六年级拔尖数学

六年拔尖学目

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定义新运算简单的二元一次不定方程分数乘除法计算分数四则混合运算估算分数乘除法的计算技巧简单的分数应用题（1）较复杂的分数应用题（2）阶段复习与测试（略）简单的工程问题圆和扇形简单的百分数应用题分数应用题复习综合复习（略）测试（略）复杂的利润问题（2）

定在加减.乘除则运算之外还有其它许多种法则的运算在这一讲里我学习的新运算就是用“#”多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。例：如果A*B=3A+2B那么7*5的值是多少？例：如果A#B表

3

照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？例：规定

求Δ1010的值例：设M*N表示M的3倍去N的2倍即M*N=3M-2N（）计（14*10*6（）计（

8*）**）542例：如果任何数A和B有AB=A×B-A+B）求（）¤（¤）¤4（）设2¤X=1求X例6：P∞Q=5P+4Q，X∞时，1/5∞（X∞1/4）的值是多少？1

例7：定X*Y=

，且5*6=6*5则（3*2）（1*10）的值是多少？例8：表示一种运算符号，它的意义是

1（XA）（YA已知

112221）

那么200882009=？巩固练习1、已知2▽3=2+22+222=246；▽4=3+33+333+3333=3702；此规则类推（13▽2（）5▽（31▽X=123，的、已知eq\o\ac(△,1)×××；△××计算（eq\o\ac(△,4)）（eq\o\ac(△,5)）（eq\o\ac(△,3)）÷（eq\o\ac(△,4)）2

、如果A*B=3A+2B，那么（）7*5的是多少？（4*5*6

（31*5）*）、如果A>B，么A，B｝=A；如果A<B，么A，B｝；试求（1，0.8｝（21.9，1.901｝｝、N自然数，规定（N）=3N-2例（4=34-2=10试求：（）（2+F3+F）+F（）+…（100）的值、如果1=1！×！×2！……×23××……×那么1+2！！+…！个位数字是几？（第四届小学生“迎杯数决赛试题）、若“、-、×、÷、意义是通常情况，而式子中的5却相当于下面四个算式（）×（）7×）×9=39（）3×那么应该是我们通常的哪四个算式？、如果×3×5*3=5×7请按此规定计算（3*4）（5*3（2）÷（3*33

、规定（25）=2+5=7（123）（65=6+5=（11=1+1=2则计算564892）（905）÷12）10、规定64=2×××××2表成F（）；243=3×3×××表成G（243）；求下面题的值（）F（128）()（2F（）=G）（3F（）+G(27)=611、如果×！×2！……试计算）！（2）X！，X、有一种运算符号“＆”使下列算式成立＆＆＆5=13＆

求995＆？、

在X*5*1）中X的是多少？、对于任意的整数X、Y定义新运算“￥X￥值）如果12=2，那么￥？

6Y

（中M是一个固定的第讲

二一不方一、学目标：掌握用奇偶性、最值和尾数特点来解答不定方程。二、基知识我们知道一般的一个方程只能解答一个未知数，而有的4

题目却必须设两个未知数且列不出两个方程类似这样的方程我们称之为二元一次不定方程。在我们研究不定方程的解时常常会附有其他一些限制条件的条件是明显的也有隐蔽的但它们对解题至关重要这就需要我们在解题过程中酌情进行讨论。三、例解析：（一）基本方法例1、小明要买一只元9的钢笔，他手上有贰角和伍角的硬币各10枚，请问他可以怎样付钱？分析：本题可以用多种方法解答，这里用不定方程来解。设小明付了X枚贰角和Y枚伍角列方程，得2X+5Y=49方法一1、利用奇偶性。49奇数，2X是偶数，那么必定是奇数。这样，Y只能取1，3，5，7，9这五个数。2、利用最值：所付钱中贰角和伍角的都有，而X至多为10，那么5Y小于49—2×19=29，这样，可得Y大于。方法二

观察系数的特点，利用尾数（个位数）解答。由例可以看出，对于元一次定方程尽量缩小未数的取范围，再求解不定方常常利奇偶性最值和数来助解决例2、大汽车能容纳54，小汽车能容纳36人，现有378要乘车，问要大汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满便于管理，要求车辆数最少，应该选择哪个方案？分析解答不定方程时能够把方程化简就尽量化简注意加了限制条件以后，答案的变化。试一试：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是5

