2020-2021学年上海市普陀区长征中学高一（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年上海市普陀区长征中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有11题，每题填对得3分，否则一律得零分，满分33分）1．（3分）函数y＝cos的最大值是．2．（3分）函数的最小正周期为．3．（3分）已知sinα＝，且α是第二象限角，则cos（π﹣α）+sin（π+α）的值等于．4．（3分）化简：sin（θ+105°）cos（θ﹣15°）﹣cos（θ+105°）sin（θ﹣15°）＝．5．（3分）△BC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a＝28cm，c＝33cm，B＝45°，则三角形的面积为．（精确到0.01cm2）6．（3分）已知，则sin2x＝．7．（3分）已知cosx＝﹣，x∈[0，π]，则满足条件的x＝．（结果用反三角记号表示）8．（3分）已知△ABC的面积为，AC＝，则△ABC的周长等于．9．（3分）若y＝在上为严格减函数，则ω的最大取值为．10．（3分）已知角α的终边经过点P（﹣3m，4m）（m＞0），则sinα﹣cosα的值为．11．（3分）若扇形的圆心角为，则扇形面积与扇形的内切圆（内切圆和扇形的圆弧及半径所在的两边均相切）的面积之比为．二、选择题（本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得4分，否则一律得零分，满分16分）12．（4分）“α＝+2kπ（k∈Z）”是“cos2α＝”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件13．（4分）若sinα＜0且tanα＞0，则α是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角14．（4分）若0＜α＜2π，则使sinα＜和cosα＞同时成立的α的取值范围是（）A．（﹣，） B．（0，） C．（，2π） D．（0，）∪（，2π）15．（4分）设tanθ和tan（﹣θ）是方程x2+px+q＝0的两个根，则p、q之间的关系是（）A．p+q+1＝0 B．p﹣q+1＝0 C．p+q﹣1＝0 D．p﹣q﹣1＝0三、解答题（本题共有5题，共48分，依题序分值为8，8，10，10，12．解答下列各题需写出必要的解题步骤）16．（8分）已知sinα＝﹣，求cosα、tanα的值．17．（8分）在△ABC中，已知a＝20cm，b＝28cm，A＝40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）．18．（10分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，求证：A＝．19．（10分）已知函数f（x）＝2sin|x|﹣1．（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求函数y＝f（x）在（0，+∞）的零点．20．（12分）用“五点法“作出函数y＝1﹣sinx，x∈[0，2π]的大致图象，并写出使得1≤y＜2的x的取值范围．

2020-2021学年上海市普陀区长征中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有11题，每题填对得3分，否则一律得零分，满分33分）1．（3分）函数y＝cos的最大值是1．【分析】先求出∈[﹣，]，再结合余弦函数的图象与性质即可求解．【解答】解：∵x∈[﹣，]，∴∈[﹣，]，∴当＝0，即x＝0时，ymax＝1，∴函数的最大值为1．故答案为：1．【点评】本题考查利用余弦函数的图象和性质求函数的最值，属于基础题．2．（3分）函数的最小正周期为π．【分析】利用二倍角的正弦将函数转化为f（x）＝cos2x即可求得其最小正周期．【解答】解：∵＝sin[2（+x）]＝sin（+2x）＝cos2x∴其最小正周期T＝＝π故答案为：π．【点评】本题考查二倍角的正弦，考查三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．（3分）已知sinα＝，且α是第二象限角，则cos（π﹣α）+sin（π+α）的值等于．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式求解cosα，再由三角函数的诱导公式求得cos（π﹣α）+sin（π+α）的值．【解答】解：由sinα＝，且α是第二象限角，得cosα＝﹣．∴cos（π﹣α）+sin（π+α）＝﹣cosα﹣sinα＝﹣（）﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．