2020-2021学年上海交大附中高二（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年上海交大附中高二（上）期末数学试卷一、填空题1．（3分）复数的虚部为．2．（3分）直线l1：（t∈R），l2：ax+y+3＝0，若l1⊥l2，则a＝．3．（3分）已知变量x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为．4．（3分）若方程x2+（k+3i）x+k+4＝0有实数根，则实数k的取值是．5．（3分）抛物线y＝4x2的准线方程为．6．（3分）若圆锥底面半径为1，高为，则其侧面积为．7．（3分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝，AC＝BC＝AD＝BD＝，则三棱锥A﹣BCD的体积是．8．（3分）在北纬45°东经30°有一座城市A，在北纬45°东经120°有一座城市B，设地球半径为R，则A、B两地之间的距离是．9．（3分）P是双曲线上的一点，F1，F2为焦点，若|PF1|＝7，则|PF2|＝．10．（3分）设复数z1，z2满足|z1|＝1，|z2|＝2，，则|z1﹣z2|＝．11．（3分）已知异面直线a，b所成角为70°，过空间定点P与a，b成55°角的直线共有条．12．（3分）三角形ABC的AB边在平面α内，C在平面α外，AC和BC分别与面α成30°和45°的角，且平面ABC与平面α成60°的二面角，那么∠ACB的大小为．二、选择题13．（3分）设复数z＝a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），则“a＝0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．（3分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于l1：a1x+b1y﹣1＝0和l2：a2x+b2y﹣1＝0的交点情况是（）A．存在k，P1，P2使之无交点 B．存在k，P1，P2使之有无穷多交点 C．无论k，P1，P2如何，总是无交点 D．无论k，P1，P2如何，总有唯一交点15．（3分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都是菱形，那么点A1在面AB1D1上的射影一定是△AB1D1的________心，点A1在面BC1D上的射影一定是△BC1D的________心．（）A．外心、重心 B．内心、垂心 C．外心、垂心 D．内心、重心16．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为CC1的中点，P在底面ABCD内运动，且满足∠DPD1＝∠CPM，则点P的轨迹为（）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分三、解答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，M是侧棱CC1上一点，设MC＝h．（1）若BM⊥A1C，求h的值；（2）若h＝2，求直线BA1与平面ABM所成的角．18．已知方程x2+x+p＝0有两个根x1，x2，p∈R．（1）若|x1﹣x2|＝3，求实数p的值；（2）若|x1|+|x2|＝3，求实数p的值．19．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1）．其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB，△EAD和△FBC是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图3，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABEF和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形，点F在平面ABCD和BC上射影分别为H，M，已知HM＝5米，BC＝10米，梯形ABEF的面积是△FBC面积的2.2倍．设．（1）求屋顶面积S关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为9600元/米．现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？20．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AAB1B所成的角为30°，AE垂直BD于E．（1）若F为棱A1B1上的动点，试确定F的位置使得AE∥平面BC1F，并说明理由；（2）若F为棱A1B1上的中点；求点A到平面BDF的距离；（3）若F为棱A1B1上的动点（端点A1，B1除外），求二面角F﹣BD﹣A的大小的取值范围．21．设曲线E是焦点在x轴上的椭圆，左、右焦点分别是F1，F2，且|F1F2|＝2，M是曲线上的任意一点，且点M到两个焦点距离之和为4．（1）求E的标准方程；（2）设椭圆上，判断以PF2（F2为椭圆右焦点）为直径的圆与以椭圆E的长轴为直径的圆的位置关系并说明理由；（3）设点N（λ，μ）为曲线E上确定的一个点，若直线l2：y＝kx+m与曲线E交于两点C，D（C，D异于点N），且满足，请问直线l2是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