170，你知道他出生于几月几日？例3、现有铁矿石73，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问需用两种卡车各多少台运费最省？分析根据条件用不定方程可以求出卡车的台数但是要注意问题求运费最省。例4一个同学发现自己1991年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和，请问这个学生1991年时多少岁？分析与解：设他出生于19XY年，那么1991—19XY=1+9+X+Y1991—（1900+10X+Y）=10+X+Y91—10X—Y=10+X+Y（二）能力拓展例5、一辆匀速行的汽车，起初看路标上的数字是一个两位数xy,过了一小时路标上的数字变为yx，又行驶了一小时路标上的数字是一个三位数x0y,求每次看到的数字和汽车的速度。分析：路标上的数字是累计数。由于汽车是匀速行驶，因此汽车在单位时间里行驶的路程是相等的，根据这个关系可以列出方程。试一试一个两位数如果把数字1放在它前面可得一个三位数放在它后面也可得一个三位数。已知这两个三位数之差为，求原来的两位数。例6、如下图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高，将这个长方体横切两刀竖切两刀得到个长方体这9个长方体表面积之和比原来长方体表面积之和多624平方厘米，求原来长方体的体积。分析与解：设长方体的长、宽、高分别为abc，分析可得，横切两刀，增加了4ab的面积切两刀增加了4ac的面积可列方程4ab+4ac=624。三个未知数的不定方程一般采用分解质因数的方法解答。6

练习一、基本题1、求方程6x+9y=87的自然数解。2、求方程2x+5y=24的自然数解3、大客车有48座位，小客车有30个座位。现在有旅客，要使每位旅客都有座位而且不空出座位来，需要大、小客车各几辆？4、装饼干的盒子有大、小两种，大盒每盒要1元，小盒每盒要8元，妈妈用了89元，问大小盒子各买了多少个？5、一个两位数，交换个位和十位上的数字，就得到一个新的两位数，已知新两位数比原两位数多54，求原来的两位数。6、一个两位数，各位数字之和的6倍比原数大，求这个两位数。7、一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于，问两种盒子各有多少个？7

二、综合题8、在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得的三位数比原数大870，那么原数是多少？9、会场里有两座和四座的两种长椅若干把。现有一个班的学生（不足70人）来开会一部分学生一人坐一把两座的长椅其余的同学每三人坐一把四座的长椅。结果平均每个学生坐1.35个座位。求有多少个学生？思考题10有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？

分数乘除法算分数乘除法的计算方法用字母表示为：bbda

（a都不等于0bdbaaad一、课准：

（a，都等于8

1、计算下列各题：51（1）÷10÷336

337927（2）＋÷（3÷×71518352155513（）÷÷（）÷×（）÷（+）8122542在□或里填上适的数或符号并说使用了么运算律？167（1）25×=×(×)78528（2）××=(×)×8315229（3）×(15)=×(×)2931（4）25

34

×4=×+×7（5）7=×〇×8（6）1

45

×25=×〇×85（7）54(-)=×〇×96二、例题讲解例：计算：⑴

4415；⑵274526

。【分析】认真观察这两道题的数学特点：(1)题中的

441与1只差，果把写459

33成

145

)

的差与相，再运用乘法分配律就能简化运算了。同样，第2）题中的可写成（26+1练习“挑战自己比一比，看一看，谁的方法最巧妙？212526×32×556例：计算：

15

35

13分析仔细观察数的点可知，可转化为这样就可以利用乘法的分配55律进行简算了。4124练习：计算：77例：计算：

9

27

29把

【分析】把几个分数的和作为一个整体去处理，往往会使计算简便得多。在本题中，11与的作为一个数来参与运算，使计算中只含有乘除法。再利用乘法的交换律、79结合律就可以很快算出结。例：计算：⑴

166

12003；20

。【分析】同学们都会计算带分数除法。不过，看了这两题，你一定感到把带分数化成10

假分数太繁了。如果我们一下脑筋，就会发现：可以把题(中的

1

120

分一个的倍数与另一个较小的数加，再利用除法性质就可以使运算简便。把题（

2)中的2003

20032004

化为假分数时，把分子用两个数相乘的形式表示，便于分和计。例：计算：

777

910

37

110例：计算：一、基本练习1、下面各题，怎样简便就怎样算。81111－944

2＋）3417

）

112＋3223

5492.“考考”下面各题怎么算简便就怎么算？77×101-1010

8888×÷×9999

35

×99+

3511

43455183×2536×(-)×5356954821531033(+)××+×-792521421444.分数四则混合计算：13（1—）×（2）×[（—）÷]10100467153（3）×—÷（40.19+0.193）÷0.0585二．能力提高（4）（52008

