mxt0-经典高中数学-映射

映射【基础知识精讲】对应对应与会合同样，也是数学中的原始观点.我们知道，实数与数轴上的点，坐标平面内的点与有序实数对之间都拥有对应关系，一个人与他的姓名，某一学生与他的座位，也能够看作对应.对应是两个会合A与B之间的某种关系.对于A中每一个元素有以下三种关系.(1)B中有唯一元素与之对应.(2)B中有不止一个元素与之对应.(3)B中没有元素与之对应.同样，对于B中的每一个元素而言，也有以下三种情况：(4)A中唯一元素与之对应.(5)A中有不止一个元素与之对应.(6)A中没有元素与之对应.对一般的对应而言，这些情况都是可能发生的.2.映射映射是一种特殊的对应，学习这一观点时，应注意以下几点：映射f：A→B是由会合A、B以及从A到B的对应法例f所确定.映射f:A→B中的两个会合A、B能够是数集，也能够是点集或其他会合.再者，会合A、B能够是同一个会合.会合A到会合B的映射f:A→B与会合B到会合A的映射f：B→A一般说来是不同的.换言之，映射波及的两个会合有先后序次.映射f:A→B之下，会合A中的任一元素在会合B中都有象，且象是唯一的(简括之：“都有象；象唯一”).这是映射观点的实质.给定映射f:A→B，会合中B中的元素在会合A中可能有一个原象，可能有两个或多个原象，也可能没有原象.因此，象会合(即由全体象组成的会合)是B的子集，可记为｛f(a)｜a∈A｝B3.一一映射一般地，设A、B是两个会合，f:A→B是会合A到会合B的映射，如果在这个映射下，对于会合A中的不同元素，在会合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射.定义中有两个特点：对于会合A中的不同元素，在会合B中不同的象，也就是说不允许“多对一”.会合B中的每一个元素都是会合A的某个元素的象，也就是说，会合B中的每个元素都有原象，B中不允许有节余的元素.【重点难点解析】对于映射.对映射f:A→B的理解，要抓住以下三点：会合A、B及对应法例f是确定的，是一个整体，是一个系统；对应法例是f拥有方向性，即强调从会合A到会合B的对应，它与会合B到会合A的对应关系是不同的；对于A中的任一元素a，在B中有唯一元素b与之对应，其要害在“任一”、“唯一”两词之上.2.一一映射有两个特点：对于会合A中的不同元素，在会合B中有不同的象(即不可“多对一”)；会合B中的每一个元素都是会合A中的某个元素的象，即会合B中的每个元素都有原象(亦即不可“B中剩”)例1下列对应是不是从A到B的映射?(1)A＝Q，B＝Q+，f：x→｜x｜.(2)A＝B＝N*，f:x→｜x-2｜.(3)A＝｛x∈N｜x≥2｝，B＝｛y∈Z｜y≥0｝，f:x→y＝x2-2x+1.(4)A＝｛x｜x∈(0，+∞)｝，B＝｛y｜y∈R｝，f:x→y＝±x.解：(1)中，当x＝0∈A时，｜x｜＝0B，即A中的元素0在B中没有象，故(1)不是映射.中，当x＝2∈A时，｜x-2｜＝0B，与(1)近似，(2)也不是映射.中，因为y＝(x-1)2≥0，所以对随意x，总有y≥0；又当x∈N时，x3-2x+1必为整数，即y∈Z.所以当x∈A时，x2-2x+1∈B，且对A中每一个元素x，在B中都有唯一的y与之对应，故(3)是映射.中，任一个x都有两个y与之对应，故不是映射.评析判断某对应是否为映射，严格按照映射定义中所要求的条件进行判断.例2若A＝｛（x,y）｜x∈Z，｜x｜＜2，y∈N，x+y＜3｝，B＝｛0，1，2｝，从A到B的对应关系f(x,y)→x+y，说明f是A到B的映射，并画出对应图，指出2的原象是什么?解：知足条件的会合A中的元素共有六个，用列举法表示为｛（-1，2），(-1，3)，(-1，1)，(0，1)，(0，2)，(1，1)｝.对应图为下列图.