与BD的交点为G,推导出EC//FG,取BC的中点为O,连结OD,则OD⊥BC,以O为坐标原点，以过点O且与CE平行的直线为x轴，以BC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【详解】（Ⅰ）证明：，即，因为平面平面，所以平面，所以，因为，所以平面，所以，因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，故；解法一：（Ⅱ）设与的交点为，因为平面，平面平面于，所以，因为是中点，所以是的中点，因为，取的中点为，连接，则，因为平面平面，所以面，以为坐标原点，以过点且与平行的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取，同理可得平面的法向量，设平面与平面的夹角为，因为，所以二面角的余弦值为.解法二：（Ⅱ）设与的交点为，因为平面，平面平面于，所以，因为是中点，所以是的中点，因为，，所以平面，所以，取中点，连接、，因为，所以，故平面，所以，即是二面角的平面角，不妨设，因为，，在中，，所以，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查求空间角中的二面角的余弦值，还考查由空间中线面关系进而证明线线相等，属于中档题.21、（1）1.7；（2），见解析；