2008200912

第四讲

分数四则混合算一、课准备：278041615999÷962（＋）×3589351637531÷＋×（＋－）×24104613

二、例讲解例1：计算：

360

练习

22375.46(4.875)3358例2：计算598.1×37

25

13＋5981×6.26）÷1＋190×17

1730例3

12131141617123344555253611例4；计算814

练习：1.下面各题怎样算简便就怎样算。852921（＋－）×27（＋）÷927315344325×424÷5×＋×＋457131372.用简便方法计算。9211÷13×100－－91×1.1×4＋40.9÷5－4.09计算下面各题。

555617755620812

1156

3145

1141（3415

2234（0.870.23751135.60.3758

11

3165

2194.099797

550.89

49

47.61.2555

估

算取近似值的方法除了常用的四舍五入法外，还有去尾法和收尾法（进一法其方法一般是计算出准确值再按要求取近似值。还有两种）省略尾数取近似值，即观其“大概”（2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。这就是估计与估算，估计与估算，是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用。一、去尾法和收尾法（进一法）例、某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时，飞去时速度为900千米/时回时速度为850千米/时机最远飞出多少千米就应返回？（精确到1千米）解：设该飞机最远能飞出x小时，依题意有16

此题采用去尾法。如果按照四舍五入的原则，那么得x≈1749，当飞机真的飞出1749千米再返回时，恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。例2、某人执行爆破任务时，点燃导火线后往米开外的安全地带奔跑，其奔跑的速度为7米/秒已知导火线燃烧的速度是0.112米/问导火线的长度至少多长才能确保安全？（精确到米）此题采用收尾法如果你的答案是米执行任务的人还没跑到安全地带，炸药就被引爆，那可就太危险了。二、放缩法与省略尾数法122829例3、有三十个数：1.64，1.64+，1.64+，……1.64+1.64+，如3030303011果取每个数的整数部分（例如1.64的整数部分是11.64+的整数部分是302并将这些整数相加，那么其和是多少？分析：关键是判断从哪个数开始整数部分是例、A=12345678910111213÷31211101987654321，求A小数点后前3位数字。分析：本题可以采用取近似值的办法求解，还可采用放缩法估计范围解答的。方法一：放缩法：A＞1234÷3122=0.3952…A＜1235÷3121＝0.3957…所以0.3952＜A＜0.3957方法二：省略尾数法：近似值：将被除数、除数同时舍去位，各保留4位，则有1234÷3121≈例、老师在黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数小明计算出的答数是12.43。老师说最后一位数字错了，其它的数字都对。正确的答案应是什么？分析：明的答案仅仅是最后一位数字错了，那么正确答案应该12.4017

与之间。原来个数的总和最小应该是12.40×13=161.2最大应该是12.50×13=162.5之间，从而可求出这个自然数的总和，从而知道正确答案例6、已知：S=

11

，求S的整数部分。分析与解如果我们能知道分母部分最小不小于几最大不大于几就能知道它的值在某个范围内这个范围很小时容易判断出的整数部分了。设A=说明：本题如果直接计算，不但非常麻烦，而且容易出错。上面的“分析”中，我们采用了“放大——缩小”的方法，就是先把s的倒数（分母部分）的每一个加数都看成最大的一个（放大再都看成最小的一个（缩小练一练：求

1)19961997199819992000

的整数部分。练习一、基本题1919191911+）+（1+×2）+1+×3）+……（1+×10+（1+×11）92929292的结果是x，那么，与x最接近的整数是多少？18

2算式0.1234……5051÷0.5150……4321的小数点后前二位数字是多少？3、为了修水电站，需要在极短的时间内向河道中投入300米

石料，以截断河流果每台大型运输车一次可运石料米3

么为保障一次截流成功，至少需多少台运输车？4、用5米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求这块布料可以做几件上衣？5、小华在计算一道求七个自然数平均数（得数保留两位小数）的题目时，将得数最后一位算错了。他的错误答案是，正确答案应是多少？6、求下式中S的整数部分：二、综合题7、计算：（提示：注意385=5×7×11，可以先用乘法分配律化简，再估算19

111三、思考题：8、在，，，……，，中选出若干个数，使得它们2的和大于3，至少要选几个数？第讲

分运的巧对于分数的混合运算除了掌握常规的四则运算法则外还应该掌握一些特殊的运算技巧才能提高运算速度解答较难的问题下面我们着重介绍五种常用的简算技巧。（一）般分数除法的算：（二）数的简计算1.整法与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。20

例3、计算：2.分法：例4、计算：分析：仔细观察可知，分子的每一项（每一个加数）都可以分解出2×3，分母的每一项都可以分解出1×3×5。把它们作为公因数提出来后，括号内的和是相等的。例5、