∵会合A中的每一元素，会合B中都有唯一的元素与它对应，所以f能组成一个映射.2的原象为(-1，3)，(0，2)，(1，1).例3(1)已知会合A＝｛a1,a2｝，B＝｛b1,b2｝，试问从会合A到会合B的所有不同的映射有多少种?(2)已知会合A＝｛a1,a2｝，B＝｛b1,b2，b3｝，试问从会合A到会合B的所有不同的映射有多少种?剖析当所给会合中的元素数目不大时，可直接用图示的方法展现所有不同的映射；若不然，可采用剖析的方法解之.解：(1)用图示的方法能够清楚地看到从A到B能成立4种不同的映射(见下列图)分A中元素对应B中同一元素和A中元素对应B中不同元素两种情形考虑.A中2个元素对应B中相同元素的对应有3个，这时有3种不同的映射；A中2个元素同时对应B中2个不同的元素的对应有6个，这时有6种不同的映射.所以，会合A到会合B的所有不同的映射一共有9种.评析若会合A有m个元素，会合B有n个元素，则A到B的一切可能的映射共有nm种.【难解巧解点拨】例1已知会合A＝｛1,2,3,a｝，B＝｛4,7,b4,b2+3b｝，其中a∈N*，b∈N*.若x∈A，y∈B，映射f:A→B使B中元素y＝3x+1和A中元素x对应.求a和b的值.剖析利用原象与象的关系，成立对于a和b的方程组.解：∵A中元素x对应B中元素y=3x+1，∴A中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10.42又b∈N*，2∴b+3b-10=0，解之，得b=2.4∵a的象是b=16，∴3a+1＝16，解之，得a=5.评析正确理解映射的观点，合理办理字母问题是求解此题之关42键.如果将题设中的会合B换成｛4,7,13,b,b+3b｝，那么请问a的值例2判断下列映射是不是从A到B的一一映射，并说明原因.(1)A＝｛矩形｝，B＝R，对应法例f为矩形到它的面积的对应.(2)A＝R，B＝R，对应法例f:x→y＝kx+b(k≠0).1x(3)A＝｛x｜x∈R，且x≠1｝，B＝R，对应法例f:x→y＝1x.(4)A＝R，B＝｛y｜y≥0｝，对应法例f:x→y＝x2.剖析一一映射是一种特殊的映射.特殊在哪里?解：(1)这个映射不是一一映射，因为负实数和零没有原象.根据一一映射的定义，所给映射是一一映射.这个映射不是一一映射，因为B中的元素-1，在A中没有原象.这个映射不是一一映射，因为对于A中的两个不同元素a和-a(a≠0)，在B中有相同的象a2.评析映射f:A→B加上两个条件：①A中不同的元素在B中有不同的象，②B中任何一个元素都有原象，便形成A到B上的一一映射.例3已知会合A＝｛x｜x≥1｝，B＝｛x｜x＞1｝，试成立一个A到B上的一一映射.剖析此题的困难在于会合A比会合B“多”了一个元素“1”.为打破这个难点，我们不妨先考虑特殊情况.解：考虑两种特殊情况.若A中元素xN*，则令x→y＝x；若A中元素x∈N*，则可令x→y＝x+1.因此，A到B上的一个一一映射为：评析从剖析到求解是一个先退后进，以退求进的过程，同时也是分解与组合的过程.(2)中用到了无限会合的性质，这是此题求解的又一个重点.【命题趋势剖析】自1999年以来1999年、2000年两年连续考察相关映射的问题，对此应予以关注.2.映射作为函数的基础，而函数是历届高考取十分重要的一个内容，因此映射的学习必须仔细.3.映射知识能够和会合、方程相联系，随着学习内容的增多还能够与排列、组合知识相联合.同时它能够与整式、分式、指数式、对数式、三角式等运算相联系.【典型热点考题】例1设会合A和B都是自然数会合N，映射f:A→B把会合A中的元素n映射到会合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是()A.2

