材料力学讲义六

材料力学讲授:顾志荣同济大学航空航天与力学学院

顾志荣第四章扭转材料力学第四章扭转一扭转的概念和实例二外力偶矩、扭矩和扭矩图三圆轴扭转时的强度计算四圆轴扭转时的变形计算五扭转超静定问题六矩形截面杆的自由扭转七薄壁杆的自由扭转第四章扭转一扭转的概念和实例第四章扭转/一扭转的概念和实例对称扳手拧紧镙帽承受扭转变形的构件传动轴汽车传动轴第四章扭转/一扭转的概念和实例第四章扭转/一扭转的概念和实例mmmm第四章扭转/一扭转的概念和实例这些构件的受力特点:所受外力是一些力偶矩,作用在垂直于杆轴的平面内。变形特点:杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。第四章扭转二外力偶矩、扭矩和扭矩图第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图1外力偶矩的计算外力偶矩与功率和转速之间的关系第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图2求扭转内力的方法—截面法ⅠⅠIIMn3受扭圆轴横截面上的内力—扭矩右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图扭矩符号规定：4扭矩的符号规定—右手螺旋法则mIImIIIIII第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图例题已知圆轴受外力偶矩mA、mB、mC作用而处于匀速转动平衡状态，试求1-1、2-2截面上的扭矩。１１２２已知圆轴受外力偶矩作用，匀速转动。则１１２２用截面法求内力：１１11扭矩第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图１１２２１１２２截面2-2上的内力：２２第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图（+）１１２２5扭矩随圆轴横截面的位置变化的图线—扭矩图（-）扭矩图第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图例题图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？ACBDIIIIIIIIIIII第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图ACBD经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为解：IIIIIIIIIIII第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图IIIIIIIIIIII绘出扭矩图：第四章扭转/二外力偶矩、扭矩和扭矩图ACBD（-事）扭矩除Mn突-图（+诵）（在何CA傍段和最AD爬段）IIIIIIIIIIII第四陡章咳扭粥转/米二杠外力舰偶矩腔、扭善矩和石扭矩偿图将A牵、D伪轮的颤位置稍更换匹，则ACBD扭矩煌Mn察-图（-）（A允D段立）因此大将A惜、D舅轮的位置张更换珠不合企理。IIIIIIIIIIII第四临章束扭垒转/耗二悲外力京偶矩完、扭佳矩和纲扭矩定图课堂旺练习图示夕圆轴导中，鹊各轮滥上的厅转矩兵分别笨为mA＝4资kN狐·m歪，炼mB＝1丘0k舍N·m,子mC＝6厉kN·m，咬试求葬1－算1截寒面和犯2－沾2截定面上怪的扭迟矩，大并画嗽扭矩窃图。1122轮轴轴承6K麦Nm4K买Nm第四聪章杀扭荡转/炕二何外力皮偶矩豆、扭批矩和舒扭矩鸦图第四桃章为扭咬转三保圆轴供扭转贼时的哈强度夸计算第四还章怕扭志转/蚂三泊圆轴跨扭转互时的执强度慨计算1芬受扭颂圆轴密横截立面上定的剪拨应力（1描）公泄式推邮导的设思路应力翠分布应力刃公式变嚷形应变符分布平面假定物性关系静力方程MeMe平面辆假定变形都几何1拘受扭砌圆轴溉横截院面上刻的剪蓝应力（2庙）公远式推血导过西程dxMnMndxIp截面哑的极颈惯性漏矩dxTTdxIp截面磁的极扣惯性航矩(3书)受勺扭圆守轴横爽截面第上的恶剪应谨力计酬算公翠式扭转适截面旷系数(3己)受乱扭圆捷轴横跪截面纸上的枣剪应圈力计标算公酱式:实心抱圆截就面空心零圆截背面P1=1兆4k窗W,P2=P3=P1/2仇=7兔k妻Wn1=n2=筋12箭0r链/m默inn3=n1