2020-2021学年上海交大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）复数的虚部为1．【分析】利用复数的运算法则直接求解．【解答】解：复数＝＝1+i，∴复数的虚部为1．故答案为：1．【点评】本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（3分）直线l1：（t∈R），l2：ax+y+3＝0，若l1⊥l2，则a＝．【分析】先求出直线l1的直角坐标方程，再由直线与直线垂直的性质能求出a的值．【解答】解：∵直线l1：（t∈R），∴直线l1的直角坐标方程为2x﹣y+6＝0．，∵l2：ax+y+3＝0，l1⊥l2，∴2a﹣1＝0，解得a＝．故答案为：．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（3分）已知变量x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为11．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最大值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，则由图象可知当直线y＝﹣3x+z经过点A时直线y＝﹣3x+z的截距最大，此时z最大，由得，即A（3，2），此时z＝3×3+2＝11，故答案为：11．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．4．（3分）若方程x2+（k+3i）x+k+4＝0有实数根，则实数k的取值是﹣4．【分析】推导出（x02+kx0+4+k）+3x0i＝0，从而x02+kx0+4+k＝0，且3x0＝0，由此能求出k的值．【解答】解：∵方程x2+（k+3i）x+k+4＝0有实数根，设x0是方程x2+（k+3i）x+k+4＝0的实数根，∴（x02+kx0+4+k）+3x0i＝0∴x02+kx0+4+k＝0，且3x0＝0，解得k＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查实数值的求法，考查复数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（3分）抛物线y＝4x2的准线方程为．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．【解答】解：整理抛物线方程得x2＝y，∴p＝∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y＝﹣故答案为：．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质．属基础题．6．（3分）若圆锥底面半径为1，高为，则其侧面积为2π．【分析】先求圆锥的母线，然后直接利用圆锥侧面积公式求解即可．【解答】解：圆锥的高位，底面半径为1，所以圆锥的母线为：2，圆锥的侧面积：×2π×2＝2π故答案为：2π．【点评】本题考查圆锥的侧面积公式，是基础题．7．（3分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝，AC＝BC＝AD＝BD＝，则三棱锥A﹣BCD的体积是．【分析】由题意画出图形，取CD中点O，连接AO，BO，可证CD⊥平面ABO，求出三角形ABO的面积，由V＝求三棱锥A﹣BCD的体积．【解答】解：如图，AB＝CD＝，AC＝BC＝AD＝BD＝，取CD的中点O，连接AO，BO，可得AO⊥CD，BO⊥CD，又AO∩BO＝O，则CD⊥平面AOB，在△ACD中，求得AO＝，在△BCD中，同理求得BO＝，又AB＝，∴＝1．∴三棱锥A﹣BCD的体积是V＝．故答案为：．【点评】本题考查多面体体积的求法，考查数学转化思想，考查运算求解能力，是中档题．8．（3分）在北纬45°东经30°有一座城市A，在北纬45°东经120°有一座城市B，设地球半径为R，则A、B两地之间的距离是．【分析】由已知中在北纬450东经300有一座城市A，在北纬450东经1200有一座城市B，设地球半径为R，我们可以求出北纬45°的纬线圈半径，及连接AB两点的弦的长，进而求出A，B两地与地球球心O连线的夹角∠AOB，代入弦长公式即可得到答案．【解答】解：由已知地球半径为R，则北纬45°的纬线圈半径为又∵两座城市的经度分别为东经30°和东经120°故连接两座城市的弦长L＝＝R则A，B两地与地球球心O连线的夹角∠AOB＝则A、B两地之间的距离是故答案为：【点评】本题考查的知识点是球面距离及相关计算，要计算球面两点的球面距离要有两个关键的几何量，一是球的半径R，一是A，B两地与地球球心O连线的夹角∠AOB．9．（3分）P是双曲线上的一点，F1，F2为焦点，若|PF1|＝7，则|PF2|＝13．【分析】利用双曲线的定义即可得解，注意需要根据P、F1、F2三点是否能构成三角形来对所得结果进行检验．【解答】解：由双曲线的定义知，||PF1|﹣|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝|PF1|±6＝7±6＝1或13，∵焦距|F1F2|＝2c＝2×＝10，∴当|PF2|＝1时，|PF1|+|PF2|＝8＜10，不能构成三角形，舍去，∴|PF2|＝13．