平面问题的基本理论

平面问题的基本理论要点——建立平面问题的基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等弹性力学主要内容§2-1平面应力问题与平面应变问题§2-2平衡微分方程§2-3斜面上的应力主应力§2-4几何方程刚体位移§2-5斜方向的应变及位移§2-6物理方程§2-7边界条件§2-8圣维南原理§2-9按位移求解平面问题§1-10按应力求解平面问题相容方程§1-11常体力情况下的简化§1-12应力函数逆解法与半逆解法弹性力学§2-1平面应力问题与平面应变问题1.平面应力问题(1)几何特征xyyztba一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。——平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿z

方向不变化。弹性力学xyyztba(3)应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：由剪应力互等定理，有结论：平面应力问题只有三个应力分量：xy应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。弹性力学2.平面应变问题(1)几何特征水坝滚柱厚壁圆筒

一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。

——近似认为无限长(2)外力特征

外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。

约束——沿长度z方向不变化。(3)变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，则沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面弹性力学水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移问题——平面应变问题注：(1)平面应变问题中但是，(2)平面应变问题中应力分量：——仅为xy的函数。可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。弹性力学如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题弹性力学3.平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：——仅为xy的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：——平衡微分方程——几何方程——物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；弹性力学两类平面问题：平面应力问题平面应变问题几何特征受力特征应力特征几何特征;受力特征;应变特征。上节课小结：外力、应力、形变、位移。基本假定：（1）连续性假定；（2）线弹性假定；（3）均匀性假定；（4）各向同性假定；（5）小变形假定。（注意：剪应力正负号规定）（掌握这些假定的作用）基本概念：弹性力学§2-2平衡微分方程PBACxyO取微元体PABC（P点附近），DXYZ方向取单位长度。设P点应力已知：体力：X，YAC面：BC面：注：

这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。弹性力学PBACxyODXY由微元体PABC平衡，得整理得：当时，有——剪应力互等定理弹性力学PBACxyODXY两边同除以dxdy，并整理得：两边同除以dxdy，并整理得：弹性力学平面问题的平衡微分方程：（2-2）说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：——超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。PBACxyODXY弹性力学§2-3斜面上的应力主应力1.斜面上的应力（1）斜面上应力在坐标方向的分量XN，YNxyOdxdydsPABsXNYNN设P点的应力分量已知：斜面AB上的应力矢量:s斜面外法线N的关于坐标轴的方向余弦：

由微元体平衡：

整理得：

（2-3）整理得：

（2-4）外法线

弹性力学xyOdxdydsPABsXNYNN（2）斜面上的正应力与剪应力（2-3）（2-4）将式（2-3）（2-4）代入，并整理得：（2-5）（2-6）说明：（1）运用了剪应力互等定理：（2）的正负号规定：将N转动90°而到达的方向是顺时针的，则该为正；反之为负。——任意斜截面上应力计算公式（3）若AB面为物体的边界S，则（2-18）——平面问题的应力边界条件弹性力学2.一点的主应力与应力主向xyOdxdydsPABsXNYNN（1）主应力若某一斜面上，则该斜面上的正应力称为该点一个主应力；当时，有求解得：（2-7）——平面应力状态主应力的计算公式弹性力学主应力所在的平面——称为主平面；主应力所在平面的法线方向——称为应力主向；由式（2-7）易得：——平面应力状态应力第一不变量（2）应力主向设σ1与x轴的夹角为α1，σ1与坐标轴正向的方向余弦为l1、m1，则

设σ2与x轴的夹角为α2，σ2与坐标轴正向的方向余弦为l2、m2，则弹性力学应力主向的计算公式：（2-8）由得显然有表明：σ1与σ2互相垂直。结论任一点P，一定存在两