z3z1=1203612=360r/min例题冒已知：P1＝1驱4k纵W,n1=n2=管12缺0r级/m首in展,z1=3迅6,z3=1骑2;d1=7荡0m湖m,d2=5丧0m魂m,d3=3击5m膝m.度P2＝p3＝p1／2御。求:魄各轴横截铲面上鞋的最则大切散应力。解：第四格章趟扭芬转/钞三异圆轴敬扭转龙时的忙强度悦计算max(H)==22.69MPam2Wp2max(C)==21.98MPam3Wp3max(E)=m1Wp1=16.54MPa第四澡章薄扭姑转/族三姜圆轴来扭转丙时的燥强度汤计算2赔受扭界圆轴董任意源斜截波面上绞的应乌力分他析第四膏章四扭蜻转/聋三嚼圆轴瓦扭转绕时的嘱强度扒计算铸铁低碳朴钢铸铁刊试件舱受扭趋为什傅么沿表45浑º螺霞旋面普断开欠？低碳裁钢试万件受萍扭为怖什么扔沿横午截面柄断开彼？mmAτττAτefef第四维章基扭末转/宅三宫圆轴齐扭转掀时的咸强度伸计算讨论摧:τττσmaxσminτ第四条章斑扭巨转/斧三些圆轴局扭转经时的惨强度耍计算第四赢章报扭桐转/弓三介圆轴科扭转游时的连强度鞋计算3把圆轴百扭转合时的何强度似条件为保怎证圆烦轴安云全工判作，糟要求像轴内脸的最但大工麦作切田应力贫不超积过材让料的棒许用蜻切应哑力，斩即：

式中的许用扭转切应力,是根据扭转试验,并考虑适当的工作安全系数确定的.第四宰章旨扭赠转四致圆轴缓扭转严时的介刚度皮计算第四犁章耐扭崇转/唇四丈圆轴掌扭转项时的腥刚度委计算1侨扭转撒角胁与剪景切角mm第四未章忽扭森转/粪四友圆轴房诚扭转宁时的剑刚度温计算2插圆轴牙扭转牺时的萄变形暗计算如图比所示犹阶梯倘轴。胆外力背偶矩m1＝0拴.8岩KN悲·m哭，m2＝2特.3绸KN抚·m均，m3＝1鸽.5博KN用·m或，A钓B段丘的直愉径d1＝4仍cm腊，B启C段懒的直捎径d2＝7葛cm单。已腥知材蓄料的敢剪切悦弹性艺模量悬G＝即80叶GP拘a，融试计饼算φAB和φAC。0.吨8k乱N·剥m1.铅5k帖N·狼m0.8m1.0mABC例题图示旅一空轰心传精动轴渔，轮纷1为谜主动嘱轮，矿力偶歼矩m1＝9废KN诵·m莲，轮肝2、壤轮3鹅、轮漂4为绘从动毙轮,害力偶锁矩分锐别为m2＝4览KN灶·m恼，m3＝3馋.5荣KN撤·m招，m4＝1朝.5屋KN术·m斯。已蚀知空销心轴杯内外阵径之拘比d志/D樱＝1剖/2粪，试唇设计遇此轴属的外洽径D叮，并畅求出蛋全轴轨两端咽的相水对扭扮转角φ24。G泽＝8诉0G跃Pa岩，［榜τ］＝6抄0M怨Pa钢。5k舟N1.跨5k隙N4k沾N500500500例题已知滋钻探痛机杆躲的外涌径D度=6考0m笛m，易内径既d=催50怒mm摧，功牌率P晃=7日.3利5k巷W，甚转速乘n=么18洞0r困/m绸in因，钻论杆入谁土深说度L添=4鱼0m浊，G惜=8插0G浓Pa封，[米τ]重=4蜻0M息Pa泊。设虫土壤寺对钻乌杆的肾阻力还是沿熟长度卫均匀钞分布臂的，巩试求似：（卵1）恳单位扎长度口上土确壤对唇钻杆巧的阻剪力矩m；（冤2）响作钻新杆的淘扭矩放图，骄并进姓行强蠢度校洗核；占（3激）求升A、饰B两稍截面某相对讲扭转房诚角。单位夏长度贝阻力武矩例题一内勿径为织d、骑外径葛为D巴=2让d的改空心疫圆管咽与一臂直径胸为d陕的实灵心圆乖杆结懒合成鲁一组别合圆朱轴，餐共同绑承受者转矩定Me。圆戒管与皱圆杆莫的材牺料不心同，肯其切另变模怖量分笨别为毫G1和G2，且积G1=G2/2园，假担设两际杆扭返转变禁形时恢无相碗对转吴动，部且均尼处于弦线弹绑性范宰围。饰试问变两杆驰横截甘面上价的最滩大切热应力免之比盼τ1/τ2为多委大？杰并画饿出沿哪半径蛋方向峰的切趋应力债变化肿规律逗。因两澡杆扭蛾转变县形时醉无相瓣对转伴动例题第四塑章虽扭累转/块四炉圆轴累扭转航时的交刚度届计算3赖圆轴枣扭转掌时的糕刚度鸟条件要求南单位要长度绵的扭董转角思不超忽过某攀一许汤用值躁,即余:试分近别按贼实心惧圆轴碑和空桃心圆事轴选帝择其析直径逝，并萄比较瓦二种医截面储轴之遥重量柴。解：1.计算外力偶矩画扭矩图。例1：钢制传动轴已知：n＝300（r.p.n），d／D＝1／2，输入功率:NA＝360kW，输出功率:NB＝NC＝110kW，ND＝140kW；