计算：

362548361362186分析：仔细观察分子、分中各数的特点，就会发现分毋中的被减数362×可以变形为11)×18＋同时发现8－这就可以把分母转化成与分子完全相同的式子，化运算。21

例6、计算：例7、计算：2分法例、计算：分析：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。4代数法例9、22

练习：20032004

×200523

第讲

简的数用（）一、基知识：1、分数应用题的一般关系式是：表示单“1”量（标量）×率=分的对应。2、解题思路：①一道分数应用题中，先根据分率所在的哪个条件，找出并判断“分率是“谁的”几分之几，谁就是单位“分率是一个不带单位的、不具体的分数，反映的是两个数之间的一种倍数关系单位“1”的量的判断：根据分率来判断把哪个数量平均分成多少份，哪个数量就是单位“1②表示单位“1”的量是已知的，则该题用“×表示单位“1”的量是未知的，则该题用“÷”或方程。③解题的关键是：寻找“与数量对应的分率率对应的数量二、例解析：（一）基本方法例1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。①一只鸡的重量是鸭的。把()均分为3份,把（）看作单位“1”,()相当于这样的2份，2/3应的数量是（②甲的相当于乙)平均分为5份,作单)24

相当于这样的3份，3/5对应的数量是（③现价是原价的。()平均分为40,（）看作单位“1”,()相当于这样的3份，3/40应的数量是（现价比原价少的部分对应的分率是（④小红的书比小明少。()平均分为8份,（）看作单位“1”,()相当于这样的7份，7/8对应的数量是（明的书对应的分率是（例、根据已知件用“——”线标单位“”的量，再写数量关式。（1）白兔只数的

512

10是黑兔的只数。（）已经修了公路全长的。21（3）二班植树棵数相当于一班的

1021

5。（4）今年棉花产量比去年增加。87（4）第三季度冰箱价格比第二季度便宜。（）还剩这堆煤的。5115例3、小王买了一个本子和一支钢笔。本子的价格是子的价格多，钢笔的价格是多少元？

元，钢笔的价格比本25

例4一条裤子比一件上衣便宜25元一条裤子是一件上衣价格的一件上衣多少元？例5、商店运来一批水果，运来苹果0筐梨的筐数是苹果的，梨的筐数同时又是桔子的3/5。运来桔子多少筐？例6、学校买54本新书，其中科技书占1/6，文艺书1/3文艺书比科技书多多少本？（二）能力拓展例7小强看一本故事书每天看16页看了5天后还剩全书的没有看，这本故事书有多少页？分析：把全书看作单位“1未知的，可以用除法或方程解答。3/5与没有看的页数相对应，看了的已知量165与1—3/5相对应。例8、客车由甲城开往乙城要时,货车由乙城开往甲城要15时,两车同时从两城相向开出多少小时两车相遇？如果相遇时客车走了600千米,甲乙两城之间的公路长多少千米?分析本题的关键是要求相遇时间我们知道相遇时间相遇距离÷速度和，而本题要求的就是相遇距离，怎么办？可以假设全程为单位“练一练一项工作,由甲单独做需要10天由乙单独做需要12天如果两人合做,几天才能完成?26

练习：一、基本题1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。①白兔是黑兔的)平均分为6份,作单)相当于这样的5份，对应的数量是（②一种毛衣现价是原价的4/7。把()平均分为7份,把（）看作单位“1,()相当于这样的4份,4/7对应的数量是（现价比原价少的部分对应的分率是（③九月份的产量比八月份增加了。单位“1月份的产量对应分率（2、根据已条件用——”标出单“1的量，写出数关系式。5（1）妈妈年龄的是女儿的年龄。（）已经用这根绳子的。12（3）男生人数占总数的

2021

5。（4）今年车祸比去年减少。8（4）现价比原价增加

7。（）没有看的占这本书的1015

。3、六年级有男生100人，女生有80人。（1）男生人数是女生的几分之几？27

（2）女生是男生的几分之几？（3）女生是全年级学生的几分之几？（4）男生人数比女生多几分之几？3、某生产队挖一条长300米的水渠，第一天挖了全长的，挖了多少米？还剩多少米？4、某车间五月份生产零3000个，六月份比五月份多生产了，六月份生产了多少个零件？分析作单的）方法计算。对应的数量份产的对应分率解答：5、某小学有学生若干人，其中女生占，还已知该校男生有人，这所小学共有多少人？分析看作单1知的（）方法计算。男生的对应分率是（解答：6、小亮在银行存了元，小华存的钱是小亮的，小华存的钱是小新的2/3，小新存了多少元？28