互相垂直的主应力σ1、σ2。（3）σN的主应力表示xyOsdxdydsPABN由σ1与σ2分别为最大和最小应力。弹性力学（4）最大、最小剪应力由显然，当时，τN为最大、最小值：由得，τmax、τmin的方向与σ1（σ2）成45°。xyOdxdydsPABNs弹性力学小结：（2-3）（2-4）（2-5）（2-6）（2-18）——庙平蜘面问嗽题的坦应力纲边界妖条件（1械）斜娘面上荒的应耐力弹敏性扎力游学（2-8）表明厕：σ1与σ2互相矛垂直裹。（2哀）一革点的铸主应京力、会应力召主向差、最乖大最老小应签力（2-7）τma性x、τmi毒n的方袋向与σ1（σ2）成4浅5°孤。弹灯性玩力间学§2煎-4蝴几何刘方程棉刚驳体位炒移建立脸：平历面问杂题中眯应变丘与位狠移的羞关系——引几攀何方感程1.护几遥何方竿程一点腐的变助形线段鼻的伸识长或住缩短纠；线段浇间的泻相对埋转动双；xyOP考察P点邻抄域内骡线段滩的变宣形：AdxBdyuv变形林前变形胃后PABuv注：辫这里茄略去句了二供阶以透上高暂阶无聪穷小龟量。弹男性文力习学xyOPAdxBdyuvPA的正议应变拾：PB的正技应变爬：P点的绪剪应跑变：P点两咏直角绪线段请夹角赛的变捷化弹漫性吴力箭学xyOPAdxBdyuv整理膊得：——骂几何山方程（2关-9碑）说明伐：（1溉）反映吧任一小点的创位移等与该果点应馋变间览的关维系，誉是弹涨性力田学的膝基本剖方程锻之一抹。（2像）当u、v

已知，则可完全确定；反之，已知，不能确定u、v。（∵仰积分陶需要照确定肝积分猎常数论，由诸边界纷条件梦决定猫。）（3疤）——许以础两线丽段夹南角减恭小为拖正，奏增大样为负言。弹岁性遥力叔学2.扫刚锤体位烧移物体予无变冠形，们只有疼刚体汪位移梢。锻即：(a止)(b恳)(c隐)由(怎a)腿、(绪b)油可求响得：(d嗽)将(群d)摔代入乐(c颠)，念得：或写你成：∵上滨式中日，左舒边仅滋为y的函葵数，椒右边革仅x的函勇数，葱∴两攀边只酬能等极于同彻一常畅数，借即(d旱)积分驾(e道)材，得美：(e每)其中铸，u0、v0为积肝分常方数。组（x、y方向奶的刚童体位砖移）樱，代责入（潮d）够得:(2钥-1兵0)——钻刚体看位移排表达井式弹墙性愤力阻学讨论掉：(2-10)——刚体位移表达式（1弯）仅有x方向怜平移裹。（2决）仅有y方向立平移恨。（3秘）xyOPyxr说明具：——啦P点沿字切向锁绕O点转响动ω——绕O点转狱过的谈角度终（刚劫性转恋动）弹塑性饰力负学§2裹-5睛斜方臭向的妹应变艘及位峡移1.丧斜薪方向罢的正尝应变εN问题沾：已知，求任意方向的线应变εN和线段夹角的变化。xyOP(x,y)N设P点的雀坐标睬为(x，y)，N点的充坐标洁为（x+dx，y+dy），PN的长选度为dr，PN的方追向余该弦为谈：于是PN在坐肯标轴统上的裤投影脆为：P1N1N点位垄移：变形认后的P1N1在坐惊标方卷向的专投影柄：设PN变形晋后的热长度P1N1=dr滑′，厘P碗N方向歉的应王变为εN，由应题变的角定义锈：vu弹佛性恋力智学两边管同除释以(dr)2，得化开六上式安，并赔将的二犯次项围略去堆，有xyOP(x,y)NvuP1N1dr弹平性魂力符学（2降-1喂1）2.驱P讯点两炉线段欢夹角病的改母变1xyOvuP(x,y)NP1N1变形礼前：PN的方垫向余议弦PN享′的方蠢向余童弦变形列后：P1N1的方巾向余浊弦P1N1′的方茫向余甘弦弹阀性渗力山学2.P点两线段夹角的改变xyOvuP(x,y)NP1N1变形前：PN的方向余弦PN′的方向余弦变形后：P1N1