4．（3分）化简：sin（θ+105°）cos（θ﹣15°）﹣cos（θ+105°）sin（θ﹣15°）＝．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，和角的正弦公式的应用求出结果．【解答】化简：sin（θ+105°）cos（θ﹣15°）﹣cos（θ+105°）sin（θ﹣15°）＝sin（θ+105°﹣θ+15°）＝sin120．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，和角的正弦公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5．（3分）△BC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a＝28cm，c＝33cm，B＝45°，则三角形的面积为326.63．（精确到0.01cm2）【分析】由已知利用三角形的面积公式即可求解．【解答】解：因为a＝28cm，c＝33cm，B＝45°，所以三角形的面积S＝acsinB＝×28×33×≈326.63．故答案为：326.63．【点评】本题考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（3分）已知，则sin2x＝．【分析】由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．【解答】解：∵，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．7．（3分）已知cosx＝﹣，x∈[0，π]，则满足条件的x＝π﹣arccos．（结果用反三角记号表示）【分析】由题意利用反余弦函数的定义性质，得出结论．【解答】解：∵，满足条件的x为钝角，∴x＝arccos（﹣）＝π﹣arccos，故答案为：．【点评】本题主要考查反余弦函数的定义性质，属于基础题．8．（3分）已知△ABC的面积为，AC＝，则△ABC的周长等于+．【分析】根据三角形的面积等于，求出AB•BC＝4，再由余弦定理可得AB2+BC2＝7，由此求得AB+BC的值，再由AC，即可求出周长．【解答】解：因为△ABC的面积为，AC＝，可得AB•BCsin∠ABC＝，即AB•BC•＝，所以AB•BC＝4，再由余弦定理可得：3＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos＝AB2+BC2﹣AB•BC＝AB2+BC2﹣4，∴AB2+BC2＝7，∴（AB+BC）2＝AB2+BC2+2AB•BC＝7+8＝15，∴AB+BC＝．∴△ABC的周长等于AB+BC+AC＝+．故答案为：+．【点评】本题主要考查解三角形问题，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．9．（3分）若y＝在上为严格减函数，则ω的最大取值为．【分析】由复合函数的单调性求出函数y＝的减区间，再由函数在上为严格减函数，可得关于ω的不等式，求解得答案．【解答】解：由2kπ，得，k∈Z．取k＝0，可得函数的一个减区间为[]，∵y＝在上为严格减函数，∴，得．∴ω的最大取值为．故答案为：．【点评】本题考查余弦函数的单调性，熟记余弦函数的减区间是关键，考查运算求解能力，是基础题．10．（3分）已知角α的终边经过点P（﹣3m，4m）（m＞0），则sinα﹣cosα的值为．【分析】由题意可得x＝﹣3m，y＝4m，r＝﹣5m，可得sinα＝，cosα＝的值，从而得到sinα﹣cosα的值．【解答】解：∵m＞0，角α的终边经过点P（﹣3m，4m），∴x＝﹣3m，y＝4m，r＝5m，∴sinα＝＝，cosα＝＝﹣，∴sinα﹣cosα＝．故答案为：．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，求出sinα和cosα的值，是解题的关键，属于基础题．11．（3分）若扇形的圆心角为，则扇形面积与扇形的内切圆（内切圆和扇形的圆弧及半径所在的两边均相切）的面积之比为3：2．【分析】根据扇形内切圆圆的定义，求出内切圆与扇形半径之间的关系，进行求解即可．【解答】解：设扇形的半径为，内切圆的半径为r，由对称性知∠BAD＝，则AO＝R﹣r，且AO＝2OE，即R﹣r＝2r，得R＝3r，则扇形的弧长l＝R，扇形的面积S＝lR＝R2，则内切圆的面积S＝πr2，则扇形面积与扇形的内切圆的面积之比为＝＝，故答案为：3：2【点评】本题主要考查扇形面积的计算，根据内切圆的定义求出内切圆半径和扇形半径之间的关系是解决本题的关键．二、选择题（本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得4分，否则一律得零分，满分16分）12．