材料力学讲义三四

AppendixⅠPropertiesofPlaneAreas附录截面的几何性质附录Ⅰ截面的几何性质(AppendixⅠPropertiesofplaneareas)§1-1截面的静矩和形心(Thefirstmomentsofthearea¢roidofanarea)§1-4转轴公式

(Rotationofaxes)

§1-2极惯性矩惯性矩惯性积

(PolarmomentofinertiaMomentofinertiaProductofinertia)§1-3平行移轴公式

(Parallel-Axistheorem)

§1-1截面的静矩和形心

(Thefirstmomentofthearea¢roidofanarea)一、静矩(Thefirstmomentofthearea）OyzdAyz截面对y,z轴的静矩为静矩可正，可负，也可能等于零.yzO

dAyz二、截面的形心(Centroidofanarea)C（2）截面对形心轴的静矩等于零.（1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心.三、组合截面的静矩和形心(Thefirstmoments¢roidofacompositearea)

由几个简单图形组成的截面称为组合截面.

截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩. 其中Ai—第i个简单截面面积1.组合截面静矩(Thefirstmomentsofacompositearea)2.组合截面形心(Centroidofacompositearea)—第i个简单截面的形心坐标解：组合图形，用正负面积法解之.方法1用正面积法求解.将截面分为1，2两个矩形.例题1试确定图示截面形心C的位置.取z轴和y轴分别与截面的底边和左边缘重合101012012Ozy90图(a)矩形1矩形2所以101012012Ozy90 方法2用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积C1yz§1-2极惯性矩、惯性矩、惯性积

(Polarmomentofinertia、Momentofinertia、Productofinertia)yzOdAyz二、极惯性矩(Polarmomentofinertia）一、惯性矩(Momentofinertia)

所以yzOdAyz三、惯性积

(Productofinertia)（1）惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零；（2）若y，z

两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则截面对y，z轴的惯性积一定等于零.yzdydyzdAdA四、惯性半径(Radiusofgyrationofthearea)解：bhyzCzdz例题2求矩形截面对其对称轴y,z轴的惯性矩.

zyd解：因为截面对其圆心O的极惯性矩为

例题3求圆形截面对其对称轴的惯性矩.所以yzOC(a,b)ba一、平行移轴公式(Parallel-Axistheoremformomentofinertia)(a,b)―形心C在yOz坐标系下的坐标§1-3平行移轴公式

(Parallel-axistheorem)y,z

￣

任意一对坐标轴C―截面形心yzOC(a,b)bazCyCyC

,zC￣过截面的形心C且与y,z轴平行的坐标轴(形心轴）

Iy

,Iz

,Iyz

—截面对y,z轴的惯性矩和惯性积.已知截面对形心轴yC,zC

的惯性矩和惯性积，求截面对与形心轴平行的y,z轴惯性矩和惯性积，则平行移轴公式

IyC,IzC,IyCzC￣

截面对形心轴yC

,zC的惯性矩和惯性积.二、组合截面的惯性矩、惯性积(Momentofinertia&productofinertiaforcompositeareas

）

组合截面的惯性矩，惯性积￣第i个简单截面对y,z轴的惯性矩，惯性积.例题4求梯形截面对其形心轴yC的惯性矩.解：将截面分成两个矩形截面.2014010020截面的形心必在对称轴zC上.取过矩形2的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作y轴.21zCyC所以截面的形心坐标为y2014010020y21zcyC一、转轴公式

(Rotationofaxes)§1-4转轴公式

(Rotationofaxes)yOz为过截面上的任一点建立的坐标系Oyzy1z1y1Oz1为yOz转过

角后形成的新坐标系顺時针转取为–号逆時针转取为+号已知截面对坐标轴轴y,z轴的惯性矩和惯性积求截面对y1，z1轴惯性矩和惯性积.转轴貌公式蚂为Oyzy1z1显然二、公截面贝的主劲惯性膊轴和纺主惯午性矩(p铜ri蚕nc雾ip授al炉a渠xe壳s率&白pr鸡in岗ci禁pa影l悄mo藏me炭nt博o港f李in素er寄ti锐a)主惯采性轴(P雅ri踏nc渡ip炕al插a崖xe术s脏)：总内可以得找到子一个吩特定缴的角0,粒使截赢面对新右坐标督轴y0,z0的惯抛性积弹等于末0奥,驶则称y0,z0为主软惯性滤轴.主惯狂性矩(P现ri罢nc消ip益al骨m铺om碧en踩t错of冷i轧ne暴rt毅ia臂)：截饿面对哪主惯淋性轴y0,z0的惯困性矩安.形心株主惯都性轴(C各en赌tr铁oi燥da师l羞pr护in削ci机pa穗l托ax门es拖)：当握一对掀主惯消性轴卫的交蝇点与与截面摧的形幻玉心重候合时芹,则歌称为阳形心片主惯牧性轴配.形心顷主惯丝式性矩(哥Ce北nt介ro留id街al训p含ri缓nc疯ip讯al况m抖om毛en鸟t低of始i成ne玻rt踢ia士)：截怠面对纲形心叉主惯蒜性轴底的惯剧性矩梢.求出常后，匙就确推定了敏主惯坊性轴真的位赴置.（1鞭）主愿惯性栋轴的阔位置领设为主落惯性喂轴与多原坐穷标轴江之间误的夹保角则有由此（2健）主树惯性棕矩的闭计算暂公式（3贱）截拌面的转对称服轴一渡定是穗形心指主惯仗性轴趋.过截平面上绕的任想一点挡可以凝作无尚数对易坐标查轴，赞其中饮必有左一对聪是主寻惯性转轴.乓截录面的山主惯撒性矩斥是所它有惯蛇性矩悄中的请极值遍.即求形王心主许惯性底矩的到方法（1严）确定唤形心腾的位仰置（2魄）选择蕉一对腐通过蛇形心攻且便盐于计并算惯把性矩物（积废）的欧坐标版轴y,z,计算Iy,Iz,Iyz（3蜜）确定啦形心柱主惯蚀性轴问的方敢位（4步）计算窝形心委主惯锋性矩例题巴5嗓计算伴所示滑图形厨的形香心主惯辩性矩亩.解：讯该图怪形形晨心C的位申置已哥确定急，如都图所绸示.过形魔心C选一蕉对座虽标轴yz轴，辜计算腰其惯扭性矩欠(积影).101012025C4020yz20158035在第三象限分别脾由y轴和z轴绕C点逆宪时针旗转复11畏3.呜8º得出炕.形心捡主惯拐性轴y0,z0101012策070形心落主惯夫形矩番为C4020yzy00=113.8°z