的方向余弦P1N1′的方向余弦利用：化简切，得卖：略去默二阶介小量芹；弹骡性川力览学2.P点两线段夹角的改变xyOvuP(x,y)NP1N1变形前：PN

的方向余弦PN′

的方向余弦变形后：P1N1

的方向余弦P1N1′

的方向余弦同理项，得兰：PN与PN′变舰形后瓣的夹产角改痰变为穴：代入药，并俘利用绒：并略陕去高框阶小暴量，崭有弹核性持力福学2.P点两线段夹角的改变xyOvuP(x,y)NP1N1变形前：PN的方向余弦PN′的方向余弦变形后：P1N1

的方向余弦P1N1′的方向余弦PN与PN′变形后的夹角改变为：（2甘-1命2）从中贪求出突变形王后两增线段转间的府夹角进一絮步求卧出3.扰斜层方向谋应变篮公式届的应谈用弹洽性买力活学3.缘瑞斜酒方向裤应变泊公式翠的应搬用（1护）已知一点的应变，可计算任意方向的应变。的最大值、最小值。主应变、主应变方向等。（2兵）已知一点任意三方向的应变，可求得该点的应变分量。xy45°若察用45府°应变迷花测坡构件金表面帽应变钱：弹霸性逝力醒学若童用12归0°应变亡花测溪构件逝表面口应变杏，即胶：xy求得葡该点得的应据变分依量:作为魄作业栽！弹占性利力稍学§2抛-6彩物理偿方程建立艺：平面村问题番中应惧力与设应变狐的关担系物理房诚方程碰也称安：本巧构方波程、并本构懒关系敌、物象性方材程。1.呀各音向同隆性弹肺性体架的物筒理方题程在完裙全弹厉性和作各向户同性妙的情讨况下分，物权性方护程即愤为材头料力炭学中唱的广义模虎克肉（H牺oo聚ke武）定诉律。（2请-1坛3）其中野：E为拉聚压弹前性模梯量；G为剪末切弹镇性模戚量；μ为侧决向收态缩系候数，副又称染泊松绑比。弹佳性葡力慕学（1锻）平僚面应吃力问须题的傻物理住方程由于晨平面窜应力坏问题中（2熊-1恨5）——平面皆应力坑问题渐的物慕理方斧程注：(1拼)(2拍)——近物心理方叙程的乏另一掠形式弹紫性畏力逐学（2漆）平口面应薯变问包题的降物理物方程由于恳平面风应变园问题中（2魂-1柳6）——平面铸应变居问题痰的物间理方创程注：(2阻)平面溪应变伤问题蛇物随理方牙程的垫另一随形式特：由式边（2听-1烂3）脸第三投式，窑得（2-13）(1)平面应变问题中，但？弹岂性项力添学（3粪）两朴类平烤面问还题物里理方标程的崭转换搅：（2-16）——平面应变问题的物理方程——平面应力问题的物理方程（2-15）(1身)平面膨应力题问题平面捐应变腹问题材料留常数浸的转粥换为半：(2障)平面查应变新问题平面桶应力鼻问题材料乏常数未的转旦换为她：弹汇性鸟力罗学§2宿-7跪边界汇条件1.拐弹灭性力扶学平蚕面问收题的辰基本裤方程（1骂）平赛衡方钳程：（2盲-2尘）（2支）几院何方论程：（2茶-9森）（3狱）物窝理方挥程：（2-15）未知危量数虎：8个方程伏数：8个结论覆：在适膀当的予边界烧条件寻下，智上述码8个六方程颜可解创。弹罗性絮力迫学2.岸边夹界条宾件及拾其分母类边界黄条件刑：建立掘边界屯上的抖物理悼量与碗内部旧物理略量间毯的关疮系。xyOqP是力滔学计火算模注型建粘立的偷重要意环节胶。边界售分类（1锄）位屠移边司界（2疮）应茄力边灾界（3星）混赞合边营界——三类私边界（1氏）位飘移边兼界条妇件位移体分量歌已知吸的边钥界史——筛位桌移边皮界用us

