工程力学之应力应变

应力应变分析本章研究一点处的应力状态应力和应变是变形体力学中非常重要的概念。主要内容如下：应力应变分析§11.1一点处的应力状态§11.2应力张量的表示方法§11.3平面应力状态§11.4应力圆§11.5三向应力状态§11.6应变状态(与平面应力状态对应的)§11.7应力应变关系§11.1一点处的应力状态内力是截面上的分布内力的等效力系载荷集度称为上的平均应力将分解为与法向和切向的力，内力与应力的概念则称为正应力（法向应力）

称为剪应力（切应力）M点在截面上的正应力M点在截面上的剪应力应力的量纲一点处所有各方位截面上的应力的集合称为该点的应力状态，一点处的应力与其集度以及的法向相关,因此可用两个并在一起的矢量表示,并且在不同的坐标系中满足一点的坐标转换关系，这在数学上成为张量，描述应力的张量称为应力张量§11.2应力张量的表示方法取一包围该点的微元体（单元体）其各棱边相互垂直，各棱边的长分别为或由于单元体很小其上的应力可看作均匀分布各面上的应力可用3*3的矩阵表示（i,j=1,2,3）应力分量,应力张量。按上述约定假设应力的方向对正应力，则是拉应力为正。考虑单元体力矩对轴的平衡方程有：（不考虑体力偶）同理上述关系称为剪应力互等定理设表示轴与轴的方向余弦。则可以证明应力张量可用来描述一点的应力状态坐标变换矩阵§11.3平面应力状态若单元体上不为零的应力分量都位于同一平面内称为平面应力状态。例如当物体的表面不受力时在表面取出单元体例如外力作用在板平面内的薄板设不为0的应力分量都位于xy平面内一点的应力状态应给出各方位截面上的应力情况，截面

上的应力,其与

轴正向的夹角以逆时针方向为正初始单元体：显然：由将代入

由同理可得(a)(b)(c)式有两个解将(c)式代入(b)式有单元种体上搭剪应末力为售0的男截面蒸称为废主平赞面主平面上的正应力称为主应力主应力为各方程截面上正应力的极值一个为极大值一个为极小值、以主平面为单元体的各面称为主单元体同理可求出的极值及例已染知初恳始单射元体个上的被应力惕（Mp工a）求主奇单元崭体上许的应搅力并毅画出结主单殖元体解：§1挎1.计4缸应孕力圆一点盗处平脖面应题力状岂态的崭图解涌法，貌直观第各方跟位的倾应力考情况去一目滚了然镜。由(a)(b)上两覆式两脖边平废方后绒相加则上弊式在恭应力刃坐标单中为学一圆摧称为坟应力大圆莫割尔圆圆心坐标：半径：因此，当连续变化至时，坐标绕应力圆的圆心转一周

应力圆的画法：建应力坐标系，取比例尺,定点或由圆心,半径——画圆

应力圆上一点，由绕圆心转过角，对应截面上的应力

应璃力绿圆受画乌法证明：同理可以证明：

及的方位极值点的方位与主平面方位相差对应的应力

任意事两相趴互垂承直截纱面上步的正柱应力件之和列由(a)式例确定主平面方程画出主单元体及其上的应力，并在应力圆上标出图示截面上的应力单位：

解：主单辈元体娃：例2已知应力圆画出初始单元体及其应力主单元体及应力单位解：烈初始谨单元舱体半径

主单倡元体圾：§1识1.刃5蜓三向翁应力滚状态将三杰个主纽奉应力或按代挣数量垒的大摔小顺勒序排抱列因此裂根据央每一受点的去应力只状态面可以抹找到耗3个续相互姑垂直并的主绘应力三向胡应力胖圆空间任意方程截面上的应力，与三向应力圆所夹阴影面中某点的应力坐标表示。

一点处最大的剪应力

三向牌应力南圆单向够、双铃向、道三向毅应力积状态例：求

解：在，平面内

三向寒应力斗圆如绍图注意园：不教是同徒一平覆面的腾应力欣不能筹用平雪面应稠力状殖态方填法求蓬解。§1幻玉1.室6敬应变涂状态（与捐平面宅应力恢状态我对应但的）一点的变形有线应变和剪应变，单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的变形

在，坐标下

在，坐标下，方向到方向夹角

令，各个方位应变的情况称为一点的应变状态与平面应力状态的分析类似有

应变输花：可证明：在应力或变形不是很大的情况下（线弹性范围）主应力与主应变的方位是重合的。虎克定律

比例系数称为材料的弹性模量

比例系数称为泊松比

§1凤1.零7变应批力应搅变关旅系1、挑单向落应力集状态2、征纯剪久应力烟状态在线弹性范围内

剪切虎克定律

——剪切弹性模量

可证明

只有作用时3、吉广义叔虎克械定律对主陪单元饭体例：已知一构件表面一点的应变

求宁该点递的主殿应力网和最萄大剪俊应力解：设

则

整理鼻后例2已知，求设

解：取一单元体体积受应力作用变形变形后的体积

4、搅体积榜变形单位体积的改变