广东省惠州市坪塘中学2022年高三数学理联考试题含解析

广东省惠州市坪塘中学2022年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线C1：的离心率为2，若抛物线C2：的焦点到双曲线C1的渐近线的距离是2，则抛物线C2的方程是A．

B．C．

D．参考答案：D2.定义在R上的函数为奇函数，且函数的周期为3，若f（1）=2007，

f（2006）+f（2007）的值应等于

（

）

A．0

B．－2007

C．2007

D．4013参考答案：答案：B3.（5分）已知向量=（m，1﹣n），=（1，2），其中m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值是（）A．2B．3+2C．4D．3+参考答案：B【考点】：基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：根据向量平行，建立m，n的关系，利用基本不等式的性质即可得到结论．解：∵向量=（m，1﹣n），=（1，2），∴若∥，则2m﹣（1﹣n）=0，即2m+n=1，∴+=（+）（2m+n）=3+，当且仅当，即n=，即m=1﹣，n=时取等号．故最小值为3+2，故选：B．【点评】：本题主要考查基本不等式的应用，利用向量平行的坐标公式求出m，n的关系是解决本题的关键．4.一个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积为（

）ks5uA.36

B.

30

C.

D.参考答案：B5.设的整数部分用表示，则的值是

A、8204

B、8192

C、9218

D、以上都不对参考答案：A6.已知P是双曲线上的点，F1、F2是其焦点，双曲线的离心率是的面积为9，则a+b的值为(

) A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C考点：双曲线的简单性质；双曲线的定义．专题：计算题．分析：由双曲线的离心率求得=，根据△PF1F2的面积等于9得到|PF1|?|PF2|=18，在△PF1F2中，由勾股定理和双曲线的定义，可得b=3，从而求得a+b的值．解答： 解：双曲线的离心率是==，∴=．∵，∴，∴△PF1F2的面积S=|PF1|?|PF2|=9，∴|PF1|?|PF2|=18．在△PF1F2中，由勾股定理可得

4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF1|?|PF2|=4a2+36，∴a2+b2=a2+9，∴b=3，∴a=4，∴a+b=7，故选C．点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用双曲线的定义是解题的难点．7.命题“”的否定为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D【知识点】命题及其关系A2的否定为【思路点拨】根据存在量词全称量词关系求得。8.已知直线x=与椭圆C：（a＞b＞0）交于A、B两点，若椭圆C的两个焦点与A、B两点可以构成一个矩形，则椭圆C的离心率为（）A． B．C． D．参考答案：C【分析】由题意求得A点坐标，将A代入直线方程，利用椭圆的性质，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆C的两个焦点与A、B两点可以构成一个矩形，∴AB=2c，即A（，c），∴?3a2=4c2，?e=，故选：C【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆离心率的求法，考查计算能力，属于中档题9.从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，不同的分派方法有

（A）100种

（B）400种

（C）480种

（D）2400种

参考答案：D略10.己知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为．BC=4，BD=，∠CBD=90°，则球O的表面积为（）A．11π B．20π C．23π D．35π参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】先利用体积，求出A到平面BCD的距离，可得O到平面BCD的距离，再利用勾股定理，求出球的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，设A到平面BCD的距离为h，则∵该三棱锥的体积为．BC=4，BD=，∠CBD=90°，∴××4×h=，∴h=2，∴O到平面BCD的距离为1，∵△BCD外接圆的直径BD=，∴OB==，∴球O的表面积为4π×=23π．故选：C．【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，是中档题，确定球的半径是正确解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.实数x，y满足条件，则的最大值为

．参考答案：略12.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，

圆p=4sin的圆心到直线的

距离是______。参考答案：13.已知函数f（x）=asinxcosx﹣sin2x+的一条对称轴方程为x=，则函数f（x）的最大值为

．参考答案：1【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】本题运用离对称轴远近相同的点函数值相等求出a值，再求三角函数的最值．【解答】解：f（x）=，∵是对称轴，f（0）=f（），∴，∴，最大值为1．故答案为1．14.设矩阵的逆矩阵为，a+b+c+d=