、

vs表示边界上的位移分量，表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：（2择-1元7）——平面筝问题古的位暂移边用界条才件说明膝：称为乎固定公位移触边界敞。弹垄性均力亮学xyOqP（2掩）应误力边件界条辜件给定面力分量边界——应力边界xyOdxdydsPABXNYNN由前责面斜都面的故应力搬分析里，得式中付取：得到珠：（2苦-1窗8）式中盈：l、m为边捕界外疮法线援关于x、y轴的孩方向坚余弦票。如寻：——平面中问题即的应糟力边陆界条需件垂直x轴的愚边界挎：垂直y轴的棋边界即：弹孙性表力集学例1如图达所示盒，试贿写出切其边凉界条篮件。xyahhq(1僚)(2旦)(3乐)(4没)说明昨：x=博0症的边械界条捧件，镜是有钉矛盾稿的。翅由此湿只能离求出怒结果陷：弹爆性窑力泽学第二写章内踢容回交顾：1.两类里平面耽问题闹：平面齐应力通问题平面曲应变桑问题几何谦特征升;受力膊特征送;应力特征辩。几何远特征柳;受力纤特征日;应变特征妥。xyyztba水坝滚柱弹渔性忽力朽学——沿位移洞边界典条件2.平面主问题戏的基忙本方碌程：（1资）平室衡方揭程：（2桑-2训）（2徐）几丹何方坚程：（2滤-9箭）（3判）物得理方伐程：（2-15）（4陵）边葱界条咳件：（1跟）（2狱）——胡应力稳边界杨条件——唤平面伏应力棒问题弹砌性包力等学例2如图尘所示依，试强写出著其边薪界条揭件。(1鼻)ABCxyhp(x)p0lAB段（y=0）：代入记边界絮条件误公式娘，有(2头)BC段（x=l）：(3旷)AC段（y=xta舒nβ）:N弹攀性旱力忙学例3图示光水坝姐，试唱写出江其边鲜界条寄件。左侧敢面：由应汇力边大界条料件公盏式，催有右侧滋面：弹半性芳力衫学例4图示弹薄板渣，在y方向估受均掌匀拉斩力作朗用，扎证明肢在板篮中间尿突出勉部分鲜的尖葛点A处无抛应力谱存在讯。解：——平面河应力抵问题碗，在AC、AB边界素上无厌面力为作用搁。即AB边界齐：由应森力边校界条池件公蠢式，两有（1泡）AC边界尝：代入勇应力烧边界满条件点公式猫，有（2窝）∵A点同阴处于AB和AC的边冠界，蜘∴满轿足式星（1靠）和霸（2疾），参解得∴A点处渗无应怜力作舍用弹盲性闻力何学例5图示率楔形跳体，良试写柿出其竖边界格条件时。图示棚构件狸，试指写出及其边超界条沃件。例6弹膛性霸力宪学例5图示台楔形榜体，滚试写朱出其饼边界费条件纯。上侧抄：下侧称：弹希性谱力宾学图示郑构件节，试慌写出酱其应氏力边枣界条抽件。例6上侧基：下侧电：N弹纺性摧力挖学（3絮）混谷合边卡界条恳件(1宣)物体伍上的垂一部修分边渗界为干位移察边界亏，另早一部逝为应崖力边莲界。(2禽)物体摇的同脚一部稿分边咱界上缝，其抹中一防个为臣位移愤边界裂条件吗，另膀一为赶应力跳边界仔条件丢。如土：图(a叼)：——阴位贱移边竖界条爸件——半应陵力边甲界条念件图(b纲)：——苍位湿移边逮界条亚件——楼应离力边葵界条翁件弹丹性涉力罗学平面丝式问题您的基茫本方筝程1.绍平庸衡微揭分方环程（2鞠-2翁）2.洪几何院方程（2娘-9保）3.忌物理健方程（平原面应飘力问瓜题）（2-15）4.泡边界敞条件位移体：（2-17）应力够：（2乌-1长8）弹箩性大力隐学§2众-8芒圣评维南护原理问题废的提张出：PPP求解蹲弹性眨力学小问题环时，遵使应愧力分据量、悔形变盗分量超、位吸移分底量完呼全满晓足8察个基祥本方陶程相物对容光易，拒但要届使边唐界条狠件完福全满刮足，尘往往如很困犁难。如图驼所示忍，其资力的判作用绩点处铸的边赛界条贫件无毕法列夏写。1.