7、某粮店共有大米2800千克，第一天卖了，粮店还有大米多少千克？8、商店有红气球和黄气球，共48只，其中黄气球的只数是红气球的3/5。红气球和黄气球各多少只?9只大雁由北方飞往南方要6天,一只野鸭由南方飞往北方要天,如果大雁和野鸭同时从两个方向同时出发,多少天他们可以相遇二、综合题：10、王琳看一本连环画共80页，第一天看了全书的，第二天看了全书的1/4。还剩多少页没有看？11、本站有一批货物，上午运走了总数的2/5，下午运走了总数3/8，还剩下2700吨没有运，这批货物一共有多少吨？12、一袋大米吃了后又加入8克，这时袋里的大米恰好是22千克。这袋大米原来有多少千克？213、小刚读一本书先读了全书的，又读了全书的，已读的比没读的多5370页，这本书共有多少页？14、根据算式写出问题说明：35%=7/20还剩下全长的1/3没有修完，————————？29

（1）2400×1/4（2）2400×35%

？？（3）2400×（1/4+35%）

？（4）2400×1/3

？（5）2400×（35%-1/4）？（6）2400×（1/3-1/4）？（7）2400×（1/4+35%-1/3）

？第讲

较杂分应题二本讲继续学习较复杂的应用题——两个单位“1”的情况和量与率的对应关系。较复杂的分数应用题常常需要画出线段图或用方程的方法解答。例1、一根140厘米长的绳子，第一次用去它的，第二次又用了余下的3/5，两次共用去多少厘米？分析：本题有2个分率，相对应的有个单位“1例2、小红看一本书，第一天看了全书的4/7，第二天又看了剩下的，还剩下42页没有看，这本书共有多少页？练一练：某生产队挖一条300米的水渠，第一天挖了全长的，第二天挖了余下的，第三天恰好挖完，第三天挖了多少米？例3一瓶油第一次吃了1/5千克第二次吃了余下的3/4这瓶内还有1/5千克，问这瓶油原来有多少千克？分析：根据条件“第二次吃了余下的3/4们先确定“再利用线段图来找出量对应的率”或“与率对应的量30

例4、某校男生人数比全校学生总数的4/9少人，女生人数比全校学生总数的4/7多15人。求全校学生总人数。分析：利用线段图来找出量对应的率”或“与率对应的量单位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。例5、有一瓶酒精，第一次倒出2/3又80克，然后倒140克；第二次再倒出瓶里酒精的3/4，这时瓶里还剩下90酒精。求原来瓶里有酒精多少克？分析本题2个分率相对应的有个单“1线段图来找出量对应的率”或“与率对应的量位1”是未知的，可以用除法或方程解答。试一试：东盛化肥厂生产一批化肥，分三次运出，第一次运出的比总数的3/5还多300吨，第二次运出的是第一次1/3，第三次运出的450吨，求这批化肥有多少吨？例6、某工厂二月份比元月份增产1/10三月份比二月份减产1/10．问三月份比元月份增产了还是减产了？分析：本题没有告诉我们具体的数量，要求的也是不具体的分率，所以我们可以假设老三年龄为“1”,或者假设一个具体的数量、字母。31

练一练：有兄弟三个，老大比老二年龄大2/5，老二比老三年龄大2/5，老大的年龄是老三的几分之几？练习：1、某水泥厂第二个月生产水2400吨，比第一个月多生1/4，第一个月生产水泥多少吨？第三个月生产的水泥，比第一个月少生1/5，那么第三个月生产水泥多少吨？2红看一本240页的书一天看了全书的二天又看了剩下的1/3，还剩下多少页没有看？3、某粮店，第一天卖了全部大米的4/7，第二天又卖了余下3/5，这时还剩下420千克米没有卖。这个粮店共有大米多少千克？4、某车间一月份生产了1000个零件，以后每个月都增产，三月份生产了多少个零件？5、某工厂去年制造一种零件，成本逐渐下降，每一季度的成本都比前一季度降低1/4，问第三季度的成本是第一季度的几分之几？6、某班学生中，男生人数比全班人数的5/9少人，女生人数比全班人数的32