故答案为：13．【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，熟练掌握a、b、c的含义与关系是解题的关键，属于基础题．10．（3分）设复数z1，z2满足|z1|＝1，|z2|＝2，，则|z1﹣z2|＝．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理即可求解．【解答】解：设z1，z2在复平面内对应的向量为，z1+z2对应的向量为，如图所示，因为，所以|z1+z2|＝2，所以，又因为∠OZ1Z3+∠Z1OZ2＝180°，所以，所以＝1+4+1＝6，所以，故|z1﹣z2|＝．故答案为：．【点评】本题考查了复数的模的计算，涉及了复数的几何意义的理解和应用，解题的关键是将|z1﹣z2|转化为向量的模进行求解．11．（3分）已知异面直线a，b所成角为70°，过空间定点P与a，b成55°角的直线共有3条．【分析】根据条件先将直线a，b平移至过点P，然后根据直线a，b所成角的角平分线以及直线a，b所在平面的垂线分析判断即可．【解答】解：将直线a，b平移，使两直线经过点P，如下图所示：设直线a，b所成角的角平分线为c，过点P垂直于直线a，b所在平面的直线为d，因为a，b所成角为70°，当直线l经过点P且直线l在直线a，b所在平面内且垂直于直线c，此时直线l与直线a，b所成的角均为，当直线l在直线c，d所在平面内时，若l绕着点P旋转，此时l与直线a，b所成角相等，且所成角从变化到90°，再从90°变化到35°，所以此时满足条件的l有2条，综上所述，过空间定点P与a，b成55°角的直线共有3条．故答案为：3．【点评】本题考查了异面直线所成的角，掌握异面直线所成角的定义，直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．12．（3分）三角形ABC的AB边在平面α内，C在平面α外，AC和BC分别与面α成30°和45°的角，且平面ABC与平面α成60°的二面角，那么∠ACB的大小为90°或arccos．【分析】从C向平面作垂线CD，连接AD，BD，作CE⊥AB，连接DE，根据三垂线定理，DE⊥AB，设CD＝h，∠CBD＝45°，BC＝h，∠CAD＝30°，AC＝2CD＝2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED＝60°，CE＝，由勾股定理求出∠ACB的大小；另一种是∠B是钝角，CE在三角形ABC之外，AB＝AE﹣BE＝，由余弦定理，求出∠ACB的大小．【解答】解：从C向平面作垂线CD，连接AD，BD，作CE⊥AB，连接DE，根据三垂线定理，DE⊥AB，设CD＝h，∠CBD＝45°，BC＝h，∠CAD＝30°，AC＝2CD＝2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED＝60°，CE＝h，根据勾股定理，AE＝h，BE＝h，AB＝AE+BE＝h，根据勾股定理逆定理，AB2＝BC2+AC2，（h）2＝（h）2+（2h）2，∴∠ACB＝90°，另一种是∠B是钝角，CE在三角形ABC之外，AB＝AE﹣BE＝h，根据余弦定理，AB2＝AC2+BC2﹣2AC×BC×cosC，（h）2＝（2h）2+（h）2﹣2×2h×hcosC，cos∠ACB＝，∴∠ACB＝arccos．综上，∠ACB的大小为90°或arccos．【点评】本题考查与二面角有关的立体几何的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意勾股定理和余弦定理的灵活运用．二、选择题13．（3分）设复数z＝a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），则“a＝0”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【分析】根据复数的概念可得当a＝0，且b≠0时，z为纯虚数，再根据充分条件，必要条件的定义可以判断．【解答】解：复数z＝a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），当a＝0，且b≠0时，z为纯虚数，则“a＝0”是“z为纯虚数”必要非充分条件，故选：B．【点评】本题考查了复数的概念，以及充分条件，必要条件，属于基础题．14．（3分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于l1：a1x+b1y﹣1＝0和l2：a2x+b2y﹣1＝0的交点情况是（）A．存在k，P1，P2使之无交点 B．存在k，P1，P2使之有无穷多交点 C．无论k，P1，P2如何，总是无交点 D．无论k，P1，P2如何，总有唯一交点【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y＝kx+1的斜率存在，∴k＝，即a1≠a2，并且b1＝ka1+1，b2＝ka2+1，∴a2b1﹣a1b2＝ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1＝a2﹣a1，，解得：（a1b2﹣a2b1）x＝b2﹣b1，即（a1﹣a2）x＝b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：D．