帜静烘力等轨效的护概念两个燃力系窄，若因它们旺的主提矢量痰、主饱矩相事等，乱则两唐个力差系为问静力顶等效觉力系反。这种店等效粘只是谢从平得衡的板观点处而言市的，搭对刚山体来搁而言馒完全笑正确找，但伯对变秩形体福而言慢一般萄是不暖等效贷的。弹煎性涉力双学2.圣维奥南原陈理(S拜ai迷nt剃-V朽en蚂an秒t升Pr足in狭ci胜pl圣e)原理杠：若把纸物体最的一售小部颤分边忙界上致的面叠力，南变换标为分直布不类同但拳静力亮等效闷的面裹力，铲则近腹处的书应力蓬分布死将有圣显著周改变容，而矮远处丙所受均的影双响可屿忽略锦不计呜。PPPP/2P/2弹夸性倚力涝学3.圣维醒南原诸理的作应用(1篇)对复杂漂的力茄边界，用碧静力英等效位的分伟布面尸力代抛替。(2竟)有些位移就边界不易惕满足灯时，满也可物用静乞力等效效的厦分布谜面力霞代替逐。注意眠事项惠：(1逐)必须淹满足静力喂等效条件格；(2绣)只能爱在次要六边界弄上用圣件维南巴原理运，在主要丈边界上不逃能使什用。如：AB主要边界P次要边界弹刷性筐力萌学例7图示熟矩形滋截面岂水坝磨，其抛右侧阶受静秆水压狐力，残顶部遍受集值中力衬作用候。试溜写出键水坝病的应盼力边嫌界条睡件。左侧扰面：代入组应力绞边界内条件筐公式右侧乱面：代入筐应力拒边界倡条件爬公式田，有上端聚面：为次唱要边乓界，铅可由茂圣维巩南原数理求赖解。y方向吴力等畜效：对O点的木力矩牵等效带：x方向巡寿力等屋效：注意砖：必须侍按正减向假甘设！弹马性猎力败学xy上端勤面：（方膝法2岩）取图花示微倚元体夫，可见露，与葬前面朴结果犯相同警。注意：必须按正向假设！由微毅元体集的平鉴衡求笛得，弹差性食力庭学§2抽-9屈按罪位移股求解机平面书问题1.弹性吹力学驴平面径问题侮的基血本方塔程（1士）平沸衡方啦程：（2厚-2苹）（2叨）几图何方沃程：（2迅-9羽）（3肠）物醒理方满程：（2-15）（4闭）边盈界条甩件：（1乏）（2勿）弹邀性帜力免学2.弹性为力学评问题低的求扯解方负法（1扮）按植位移孤求解殿（位宝移法蜻、刚续度法调）以u、v为基牛本未伙知函沃数，侮将平耽衡方黎程和瞒边界百条件惧都用u、v表示跟，并者求出u、v，再由兆几何估方程私、物赌理方哗程求劈燕出应器力与删形变四分量剧。（2划）按醋应力皮求解朝（力决法，条柔度攀法）以应力表分量为基袋本未丧知函恼数，威将所最有方切程都赴用应力关分量表示症，并汇求出应力易分量针，再由劝几何毁方程仿、物瘦理方本程求开出形赞变分雾量与能位移帮。（3见）混竹合求摄解以部鹊分位移萝分量和部饭分应力擦分量为基妙本未述知函冰数，腥将，争并求哲出这般些未雀知量，再求刷出其愚余未州知量舒。弹都性身力进学3.按位充移求秩解平步面问仿题的火基本占方程（1秤）将宏平衡披方程泄用位受移表遮示由应夫变表配示的愚物理劈燕方程将几剥何方尖程代跌入，骂有（2夏-1辆9）（a参）将式豆(a罢)代饥入平仰衡方雾程，窄化简说有（2听-2每0）弹尺性深力滨学（2星）将勺边界勺条件灶用位挨移表厉示位移黑边界场条件趋：应力宗边界屠条件健：（a）将式谢（a阶）代控入，情得（2怕-2星1）（2帐-1盏7）式（形2-朱20庆）、冲（2冒-1师7）城、（碌2-青21祸）构仁成按捎位移态求解旨问题艘的基巷本方茫程说明稍：（1拌）对制平面袜应变裹问题奏，只冬需将积式中债的E、泛μ作相普替换却即可质。（2证）一课般不播用于医解析雄求解富，作虑为数惕值求错解的筒基本淹方程控。弹栽性氧力山学（3截）按执位移等求解捉平面副问题视的基迫本方支程（1逼）平院衡方碗程：（2农-2桥0）（2揭）边达界条鼻件：位移总边界鸭条件付：（2昆-1吸7）应力英边界融条件诉：（2状-2煮1）弹架性养力臣学§2象-1孔0灰按应墨力求静解平柱面问趋题辈相容煌方程1.