3/7多人，求全班人数。7、一桶柴油，第一次用了全桶的2/5，第二次用去千克，第三次用了前两次的和，这时桶里还剩千克油．问这桶油有多少千克？二、综合题8两队合修一条水渠甲队完成的比全长的还多7.2米乙队完成的相当于甲队的1/3。这条水渠有多长？9、小王做零件，已经做240个，比计划还少20%，为了超25%，小王还应再做多少个？10一袋大米第一周吃了1/3又6千克后又加入8千克第二周又吃了剩下的1/3，这时袋里的大米恰好是24千克。这袋大米原来有多少千克？11、向阳村用拖拉机耕地，第一天耕了全部土地1/4，第二天耕了剩下的三分之二，第二天比第一天多耕30公顷，问这个村共有多少公顷土地？1112、一种商品，先提价，再降价，现价相当于原价的几分之几？5533

第讲

阶复与试第讲

简的程题一准备题：修建一条长1200的公路，甲队需要，乙队需要40天，如果两队合修需要多少天？在日常生活中，做某一件事，制造某种产品成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作效率工作时=工作量（由此还可以变化工作时间=工作总÷工作率，工效率=工总量÷作时间，在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题工程问题中的本质关系为：工作效率×工作时间工作总量。分数程问题的特，常常给出具的工作量，们把全工程看单位“，样，工效率=1/工作时间，然后再根据工总、工效和工时这三个量的关系解题。一、基本方法例1、加工一批零件，甲单独做6时完成，乙单独做9时完成。（1）甲、乙合做，每小时完成这批零件的几分之几？（2）合3时完成这批零件的几分之几？（3）合3时后完成剩下零件两人合作还需要多少小时？（4）如果合2时后，剩下的由甲单独做还需要多少小时做完？练一练：现在打一份文稿，甲做天可以完成，乙做可以完成.现在甲先做了3天余下的工作由甲乙合作完成还需要做几天可以完成全部工作？34

例2、两列火车同时从甲、乙两地相向而行，货车从甲地开往乙地需要10小时，客车从乙地开往甲地需8时，现货车先小时后，客车才出发，求客车出发后多少小时两车相遇？分析；没有告诉我们甲、乙两地的路程，我们把甲、乙两地路程看做单位“1度用1/时间来表示。求相遇时间，相遇时间=相隔路程÷速度和。例3、一个水池有两个进水管，一个出水管。单开甲管1小时可把空池注满，单开乙管20时可把空池注满开丙管15时可把满池水放空管同开，多少小时把空池注满水？分析：注意本题是两个进水管，一个出水管，进水管来灌水，出水管来放水。例4、水池上装有甲、乙两个大小不同的水龙头，单开甲龙头60分钟可注满水池，现在两个水龙头同时注水20钟可注满水池的如果单开乙龙头需要多长时间注满水池？分析根据条件可以求出甲乙两水龙头的工效和再根据甲龙头的工效，就可以求出乙龙头的工效了。进而求出乙龙头的工作时间。二、能力拓展例、一项工程，先由甲、乙合做5完成了全部工程的，再由乙单独做了2天完成了全部工程的1/30，然后由乙、丙二人合做天完成余下的工程。如果这项工程由甲、乙、丙三人合做，需要多少天完成？例6、一项工程，甲队独做需45完成，乙队独做需要60天完成，现在甲、乙两队合作，中途乙队因事调走，这样完成全部工程共用30天，求乙35

队工作了几天？分析：这项工程，我们可以看成甲队做了一部分，乙队也做了一部分。例、某项工程，甲、乙两队合做，天可以完成。今两队合做天后，剩下的由甲队独做，经过天才完成。问：乙队独做全部工程需几天完成？分析：根据条件可以求出两队工效和。例8加工一批零件甲独做20天完成乙独做每天完成这件零件的，现在两人合作完成这批零件甲中途休息了天乙也休息了几天这样用了15天才全部完成，求乙休息了几天？分析：乙休息的天数可能2.5多或少或同样多。解题方法多样：按前面例题的思路，可用方程的方法，或假设方法。练习：一、基题：1、修一栋楼房，甲公司单独做5个月完成，乙公司单独做6月完成。（1）合2月完成这栋楼房的几分之几？（2）如果合2月后，剩下的由甲公司做还需要多少个月做完？2、一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独30天完成。现在两队合作，多少天可以完成？36

3、一件工作，甲做天可以完成，乙6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？4、做一批零件，甲单独做天完成，乙单独做16天成，现在两人合作天后，余下的由乙独做多少天可以完成？5一个水池上装有一根进水管和一根出水管开一根进水管分钟可以将水池注满，单开一根出水45钟可以将一池水放完。现在水池1/2的水，两管齐开，多少分钟水池可以把水池灌满？6一只大雁从甲地飞向乙地需要天只野鸭从乙地飞向甲地需要12天，现野鸭先飞了3后，大雁才出发，求大雁出发后多少天大雁和野鸭相遇？7、一项工程，甲队单独做天完成；乙队单独做天完成，甲、乙两队合做2后，甲队因事调走，余下的部分由乙队单独做完，还需要多少天完成？二、综合题8、做一批零件，甲、乙两人合做12天完成，现在甲、乙合4后，余下的乙独做20可以完成。如果甲单独完成这批零件要用多少天？37