BCADmBmCmAmD＋70044456－xoT/N.m3502－＋T／N.mx350270044456危险规截面卫：A继C段渔。2.选择实心圆轴直径按强度条件按刚度条件2.选择空心圆轴直径按强度条件按刚度条件由此谦应选辜直径曾D=蜜11安.6漆cm歇，d航＝D死／2斤＝5评.8护cm3.重量比由此应选直径解：由传愁动轴表的尺箩寸计朴算抗谊扭截镇面模别量：轴的啦最大蒸剪应究力例题2某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为Mx=1500N.m,试校核此轴的强度。已知[]=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径为？所以呼此轴它安全示。若此县轴改妙为实冲心轴隙，而式中解得淋：实心诞轴的嫌横截笋面面免积为空心盆轴的挽横截感面面祖积空心目轴与能实心优轴的景重量亮之比竭：因此干在承识载能仇力相材同的嚼条件槐下，雅使用戚空心恨轴比乔较节约材赢料、枣比较牛经济眯。采用幼空心台轴可贤有效炮地减命轻轴波的重缸量，少节约掉材料酿。因为①根据伐应力错分布面规律枯，轴心总附近职处的炊应力遵很小漏，对磁实心缩慧轴而豆言，座轴心附斩近处页的材内料没完有较回好地乘发挥汪其作耐用；②从截监面的闪几何蚊性质右分析撇，横截障面面身积相伶同的术条件斧下，副空心通轴材话料分布期远离秃轴心闪，其俭极惯大性矩Ip必大弱于实旗心轴坟，扭矛转截学面系螺数Wp也比较大连，强恩度和朗刚度纤均可蛮提高患；③通边常所难讲保度持强若度不扣变，荣即指警最大夜切应扬力值筋不变招；保盆持刚薯度不寺变，故即指毁截面低图形咸极惯塘性矩句保持溜不变抄。④对栏于轴手的强满度或算刚度饮，采念用空架心轴贩比实虹心轴氏都较倍为合锅理。例题3图示等截面圆轴，已知d=90mm,l=50cm,,。轴的材料为钢，G=80GPa,求（1）轴的最大剪应力；（2）截面B和截面C的扭转角；（3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔的孔径d´应为多大？AllBCd1122AllBCd（+礼）（-甲）扭矩叨图解：(1无)轴逮的最纸大剪疯应力作扭限矩图球：2211因此AllBCd（2杆）扭此转角截面也B：截面阴CAllBCd（3柿）B丛C段武孔径苍d’由得解得浴：AllBCd例题影4图示屈圆截席面杆志AB瓜左端晃固定仰，承痛受一利集度即为t身的均戒布力抽偶矩烈作用造。试糕导出奔计算老截面透B的姥扭转助角公挎式。Lt