变形婆协调鉴方程废（相戒容方击程）按应挠力求让解平氏面问护题的城未知挺函数桥：（2蔽-2布）平衡聋微分递方程踩：2个点方程袄方程丹，3途个未狭知量链，为存超静屿定问金题。需寻也求补鞭充方梢程，从形恐变、依形变与赞应力卸的关搜系建糠立补漆充方新程。将几聚何方描程：（2末-9蚂）作如念下运加算：弹编性倦力魄学显然未有：（2苗-2巡寿2）——份形形变协仔调方德程（问或相进容方移程）即：必须满足上式才能保证位移分量u、v的存在与协调，才能求得这些位移分量。例：其中逮：C父为常课数。由几庭何方这程得森：积分伴得：由几尖何方凶程的劫第三扮式得脸：显然屿，此床方程上是不锁可能估的，恨因而变不可贤能求域出满扛足几汉何方装程的借解。弹颈性列力连学2.变形订协调盯方程耳的应攀力表饱示（1给）平祝面应顶力情肠形将物夕理方呀程代捡入相砍容方写程，叨得：（2-22）利用祖平衡朗方程纯将上旦述化短简：（2-15）（2-2）（a宗）将上祝述两创边相勇加：（b狸）弹著性罪力违学将路(b延)巴代入棍(坛a)战，谨得：将太上式脖整理充得：（2去-2劝3）应力草表示灾的相沟容方诉程（2侦）平扎面应侦变情眯形将上式中的泊松比μ代为：，得（2胜-2滤4）（平猫面应蛙力情忠形）应力拍表示笼的相屡容方冷程（平熔面应愿变情请形）注意请：当体笛力X、Y为常甜数时辞，两尽种平龙面问谢题的携相容劈燕方程西相同蚊，即（2辣-2畏5）弹驳性肤力劈燕学3.按应刃力求内解平流面问袍题的满基本井方程（1量）平搭衡方案程（2-2）（2猜）相附容方爆程（也形变音协调揪方程胆）（2-23）（3居）边积界条乔件：（2-18）（平泼面应牙力情忧形）说明往：（1激）对池位移奶边界台问题淋，不膊易按地应力陡求解将。（2匀）对寺应力从边界鸡问题顷，且膝为单叉连通忽问题岭，满饲足上降述方怕程的凭解是析唯一锈正确洒解。（3弱）对勉多连笨通问守题，蚁满足筹上述吨方程零外，译还需雕满足糊位移呢单值钥条件示，才非是唯释一正灾确解昨。弹鹅性辅力露学例8下面休给出里平面脱应力考问题碗（单乘连通脊域）舍的应香力场僻和应拴变场阁，试纹分别津判断提它们键是否咽为可精能的柜应力任场与梢应变倦场（绒不计胳体力主）。（1益）（2贯）解（a堵）（b井）（1靠）将式歉（a斜）代央入平境衡方贵程：（2-2）——非满足将式傍（a春）代袖入相氧容方恰程：∴吓式（屯a）毫不是但一组舒可能冰的应数力场芽。弹删性糕力阅学例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）（a）（b）（2凉）解将式异（b财）代寺入应惜变表硬示的晴相容港方程号：式（吵b）恨满足蛛相容傲方程历，∴虎（b辆）为俱可能证的应还变分昏量。弹懒性型力色学式（衡a）红满足长相容流方程德。再验泪证，程式（孝a）锡是否土满足哲边界絮条件缴？——男满询足——午满足——咳近似录满足近似满满足结论结：式饱（a六）为尸正确怨解代入熟相容弃方程锹：上、场下侧酸边界逮：右侧霞边界丑：左侧俊边界屡：弹脊性汗力院学§2膛-1别1膊常体炭力情班况下苍的简师化1.常体板力下滨平面晒问题连的相狸容方悦程令：——会拉零普拉支斯（佣La绑pl勾ac认e）毫算子则相沙容方水程可龄表示爸为：——伙平链面应踩力情渔形——卵平已面应灯变情虎形当体没力X、Y为常间数时哈，两铃种平闹面问嘱题的披相容肉方程塔相同柳，即或（2训-2颂5）弹贤性址力递学2.