【点评】本题考查两条直线的交点情况的判断，考查直线方程性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（3分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都是菱形，那么点A1在面AB1D1上的射影一定是△AB1D1的________心，点A1在面BC1D上的射影一定是△BC1D的________心．（）A．外心、重心 B．内心、垂心 C．外心、垂心 D．内心、重心【分析】推导出A1A＝A1B1＝A1D1，从而B点A1在面AB1D1上的射影O到A、B1、D1三点的距离相等，进而得到点A1在面AB1D1上的射影O一定是△AB1D1的外心；设A1在平面BDC1中的射影为M，连接A1C1、A1M，C1M，则C1M是A1C1在平面BDC1中的射影，由三垂线定理得C1M⊥BD，同理可证明BM⊥DC1，DM⊥BC1，从而点A1在面BC1D上的射影一定是△BC1D的垂心．【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都是菱形，∴A1A＝A1B1＝A1D1，∴B点A1在面AB1D1上的射影O到A、B1、D1三点的距离相等，∴点A1在面AB1D1上的射影O一定是△AB1D1的外心；设A1在平面BDC1中的射影为M，连接A1C1、A1M，C1M，则C1M是A1C1在平面BDC1中的射影，∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都是菱形，∴BD∥B1D1，A1C1⊥B1D1，∴A1C1⊥BD，∴由三垂线定理得C1M⊥BD，同理可证明BM⊥DC1，DM⊥BC1，∴点A1在面BC1D上的射影一定是△BC1D的垂心．故选：C．【点评】本题考查线三角形五心的判断，考查射影、三垂线定理等基础知识，考查运算求解能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想．16．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为CC1的中点，P在底面ABCD内运动，且满足∠DPD1＝∠CPM，则点P的轨迹为（）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分【分析】先确定PD＝2PC，再在平面ABCD内以D为原点建立平面直角坐标系，求出P的轨迹方程，即可得到结论．【解答】解：∵∠DPD1＝∠CPM，M为CC1的中点，∴∴在平面ABCD内以D为原点建立平面直角坐标系，设DC＝1，P（x，y），∵∴PD＝2PC∴∴∵P在底面ABCD内运动，∴轨迹为圆的一部分故选：A．【点评】本题考查立体几何中的轨迹问题，考查学生的计算能力，确定P的轨迹方程是关键．三、解答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，M是侧棱CC1上一点，设MC＝h．（1）若BM⊥A1C，求h的值；（2）若h＝2，求直线BA1与平面ABM所成的角．【分析】（1）建立空间坐标系，根据＝0计算h的值；（2）求出平面ABM的法向量，计算cos＜，＞，再根据线面角与向量夹角的关系得出答案．【解答】解：（1）以A为原点，以AB，AC，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（2，0，0），A1（0，0，4），C（0，2，0），M（0，2，h），∴＝（﹣2，2，h），＝（0，2，﹣4），若BM⊥A1C，则＝0，即4﹣4h＝0，∴h＝1．（2）当h＝2时，M（0，2，2），＝（﹣2，2，2），＝（2，0，0），＝（﹣2，0，4），设平面ABM的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝1可得＝（0，﹣1，1）．∴cos＜，＞＝＝＝，设直线BA1与平面ABM所成的角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝，∴θ＝．【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．18．已知方程x2+x+p＝0有两个根x1，x2，p∈R．（1）若|x1﹣x2|＝3，求实数p的值；（2）若|x1|+|x2|＝3，求实数p的值．【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系，结合题意列出方程，求解即可；（2）对x1，x2为两个实根和x1，x2为两个共轭虚根两种情况进行讨论，利用根与系数的关系以及共轭复数的性质进行求解即可．【解答】解：（1）因为方程x2+x+p＝0有两个根x1，x2，p∈R，则x1+x2＝﹣1，x1x2＝p，因为|x1﹣x2|＝3，所以，即，可得|1﹣4p|＝9，解得；（2）①当x1，x2为两个实根时，Δ＝1﹣4p≥0，所以，所以，所以，即，所以1+2p+2|p|＝9，解得p＝﹣2；②当x1，x2为两个共轭虚根时，即时，|x1|+|x2|＝3，即，所以，由韦达定理可得，；综上所述，．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数关系的应用，涉及了完全平方式以及共轭复数性质的应用，解题的关键是对当x1，x2分类讨论．