（4分）“α＝+2kπ（k∈Z）”是“cos2α＝”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a＝+2kπ代入cos2a易得cos2a＝成立，但cos2a＝时，a＝+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当a＝+2kπ（k∈Z）时，cos2a＝cos（4kπ+）＝cos＝反之，当cos2a＝时，有2a＝2kπ+⇒a＝kπ+（k∈Z），或2a＝2kπ﹣⇒a＝kπ﹣（k∈Z），故选：A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．13．（4分）若sinα＜0且tanα＞0，则α是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【分析】由正弦和正切的符号确定角的象限，当正弦值小于零时，角在第三四象限，当正切值大于零，角在第一三象限，要同时满足这两个条件，角的位置是第三象限，实际上我们解的是不等式组．【解答】解：sinα＜0，α在三、四象限；tanα＞0，α在一、三象限．故选：C．【点评】记住角在各象限的三角函数符号是解题的关键，可用口诀帮助记忆：一全部，二正弦，三切值，四余弦，它们在上面所述的象限为正14．（4分）若0＜α＜2π，则使sinα＜和cosα＞同时成立的α的取值范围是（）A．（﹣，） B．（0，） C．（，2π） D．（0，）∪（，2π）【分析】根据正弦函数和余弦函数的单调性分别求得在0＜α＜2π，满足已知条件α的范围，最后去交集即可．【解答】解：∵0＜α＜2π，sinα＜，∴0＜α＜或＜α＜2π，①∵0＜α＜2π，cosα＞，∴0＜α＜，或＜α＜2π，②①②取交集得0＜α＜或＜α＜2π，故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数的单调性．解题可结合正弦函数和余弦函数的图象，可能更直观．15．（4分）设tanθ和tan（﹣θ）是方程x2+px+q＝0的两个根，则p、q之间的关系是（）A．p+q+1＝0 B．p﹣q+1＝0 C．p+q﹣1＝0 D．p﹣q﹣1＝0【分析】因为tanθ和tan（﹣θ）是方程x2+px+q＝0的两个根，则根据一元二次方程的根的分布与系数关系得到相加等于﹣p，相乘等于q，再根据两角差的正切公式找出之间的关系即可．【解答】解：因为tanθ和tan（﹣θ）是方程x2+px+q＝0的两个根，得tanθ+tan（﹣θ）＝﹣p，tanθtan（）＝q又因为1＝tan[θ+（﹣θ）]＝＝，得到p﹣q+1＝0故选：B．【点评】考查学生运用两角和与差的正切函数的能力，以及利用一元二次方程的根的分布与系数关系的能力．三、解答题（本题共有5题，共48分，依题序分值为8，8，10，10，12．解答下列各题需写出必要的解题步骤）16．（8分）已知sinα＝﹣，求cosα、tanα的值．【分析】由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα、tanα的值．【解答】解：∵sinα＝﹣，sin2α+cos2α＝1，∴cosα＝±＝±，当cosα＝时，tanα＝﹣；当cosα＝﹣时，tanα＝．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．17．（8分）在△ABC中，已知a＝20cm，b＝28cm，A＝40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）．【分析】运用正弦定理，可得B，进一步求得C，再由余弦定理可得c．【解答】解：在△ABC中，由a＝20，b＝28，A＝40°，根据正弦定理，得，∴sinB＝≈0.8999，∵0°＜B＜180°，∴B≈64°，或B≈116°．当B＝64°时，C＝180°﹣40°﹣64°＝76°，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝202+282﹣2×20×28×cos76°，解得：c≈30（cm）；当B＝116°时，C＝180°﹣40°﹣116°＝24°，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝202+282﹣2×20×28×cos24°，解得：c≈13（cm）．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．18．（10分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，求证：A＝．【分析】根据同角的三角函数的关系进行转化求解即可．【解答】证明：因为，所以，，即，得，∴，得，因为sinB、sinC≠0，所以，所以．【点评】本题主要考查三角函数式