B.3

C.4

D.5剖析此题主要考察映射的观点，同时考察了运算能力.因为n2+n=20，用n=2，3或4,5逐个代入，清除A、B、D，得出正确答案.∴选C.例2设会合A和B都是坐标平面上的点集｛(x,y)｜x∈R，y∈R｝，映射f:A→B使会合A中的元素(x,y)映射成会合B中的元素(x+y,x-y)，则在映射f下象(2，1)的原象是()3131A.(3，1)B.(2，2)C.(2，-2)D.(1，3)xy2解：此题主要考察映射的观点及解方程的思想.由xy1得3x21y2.∴选B.例3已知映射f:A→B，其中会合A＝｛-3,-2,-1,1,2,3,4｝，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且对随意的a∈A，在B中和它对应的元素是｜a｜，则会合B中的元素的个数是()A.4B.5C.6D.7剖析此题主要考察映射的观点，同时考察了会合的观点.在映射f:a→｜a｜下，A中各元素的象分别是3，2，1，1，2，3，4，同会合表示为｛1,2,3,4｝，即为所求的会合.∴选A.例4已知四个从会合A到会合B的对应(如下列图)，那么会合A到会合B的映射是()A.④B.①④C.②④D.③④剖析映射是一种特殊的对应，特殊性表现在哪里?解：在②中，A中的元素a2与B中的两个元素b2、b3对应(“象不唯一”)；在③中，A中的元素a2在B中没有元素与它对应(“没有象”)，故②和③都不是会合A到会合B的映射.根据映射的定义，①和④是会合A到会合B的映射.选B.评析映射的对应特殊征除含有两个会合和一个对应法例外，还有从会合A到会合B的“一对一”(比如④)与“多对一”(比如①)这两种特殊对应.【同步达纲练习】选择题下列对应不是A到B的映射是()若(x,y)在映射f下的象是(x-y,x+y)，则在f的作用下象(1，-3)的原象是()A.(4，-1)B.(-1，-2)C.(-1，-1)D.(4，-2)在映射f:A→B中，下列说法中不正确的说法为()①会合B中的任一元素，在会合A中起码有一个元素与它相对应；②会合B中起码存在一元素在会合A中无原象；③会合B中可能有元素在会合A中无原象；④会合B中可能有元素在会合A中的原象不至一个.A.①②B.②③C.③④

D.①④设A是坐标平面上所有点所组成的会合，如果由A到它自己的一一映射A.(-5

f，(x,y)→(y-1，x+2)，那么象(3，-4)的原象是()，5)B.(4，-6)C.(2，-2)D.(-6，4)在下列对应中，是A到B的映射的有m个，一一映射的有n个.①A＝｛x｜x∈N｝，B＝｛-1,1｝，对应法例f:x→(-1)x；②A＝｛x｜x∈R｝，B＝｛y｜y∈R+｝，对应法例f:x→y＝｜x｜；③A＝｛x｜x∈N｝，B＝｛y｜y∈R｝，对应法例f:x→y＝x；④A＝｛x｜x≥2｝，B＝｛y｜y≤2｝，对应法例f:x→y＝-x2+2x+2；x1⑤A＝｛x｜x∈R｝，B＝｛y｜y∈R｝，对应法例f:x→y＝x1.则m、n的值分别为()A.2、0B.2、1C.3、1D.3、2下列图表示的是从会合X到会合Y的对应，其中能组成映射的是()填空题(1)从会合

A＝｛1，2｝到

B＝｛a,b｝的映射

f

个数为

，一一映射个数为

.(2)已知映射

f:(x,y)

→（

x-y,x+y

），则

(-2

，

10)

的原象是

.从会合A＝｛1,2,3｝到B＝｛a,b,c｝的一一映射f的个数为.设A到B的映射为f1：x→u＝3x-2，B到C的映射为f2：u→y＝u2-4，则A到C的映射f3是.解答题9已知A＝R，B＝｛y｜y≥2｝，f:x→y＝x2+x+4.f:A→B是不是从会合A到会合B的映射?是否是一一映射?②若f:A→B不是A到B的一一映射，怎样改变条件，能使其成为一一映射?【素质优化训练】1.记会合A＝｛(x,y)｜x+y≤2，x≥0，y≥0，x,y∈Z｝，B＝｛0,1,2｝，从A到B的对应关系f:(x,y)→x+y，试问f是不是从A到B的映射，为什么?会合A，B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A→B的映射f:(x,y)→(x2+y2,xy)，求象(5，2)的原象.1已知会合A到会合B＝｛0，1，2，3｝的映射f:x→x1，则会合A中的元素最多有几个?写出元素最多时的会合A.【生活实际运用】在本埠投寄平信，每封信不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g付邮费1.60元，依次类推，每增加20g须增加邮费0.80元(信的质量在100g以内).如果某人所寄一封信的质量为72.5g，那么他应付邮费()A.2.4元B.2.8元C.3元D.3.2元某物体一天中的温度T是时间t的函数：T(t