xdx解：取微猎段作因为研权究对甘象。Mx(x)Mx(x)

L-xtMx(x)根据机平衡询条件骗求得牺横截泻面上野的扭矩为男：微段美两端箭截面调的相莲对扭嘴转角舰为AB因此LtAB第四玻章凡扭杏转五谱扭转锐超静绍定问昨题扭转桑超静烧定问健题的揭解法选：（1爸）建毯立静慌力平简衡方现程；（2茫）由闹变形肿协调垃条件粘建立启变形天协调搜方程夏；（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系：，代入变形协调方程，得到补充方程；（4咱）补瞎充方窝程与谈静力溪平衡怨方程坐联立舟，求戴解所壤有的钞未知冬反力偶伸或扭觉矩。例题爷6一两挨端固枪定的姻圆截遭面杆抬AB蛛受力僚偶矩刘作用根如图离。要饶求：1）作室扭矩恢图；夕2）裳若m藏=1数0K肃N.扰m,原材料叫的[]=搞60取MP扒a，多试选芹择此丸等直保圆截治面杆越直径卡。MABClMDll例题浙7一组幅合杆马由实梦心杆剧1和麻空心屈管2秋结合侨在一愿起所插组成贪，杆屯和管赖的材普料相驱同。师剪切甚模量联为G迁,试晶求组疤合杆抛承受充外力陕偶矩m以后前，杆溜和管椒内的欣最大拿剪应矩力，痕并绘便出横借截面剩上应抹力分迟布的泊规律闻。如秘果杆铁和管杠的材叨料不牢相同蝴，结乞果又纵怎样牙？12Mn12解：（1窄）静朋力学在关系（2够）变棋形协半调条协件（3于）物桥理关抬系：代入锣变形取协调火方程魂，得茎补充惊方程（4循）补丧充方乞程与臭静力逼平衡孙方程遣联立犬，解引得（5糊）最仙大剪倾应力杆1锤：管2渗：第四型章轻扭递转六瞎矩形鲜截面形杆的芬自由蔬扭转自由餐扭转匀：非圆饥截面吗轴扭篇转时缎，横蔬截面推不再霞保持致平面内而发倘生翘刺曲。约束朗扭转亿：横截逮面可驱以自狐由翘晶曲。横截犹面的支翘曲滔受到充限制能。横截竿面上放只有流切应矩力而无手正应吼力横截优面上枪既有工切应孙力又盐有正仙应力矩形耐截面垮轴扭无转时于切应咱力的栏分布导特点角点眨切应刘力等决于零边缘特各点窝切应柱力沿怜切线而方向最大森切应值力流发生菠在长边义中点T分别模计算他两种线截面侄杆最厦大切慰应力圆杆：矩形劫杆：查表孕：β修＝0予.8次01分别胜计算剖两杆疮截面吐面积圆杆毕：矩形漂杆：矩形欲截面超面积境与圆父形面援积相舰近，朋但是陷最大疾切应眯力却漏增大稳了近夜一倍耽，因沉此工仿程中凶应尽岁量避锦免使涛用矩喝形截化面杆吓作扭坡转杆嘴件。例题娱一林圆形为截面扑杆和阵矩形昂截面摧杆受摘到相胸同扭艰矩T鉴=4语00宁N·撤m作辅用，择圆杆