9、有一项工程，甲队独做天可完成，乙队独做60天可完成，现在已知两队合做这项工程，但中间甲队因另有任务调走几天，所以经过才完成全部工作，甲队离开了几天？10一件工程，5时先完成了1/4，乙接着9小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少小时才能完成？11、一项工程，先由甲做天完成了全部工程的；再由乙做天完成了全部工程的1/4；然后由丙2天完成了全部工程的1/15。最后甲乙、丙合做余下的工程，还要几天可以完成？38

第一：和形一（一）本知识1、圆：圆周长公式：

ππr。圆面积公式：

r

。圆环面积：S

环

(

2

2

)图一

图二

图三2、扇形。如上图二，连接两条半OAOB，就可得到一个扇OAB，扇形面积公式是：S=

2

。扇形的圆弧=所在圆周长的

。其中r是指扇形的在圆的面积，n的是圆心角的度数。例1、图二中°，半径为厘米，扇形面积是多少？弧AB是多少？3、弓形。如上图三，S弓AC=AOC—S△例2、图三中，直角三角形的直角边OA=6厘米，求弓形的面积。（二）本运用例3、街心花园中圆形花坛的周长是米。花坛的面积是多少平方米？例4、计算下图阴影部分的面积．单位：厘米)39

例、在一块长米，宽2米的长方形铁板上截下2最大的圆形后，剩下的铁板面积是多少平方米？例6、从一块边长厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆，这块圆形铁皮的面积是多少平方厘米？剩下的面积是多少？例7、从一个直径为厘米的圆中，剪去一个最大的正方形，正方形面积是多少？例8、求下图中阴影部分的面积和周长。练习一、基本题40

1、一个圆形花坛的周长是米。花坛的面积是多少平方米？2、已知一个圆的面积是平方厘米，求这个圆的周长。3、下图涂色部分是个环形，它的内圆半径是10米，外圆半径是15厘米，它的面积是多少？4、从一块边长8厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆，阴影部分面积是多少？5、下图圆的半径为厘米，圆心角为45度，扇形AOC的面积是多少？弧AC是多少？6、下图是一个直角边长为厘米的等腰直角三角形。求弓形面积。7、求阴影部分的面积：(单位：分米)（π=3）41

8、右图中直角三角ABC底20厘米以AB为直径画成一个圆，圆心为O垂直于AB，求弓形的面积。9、求下图中阴影部分面积和周长（1）等腰梯形的腰是位：厘米）（2）三角形ABC是等边三角形，底BC=6厘米，扇形圆心角为度。思考题：10、在下图中左右两个正方形一样大小，且图（2）中四个小圆一样大．试问是图（1）中的大圆面积大，还是图）中四个小圆的面积之和大？请说明理由。42

第二

简的分应题一百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数百分数也叫做百分率或百分比。百分数在生活中大量地运用。如出生率、利息、利润等。一般地我们可把百分应用题作分应用题解答。一、一般百分数应用题例1、东风化肥厂去年计划生产化60吨，实际生产72万吨。实际产量比计划超过百分之几？例2、商店卖一种袖珍收音,现在按八折出售，每台14.4元,这种收音机原价每台多少元?例、有甲、乙两个仓库，甲仓库存粮的2/3正好是乙仓库存粮的，已知乙仓库存粮1500，甲仓库存粮多少吨？例4、工程队挖一条水渠，每天千米10挖了全长的，还剩多少千米没有挖？例5、学校去年春季植树500棵，成活率为85％，去年秋季植树的成活率为90％知去年春季比秋季多死了20棵树么去年秋季学校共种多少棵树？分析成活率是指成活的棵数占全部棵数的百分之几根据去年春季成活率85％，可以求出成活棵数和死了的棵数。进而求出死了的棵数，再根据去年秋季植树的成活率90％，求出去年秋季种的树。43