19．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1）．其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB，△EAD和△FBC是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图3，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABEF和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形，点F在平面ABCD和BC上射影分别为H，M，已知HM＝5米，BC＝10米，梯形ABEF的面积是△FBC面积的2.2倍．设．（1）求屋顶面积S关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为9600元/米．现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？【分析】（1）在Rt△FHM中，FM＝，从而有S△FBC＝，而屋顶面积S＝2（S△FBC+S梯形ABEF），代入相关数据，进行运算即可；（2）先求得下部主体的高度为6﹣5tanθ，再将总造价y表示成关于θ的函数，即y＝9600×（+6），设f（θ）＝，要使总造价最低，则f（θ）最小，然后利用导数求f（θ）的最小值，即可．【解答】解：（1）在Rt△FHM中，FM＝＝，∴S△FBC＝FM•BC＝×10＝，∵梯形ABEF的面积是△FBC面积的2.2倍，即S梯形ABEF＝2.2S△FBC，∴屋顶面积S＝2（S△FBC+S梯形ABEF）＝2×3.2S△FBC＝2×3.2×＝，．（2）在Rt△FHM中，FH＝HM•tanθ＝5tanθ，∴下部主体的高度为6﹣5tanθ，∴总造价y＝×600+（6﹣5tanθ）×9600＝9600×（+6﹣）＝9600×（+6），设f（θ）＝，要使总造价最低，则f（θ）最小，f'（θ）＝＝，令f'（θ）＝0，则sinθ＝，∵，∴θ＝，当θ∈（0，）时，f'（θ）＜0，f（θ）单调递减，当θ∈（，）时，f'（θ）＞0，f（θ）单调递增，∴当时，f（θ）取得最小值，故当时，总造价最低．【点评】本题考查函数的实际应用，涉及三角函数模型，以及利用导数解决最值问题，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AAB1B所成的角为30°，AE垂直BD于E．（1）若F为棱A1B1上的动点，试确定F的位置使得AE∥平面BC1F，并说明理由；（2）若F为棱A1B1上的中点；求点A到平面BDF的距离；（3）若F为棱A1B1上的动点（端点A1，B1除外），求二面角F﹣BD﹣A的大小的取值范围．【分析】（1）延长AE交CD于点M，在C1D1上取点N，证明AM∥A1N，利用平行线的性质分析即可得到答案；（2）将点A到平面BDF的距离转化为棱锥的高，然后再用等体积法即可求得点A到平面BDF的距离；（3）利用二面角的平面角的定义，先找到二面角的平面角∠FQP，然后设B1F＝x（0＜x＜2），求出平面角的正切值即可得到答案．【解答】解：（1）当时，AE∥平面AC1F，证明如下：延长AE交CD于点M，因为AD⊥平面ABB1A1，所以∠DBA就是直线BD与平面ABB1A1所成的角，即∠DBA＝30°，所以AD＝ABtan30°＝，由AE⊥BD，所以∠DAE＝30°，DM＝ADtan30°＝，在C1D1上取点N，使得，连结MN，A1N，因为，则，又A1F∥C1N，所以A1FC1N是平行四边形，则A1N∥FC1，D1N＝DM，D1N∥DM，则D1NMD是平行四边形，所以MN∥DD1∥AA1，MN＝DD1＝AA1，所以A1AMN是平行四边形，所以AM∥A1N，所以AM∥C1F，又AM⊄平面BC1F，C1F⊂平面BC1F，所以AM∥平面BC1F，即AE∥平面BC1F；（2）因为，所以，由长方体的性质可得，，所以BF2+FD2＝BD2，所以BF⊥DF，所以，设点A到平面BDF的距离为h，则由VA﹣BDF＝VF﹣ABD可得，，所以，故点A到平面BDF的距离为；（3）作FP⊥AB，垂足为P，作PQ⊥BD于Q，连结FQ，则FP⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以FP⊥BD，同理FP⊥PQ，因为FP∩PQ＝P，FP，PQ⊂平面FPQ，所以BD⊥平面FPQ，而FQ⊂平面FPQ，所以BD⊥FQ，所以∠FQP是二面角F﹣BD﹣A的平面角，设B1F＝x（0＜x＜2），则由BB1FP是矩形可得BP＝x，FP＝BB1＝1，则PQ＝BPsin30°＝，所以，又∠FQP是锐角，所以∠FQP，所以二面角F﹣BD﹣A的大小的取值范围为．【点评】本题考查了线面平行的性质定理与判定定理的应用，涉及了等体积法求点到面的距离、二面角的求解，综合性强，对学生综合应用知识分析问题和解决问题的能力有较高的要求．21．设曲线E是焦点在x轴上的椭圆，左、右焦点分别是F1，F2，且|F1F2|＝2，M是曲线上的任意一点，且点M到两个焦点距离之和为4．（1）求E的标准方程；（2）设椭圆上，判断以PF2（F2为椭圆右焦点）为直径的圆与以椭圆E的长轴为直径的圆的位置关系并说明理由；（3）设点N（λ，μ）为曲线E上确定的一个点，若直线