常体陡力下篮平面值问题晨的基涨本方和程（1赏）平珍衡方帖程（2-2）（2毙）相撒容方滴程（政形变茂协调篮方程庆）（3锄）边视界条裕件（2-18）（4帐）位讲移单值值条铲件——事对斥多连有通问专题而钟言。讨论毕：（1赚）——剂L娇ap目la畜ce剧方程鲁，或称闯调和塑方程犹。（2俘）常体明力下速，方差程中躺不含E、μ（a护）两种平面问题，计算结果相同）不同。（但（b塑）不同焦材料葵，具摧有相狮同外充力和持边界蛛条件己时，谎其计旗算结闷果相验同。——绪光殊弹性捉实验何原理须。（3论）用平蔽面应言力试拖验模傅型，爬代替芽平面守应变弟试验琴模型急，为搭实验青应力蝇分析巡寿提供占理论伙基础劲。满足：的函数称为调和函数（解析函数）。弹辉性孤力弹学3.常体荐力下头体力哨与面傲力的助变换平衡践方程则:相容弓方程律:边界仔条件辩:令：常体力下，满足的方程：(a婆)将式抓(b阳)代削入平暂衡方斜程、神相容危方程头、边奴界条援件，秋有(b躺)(c童)弹羡性林力出学(c)表明呢：（1瓦）变兆换后恋的平芦衡方担程、筛相容怎方程漠均为叛齐次牌方程丸（容扫易求只解）林；（2午）变贵换后匹问题络的边脂界面李力改晋变为非：结论呆：当体力X=常数，Y=常数时，可先求解无体力而面力为：问题的解：，而原问题的解为：弹暴性第力匆学xyxy例如亿：pFABCDEhh(a)图示家深梁传在重妹力作慎用下俯的应霞力分炸析。原问扶题：体力蚀：边界倒面力恒：所求志应力咸：ABCFDEhh(b)ph2ph变换投后的阀问题资：体力宁：边界岗面力炸：(1瞎)粪当y=除0袄时，(2岗)缎当y=–h时，(3样)幼当y=–2h时，所求坟得的丝式应力庆：原问偶题的帽应力弹螺性艳力意学常体虽力下民体力圈与面汪力转巷换的年优点猛（好只处）直：原问修题的辽求解减方程变换耗后问家题的送求解凳方程常体堤力问盾题无体攻力问廉题作用如：(1狭)方便范分析冬计算盈（齐段次方瞎程易滑求解宰）。(2着)实验测测试剑时，吨一般物体力行不易塘施加就，可右用加呼面力妖的方忧法替削代加突体力侧。注意免：面力变换公式：与坐标系的选取有关，因此扮，适翼当选吹取坐堆标系盒，可雪使面遥力表洲达式烛简单驾。弹歌性垂力昨学本章丢前面色主要慈内容出回顾往：1.两类平面问题：平面应力问题平面应变问题几何特征;受力特征;应力特征。几何特征;受力特征;应变特征。xyyztba水坝滚柱弹猛性书力部学2.平面问题的基本方程：（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：（2-9）——位移边界条件（4）边界条件：（1）（2）——应力边界条件（3）物理方程：（2-15）——平面应力问题弹植性德力拐学3.平面问题一点的应力、应变分析(b)主应力与应力主向（2-7）（2-8）(c)最大、最小剪应力及其方向τmax、τmin的方向与σ1（σ2）成45°。(a)任意斜面上应力或弹背性近力捞学4.圣维南原理的应用（d）任意斜方向的线应变（2-11）（e）一点任意两线段夹角的改变（2-12）若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。注意事项：(1)必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。P次要边界弹油性茄力奋学5.平面问题的求解方法：（2-17）——位移边界条件（2-21）——应力边界条件（1弹）按尖位移漫求解酸基本吃方程（2-20）——平衡方程弹错性恢力拐学（2馒）按高应力局求解叉平面市问题扒的基窄本方雀程（2-22）——形变协调方程（或相容方程）相容碑方程（2-23）（平面应力情形）应力扣表示绞的相优容方副程（2-24）（平面应变情形）（2-25）（体力X、Y为常数情形）弹践性策力科学（1）平衡方程（2-2）（3）边界条件：（2-18）（2）相容方程（形变协调方程）（2-23）（平面应力情形）按应樱力求心解的武基本扒方程常体寒力下造可以帜简化羽：求解爬方法妥？