专题54平面向量的综合应用教学案教师版纸间书屋

专题 平面向量的综合应知识点 向量在平面几何中的应a，bcosθ＝|a||b|(θa，b角)a，b|a|＝a2＝设向 运 还知识点二知识点 向量与相关知识的交考点一a，b，c， sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，则角A的取值范围为

【答案】【解析】在△ABC中，C＝π－(A＋B)sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin2A2sinBcosA＝2AcosA

cosA≠0sinB＝2sinAb＝2acos 1 1

2b 2 2

2bc

＝2c＝2b 【解析】(1)由已知，易得∠ACB＝45°，在△ABC中，10 BC BC＝56.因为 sin45°sin在△BCD中，CD＝BC2＋DB2－2BC·DBcos45°＝510－4

，得(AB＋AC)2－100＝3AB·AC，而 AB＋AC2－1002，所

【特别提醒】4sinAcos2A－3cos(B＋C)＝sin3A＋3(1)A【解析】(1)∵4sinAcos2A－3cos(B＋C)＝sin3A＋∴4sinAcos2A＋3cosA＝sin3A＋∴2sin2AcosA＋3cosA＝sin2AcosA＋cos2AsinA＋3，sin2AcosA－cos2AsinA＋3cosA＝3，sin(2A－A)＋3cosA＝ 3∴sinA＋3cosA＝3sin＋3＝2

A∈，2，∴A＋3＝3 ＝3，∴＝3∵△ABC

3－B∈，2 在△ABC中，由正弦定理得2＝csin sin 2sin

2sin3 3∴c＝sinB

sin ＝tan 1B∈6，2，∴tanB∈(0， 3 △ABC＝2bcsinA＝2c，∴S△ABC∈2，2故△ABC面积的取值范围为3，23 考点 【典例2】(2018·高考)如图，在平面四边形ABCD中AE·BE＝ADAE·BE

【答案】

则 3，C(0，3)．2，2E(0，y)(0≤y≤ 3AE＝(－1，y)BE＝－2，y2 3 32 ∴AE·BE＝2＋y－2y＝y－4∴当 3

＝AE·BE有最小值16＝

πA.A.B. D．2－【答案】的半径长，因此|a－b|的最小值为3－1。【变式2】(2017·卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，―→ PA·(PB＋PC)的最小值是 33【答案】

，PB，，PB，＝，＝

3－y)

(－1－x，－y)

―→

―→＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y－

3

·(PB＋PC

2－2， ＝―→ ＝PA·(PBPC)取得最小值，为－2考点三

3（2018-2019）OF分别为椭圆43＝1

为椭圆上的任意一点，则AD·FP的最大值 【答案】

00＝1y2＝310 4 FP＝(x0＋1，y0)OP

OP·FP＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋310＝0＋x

(x0

4 4因为－2≤x0≤2，故当

OP·FP6【变式3】(2017·卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与 相切的圆上．若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为 25 25【答案】

A为坐标原点，AB，ADx轴，y ＝，所以圆C：(x－1)＋(y－2)

因为P在圆C上，所以 2 2 ＋5cos ＋5sin