例6、纺织厂的女工占全厂人数的％，一车间的男工占全厂男工的％。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几？分析有告诉我们具体的数量且求的也是一个不具体的数量百分比，这样，我们可以采用设参数的方法。二、特殊的百分数应用题——利润问题在这类问题中，特别的在于，它涉及两个量的相乘，一是商品的单价，另一个是销售量。我们要同时把握这两个量的变化：总价=单价数量利润：般地，商店购进货物的钱叫成本（或购入价去的钱叫售价（或卖出价价与成本的差叫利润。利润与成本的比叫利润率。售价成本+利润=本+成本利润率=成本×1+利润率）利润售价—本例7、某商店进货的批发价元一袋，规定零售价为一袋，求商品的利润率是多少？例8、商店从某供货商以每1200，购进50空调。该商店20%的利润率来定价，空调的定价是多少？如果全部按这个价卖出，商店共获利多少元？例9场以400的成本购进一见商品商店准备以50%的利润率来定价，但因为价高，没有人购买，只好打75折优惠，问现在这件商品卖多少元？练习1、曙光面粉厂①5000克小麦可以出面粉千克，面粉的出粉率是多少？②面粉的出粉率是％，4000克小麦可以出面粉多少千克？44

③面粉的出粉率是％，加工3200克面粉需要多少千克小麦？2、把20盐溶解在克水中，盐占盐水的百分之几？3、一家大型超级市场,一月份的营业额是万元如果按营业额的缴纳营业税后,剩余多少万元？4、甲数比乙数多20%，乙数比甲数少百分之几？5某化肥厂第一季度生产化肥2400吨完成了全年任务的25%他们准备在第二季度完成全年任务的30%，那么第二季度应生产化肥多少吨？6、运送一批树苗，已运了总数的％，未运的比已运的少420棵，这批树苗总数多少棵？7、某商场以每64元的价格，购进童装套，全部销售完后，共得10000元，求商场销售这些童装的利润率。8中国书店收购一本旧书原价12元收购时按八折作价然后又按比收购价多5%的价钱售出．书店售出这本书的价钱是多少元9、在某校学生中，男生人数占全校人数的60％，女生人数占全校40％，那45

么，男生人数比女生多百分之几？10、采煤队三月份上半月完成月计划的60％，下半月完成月计划的65％，这个月实际采煤万吨，这个月超过月计划多少万吨？11、一家服装店出售两种春装，一种是新式样，每件240元，可赚，另一种样式过时，是处理品赔本，每件售价也是240元，问：两种春装各出售一件，是赔还是赚？赔（或赚）多少？12、某校绿化校园植了水杉，柏树、梧桐三种树，其中种植水杉的棵数为总数的40%，柏树的棵数是水杉的7/8，其余的是梧桐树。已知水杉比梧桐多棵，水杉是多少棵？第三

分应题习例1：量和分直接对一辆汽车4时行了全程的2/5，照这样的速度，再行几小时到达？练习：六（1）班，男生比女生少8，女生比男生多全班多少人？例2：知量的——对应分率1、一条公路第一天修了全长的1/4，二天修了全长的2/5，两天共修了46

千米，这条公路全长多少米？2、一辆汽车行了全程的这时已超过中点千米，已行了多少千米？3服装店分两次加工一批服装第一次做了全部的第二次比第一次多做90。这批服装共多少件4、汽车A城开往B，第一小时行全程1/4，第二小时行全程1/3，超过中点15米，AB两城相距多少千米?5、电视机厂月份生产一批电视机，上旬生产了全部的中旬生产的是上旬的2/3，下旬全部完成任务。已知下旬比中旬多生2250，9份生产电视机多少台例3：对应关1．小红看一本小说，第一天看总页数的还多19页，第二天看的比总页数的1/8少17，还余下页，这本书共多少页2、服装店加工一批服装，第一次做了全部的1/5，第二次比第一次多做8。这时做完的比没做完的少件，这批服装共多少件3、一批木料，先用去总数的又用去总数的，这时用去的比剩下的多21，这批木料共多少方4、有两只桶装50千克，若第一桶里倒出1/5，第二桶里倒进4千克，则两桶内油相等。原来每只桶各装油多少千克?47

5、一个班女生比男生的多人，如果男生减少3人，女生增加人，那么男女生恰好相等。这个班男、女生各有多少人?6、甲、乙、丙、丁四人共同购买一只游艇，甲支付的现金是其余三人所支付的1/4，乙支付的比其余三入所支付的总数少，丙支付的是其余三人所支付的1/3，丁支付9100。这只游艇价值多少元7．小强读一本书，第一天读全书的第二天又读了余下的1/2，这时还有30没读，这本书共有多少页8、学校举行一项数学讲座，整个教室坐满了人，其中两人中有一个六年级学生，四人中有一个五年级学生，七人中有一个四年级学生，还有六位老师，整个教