。参考答案：15.已知＝1－mi，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m的值为＿＿＿＿参考答案：216.若实数满足，则的范围是▲．参考答案：【知识点】三角函数的图象与性质C3∵实数x，y满足x2+x+y2+y=0，

∴（x+）2+（y+）2=,即2（x+）2+2（y+）2=1，

令（x+）=cosθ，（y+）=sinθ，

∴x=cosθ-，y=sinθ-x+y=cosθ+sinθ-1=sin（θ+）-1∈[-2，0]，故x+y的范围是[-2，0]，

【思路点拨】将圆x2+x+y2+y=0，化为参数方程，进而根据正弦型函数的图象和性质，可得x+y的范围．17.C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与（，）的交点的极坐标为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知二次函数不等式的解集为（1，3）.(Ⅰ）若方程有两个相等的实根，求的解析式；(Ⅱ）若的最大值为正数，求实数a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）∵不等式的解集为（1，3）∴和是方程的两根∴

∴又方程有两个相等的实根∴△=∴

即∴或（舍）∴，(Ⅱ）由（Ⅰ）知∵，

∴的最大值为

∵的最大值为正数

∴

∴

解得或

∴所求实数a的取值范围是19.某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表：消费金额（单位：元）（0，200]（200，400]（400，600]（600，800]（800，1000]购物单张数252530？？

由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等．用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过800元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值500元、200元、100元的奖品．已知中奖率为100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为．若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长5%，式预测商场今年国庆期间采办奖品的开销．参考答案：(1);(2)580000.试题分析：（1）由消费在区间的频率为，可知中位数估计值为，设所求概率为，利用每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和等于求解即可；（2）根据，解得，可得一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为，，，从而可得一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为，，，进而可得结果.试题解析：（1）因消费在区间的频率为，故中位数估计值即为.设所求概率为，而消费在的概率为.故消费在区间内的概率为.因此消费额的平均值可估计为.令其与中位数相等，解得.（2）设等比数列公比为，根据题意，即，解得.故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为，，.今年的购物单总数约为.其中具有抽奖资格的单数为，故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为，，.于是，采购奖品的开销可估计为（元）.20.如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．（1）求证：GH∥平面ADPE；（2）M是线段PC上一点，且PM=，求二面角C﹣EF﹣M的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用中位线定理证明GF∥PE，FH∥BC，得出平面FGH∥平面ADPE，从而GH∥平面ADPE；（2）建立坐标系，求出平面EFC和平面EFM的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小．【解答】（1）证明：∵F，G，H分别为BP，BE，PC的中点，∴GF∥PE，FH∥BC，又四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴FH∥AD，又PE与AD为相交直线，GF与FH为相交直线，∴平面FGH∥平面ADPE，∵GH?平面FGH，∴GH∥平面ADPE．（2）解：以D为原点，以DA，DC，DP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（2，0，1），P（0，0，2），F（1，1，1），∴=（﹣1，1，0），=（﹣2，2，﹣1），=（﹣2，0，1），=（0，2，﹣2），∵PC=2，PM=，∴==（0，，﹣），∴==（﹣2，，﹣），设平面EFC的法向量为=（x1，y1，z1），平面EFM的法向量的=（x2，y2，z2），则，，∴，，令x1=x2=1得=（1，1，0），=（1，1，﹣1），∴cos＜，＞===．∴二面角C﹣EF﹣M的余弦值为．21.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．（1）求证：OE∥平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，可证四边形OEBF是平行四边形，又OE?面BCC1B1，BF?面BCC1B1，可证OE∥面BCC1B1．（2）先证明BC1⊥DC，再证BC1⊥面B1DC，而BC1∥OE，OE⊥面B1DC，又OE?面B1DE，从而可证面B1DC⊥面B1DE．【解答】证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，…2分因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且，又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1=1，从而，即四边形OEBF是平行四边形，所以OE∥BF，…6分又OE?面BCC1B1，BF?面BCC1B1，所以OE∥面BCC1B1．…8分（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1?面BCC1B1，所以BC1⊥DC，…10分又BC1⊥B1C，且DC，B1C?面B1DC，DC∩B1C=C，所以BC1⊥面B1DC，…12分而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE?面B1DE，所以面B1DC⊥面B1DE．…14分【点评】本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识