（两种平面问题形式相同）（1）体力X、Y转化为面力处理。（2）弹朱性钉力舰学§2瞧-1边2典应力蝴函数怪逆解杆法与怕半逆饮解法常体奴力下逝问题层的基拖本方针程：边界造条件隔、位羽移单粪值条摇件。(a蜜)(b禁)式(a夫)为非钢齐次完方程孤，其旅解：全解=旗齐次承方程通解1.平衡坏微分彼方程绣解的烘形式(1窃)装特揪解常体趴力下喇特解弦形式蚂：+非辈齐次搜方程段的特解。(1照)(2略)(3浙)(2矮)筐通罢解式(a剑)的齐沾次方恨程：(c辉)(d侍)的通澡解。弹鄙性喊力辈学将式匙(d委)第捏一式茄改写漫为由微相分方慈程理柳论，咏必存表在一淡函数A(x,y)，使滑得(e彩)(f址)同理传，将折式(碗d)特第二接式改罢写为(g仇)(h订)比较剩式(f)与孕(h)，抓有也必岩存在望一函堂数B(x,y)，使客得(2)通解式(a)的齐次方程：(d)的通解。由微射分方雄程理场论，挣必存衬在一亚函数φ(x,y)，使蔑得弹薯性遇力品学(i讨)(j乘)将式杰(i摘)、誉(j脑)矛代入价(e描)、姥(f和)、把(g须)、串(h箭)，溜得通解同理，将式(d)第二式改写为(g)(h)比较式(f)与(h)，有也必存在一函数B(x,y)，使得由微分方程理论，必存在一函数φ(x,y)，使得(k自)弹沫性厌力偿学(2)通解式(a)的齐次方程：(d)的通解：(k)——黄对应洪于平以衡微耐分方推程的嚼齐次绣方程损通解南。(3变)氏全匪解取特役解为圣：则其防全解地为：(2欲-2煤6)——常体汽力下煮平衡硬方程说（a或）的摩全解希。由式司（2薯-2尊6）难看：剩不管φ(x,y)是什传么函汤数，彼都能跨满足逃平衡运方程义。φ(x,y)汽—盏—萝平面仪问题殖的应默力函宪数——患Ai脊ry烘应力谋函数弹威性弱力拣学2.相容抖方程睛的应拜力函伟数表畜示(2-26)将式更（2偷-2肿6）钢代入倒常体镜力下找的相取容方鸡程：(2逆-2晨5)有：注意舒到体野力X、Y为常壁量，黎有将上蜜式展苦开，型有(2些-2茫7)——应力露函数葛表示崖的相腐容方枝程给出迹了应适力函盗数满菌足的贴条件排。弹竭性形力宴学2.相容方程的应力函数表示将式（2-26）代入常体力下的相容方程：(2-25)有：注意到体力X、Y为常量，有将上式展开，有(2-27)——应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。式（身2-生27花）可帐简记课为：或：式中土：满足呼方程孤(2刺-2炮7)屡的函迈数φ(x,y)讯称为碗重调和和函症数（绞或双碎调和绕函数桑）结论华：应力复函数φ应为暮一重背调和航函数弹墓性佩力嚷学按应粘力求紧解平未面问等题（X=素常量孝、Y=卷常量军）的趁归结须为：（1室）(2竭-2画7)（2防）然后将代入式（2-26）求出应力分量：先由方程（2-27）求出应力函数：(2隔-2龟6)（3虹）再让满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。3.应力函数求解方法(2志-2诞8)（无四体力浓情形世）弹唱性蛾力拆学3.应力函数求解方法（1欧）逆解演法（2）半逆解法（1学）根据民问题扩的条窜件（几炊何形然状、立受力达特点材、边员界条韵件等心），假设追各种商满足月相容恼方程绪（