河北省保定市庞佐中学2022年高三数学理期末试卷含解析

河北省保定市庞佐中学2022年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为两点，以为直径的圆C过点，则圆C的方程为( )A．

B．

C.

D．参考答案：C抛物线的准线方程为x=﹣1，焦点F（1，0）．设AB的方程为y=k（x﹣1），联立方程组，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣4．∴|y1﹣y2|=．∴以A′B′为直径圆的圆C的圆心为（﹣1，），半径为2．圆C的方程为（x+1）2+（y﹣）2=4（+1）．把（﹣2，3）代入圆的方程得1+（3﹣）2=4（+1）．解得k=2．∴圆C的方程为：（x+1）2+（y﹣1）2=5．故答案为：C

2.由直线，曲线及轴所谓成图形的面积为A.

B.

C.

D.参考答案：D3.设，则“”是“

（

）

A．充分而不必要条件

B．充分必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C4.已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣2a+3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b3b7b11等于（）A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：D【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列通项公式求出a7=2，由此得到b7=a7=2，再利用等比数列通项公式的性质能求出结果．【解答】解：等差数列{an}中，∵a4+3a8=（a4+a8）+2a8=2a6+2a8=4a7，a4﹣2a+3a8=0，∴=0，且a7≠0，∴a7=2，又b7=a7=2，故等比数列{bn}中，．故选：D．5.执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于(

) A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]参考答案：A考点：程序框图；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：图表型；算法和程序框图．分析：本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．解答： 解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选A．点评：要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6.下列三个不等式中，恒成立的个数有

①

②

③.

A．3

B.2

C.1

D.0参考答案：B当时，①不成立。由，得所以成立，所以②横成立。③恒成立，所以选B.7.已知函数定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=ex（1﹣x）②函数有2个零点③f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）

④?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，其中正确的命题是（）A．①③ B．②③ C．③④ D．②④参考答案：C【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据f（x）为奇函数，可设x＞0，从而有﹣x＜0，从而可求出f（x）=e﹣x（x﹣1），从而可看出﹣1，1，0都是f（x）的零点，这便得出①②错误，而由f（x）解析式便可解出f（x）＞0的解集，从而判断出③的正误，可分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导数，根据导数符号可判断f（x）的单调性，根据单调性即可求出f（x）的值域，这样便可得出?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．【解答】解：①f（x）为R上的奇函数，设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x）；∴f（x）=e﹣x（x﹣1）；∴该命题错误；②∵f（﹣1）=0，f（1）=0；又f（0）=0；∴f（x）有3个零点；∴该命题错误；③（1）x＜0时，f（x）=ex（x+1）；∴﹣1＜x＜0时，f（x）＞0；（2）x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；∴x＞1时，f（x）＞0；∴f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；∴该命题正确；④（1）x＜0时，f′（x）=ex（x+2）；∴x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；（2）x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；∴该命题正确；∴正确的命题为③④．故选：C．【点评】考查奇函数的定义，对于奇函数，已知一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，函数零点的定义及求法，指数函数的值域，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，可画图解本题．8.三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A三棱锥的直观图如图，以ABC所在平面为球的截面，则截面圆的半径为，球心到ABC所在平面的距离为，则球的半径为，所以球的体积为.9.已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出．【解答】解：∵1+i=，∴z===在复平面内，复数z所对应的点在第一象限．故选：A．10.已知等差数列的公差若则该数列的前项和的最大值为（

）A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知f（x）=4x+1，g（x）=4﹣x．若偶函数h（x）满足h（x）=mf（x）+ng（x）（其中m，n为常数），且最小值为1，则m+n=．参考答案：考点：函数最值的应用；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数是偶函数，确定m=n，利用基本不等式求最值，确定m的值，即可得到结论．解答：解：由题意，h（x）=mf（x）+ng（x）=m4x+m+n4﹣x，h（﹣x）=mf（﹣x）+ng（﹣x）=m4﹣x+m+n4x，∵h（x）为偶函数，∴h（x）=h（﹣x），∴m=n∵h（x）=m（4x+4﹣x）+m，4x+4﹣x≥2∴h（x）min=3m=1

∴m=∴m+n=故答案为：点评：本题考查函数的奇偶性，考查基本不等式的运用，考查函数的最值，属于中档题．12.在平面直角坐标系中，若不等式组（k为常数）表示的平面区域D的面积是16，那么实数k的值为；若P（x，y）为D中任意一点，则目标函数z=2x﹣y的最大值为．参考答案：3,9.【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由可行域面积列式求得k值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（﹣1，1），联立，解得A（k，﹣k），联立，解得B（k，k+2），由（2k+2）（k+1）=16，解得：k=3；∴A（3，﹣3），由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．故答案为：3，9．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13.知幂函数的定义域为，且单调递减，则__________.参考答案：1略14.若，则的值为

.参考答案：15.函数f（x）=（sin2x﹣cos2x）+2sinxcosx的最小正周期为，单调递增区间为．参考答案：（1）π，（2）．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）用三角恒等变换化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期；（2）根据三角函数的单调性，求出f（x）的单调增区间即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（sin2x﹣cos2x）+2sinxcosx=﹣cos2x+sin2x=2sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期为T==π；（2）∵f（x）=2sin（2x﹣），∴令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z；∴2kπ﹣≤2x≤2kπ+π，k∈Z；∴kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴函数f（x）的单调增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．故答案为：（1）π，（2）．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．16.某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．参考答案：【分析】先还原几何体，再根据四棱锥体积公式求结果.【详解】由三视图知该几何体如图，V＝＝故答案为【点睛】本题考查三视图以及四棱锥的体积，考查基本分析求解能力，属基础题.

17.抛物线的焦点坐标为

．

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知为半圆的直径,为半圆上一点，过点作半圆的切线，过

点作于，交半圆于点(1)求证：平分(2)求的长.

参考答案：（1）连接

（1分）又为半圆的切线，

（2分）平分

（5分）(2)连接由(1)知

（6分）四点共圆,

（8分）

（10分）19.已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和Sn．参考答案：考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：计算题．分析：（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{bn}的通项公式，然后求出﹣Sn﹣（﹣2Sn），即可求得的前n项和Sn．解答： 解：（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20∴∴或∵数列{an}单调递增∴an=2n（II）∵an=2n∴bn==﹣n?2n∴﹣sn=1×2+2×22+…+n×2n

①∴﹣2sn=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1

②∴①﹣②得，sn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=2n+1﹣n?2n+1﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般采取错位相减的办法．20.已知.（1）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围；（2）若是函数f(x)的两个零点，求证：.参考答案：（1）设，则时，不等式恒成立时，恒成立．，时，，在区间上为增函数．另由，知．1

若，则此时，在区间内有唯一零点，设为，则时，在区间上为减函数，．因此，不符合要求．2

若，则时，，此时，在上为增函数．时，．因此，符合要求．由①、②，得的取值范围为．（2）是函数的两个零点，，．不妨设，易知，联立上述两式，消，得又由（1）知，对，当时，恒成立．当时，恒成立．当时，．，；当时，同理可得：，．21.设是数列的前n项，点在直线。

（1）求数列的通项公式；

（2）记，数列的前n项和为Tn，求使的n的最小值；

（3）设正项数列满足求数列中的最大项。参考答案：解：（1）依题可得：，且当时，………1分

两式相减可得：

……2分

又时，

………3分

∴

………………4分（2）由（1）可知，∴