湖南省长沙市黄花中学高三数学理期末试题含解析

湖南省长沙市黄花中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设向量，，定义一种向量积：==．已知=，=，点在的图象上运动，点在的图象上运动，且满足=+（其中为坐标原点），则的最大值是

．参考答案：2.已知平面向量=（0，﹣1），=（1，1），|λ+|=，则λ的值为（）A．3 B．2 C．3或﹣1 D．2或﹣1参考答案：C【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据题意，由向量、的坐标可得的坐标，进而由向量模的计算公式可得1+（1﹣λ）2=5，解得λ的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（0，﹣1），=（1，1），则=（1，1﹣λ），又由|λ+|=，即，有1+（1﹣λ）2=5，解得λ=3或﹣1，故选：C．3.双曲线的两条渐近线夹角是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B.试题分析：根据题意可知，双曲线的渐近线方程是，其倾斜角为，故两渐近线的夹角是，故选B.考点：1.双曲线的标准方程；2.两直线的夹角.4.函数的单调递减区间为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略5.已知a>0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，a=A.

B.

C.1

D.2参考答案：B略6.集合{a，b，c}的子集的个数为（

）A．4

B．7

C．8

D．16参考答案：C集合有3个元素，所以子集个数共有个.故选C.7.

函数（0<a<1）的图像大致为下图的

（

）A

B

C

D参考答案：答案：A

8.在复平面内为坐标原点,复数与分别对应向量和,则=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略9.设是等差数列的前项和，若，则………………（） A． B． C． D．参考答案：A试题分析：根据等差数列的性质，结合着题的条件，设则，从而有，结合着等差数列的性质，可知成以为首项，以为公差的等差数列，故可以得出，，所以有，故选A.考点：等差数列的性质.10.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则当时，有A、

B、

C.

D、参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知命题p：m＜0，命题q：?x∈R，x2+mx+1＞0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是．参考答案：﹣2＜m＜0【考点】复合命题的真假．【分析】根据复合命题的真假性判断出命题p、q都是真命题，再逐一求出m的范围，最后求它们的交集．【解答】解：因为“p∧q”为真命题，所以命题p、q都是真命题，若命题q是真命题，则?x∈R，x2+mx+1＞0横成立，所以△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，又命题p：m＜0，也是真命题，所以实数m的取值范围是：﹣2＜m＜0，故答案为：﹣2＜m＜0．12.如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于点C，CD⊥AB于点D，则CD＝________.参考答案：略13.在环境保护部公布的2016年74城市PM2.5月均浓度排名情况中，某14座城市在74城的排名情况如图所示，甲、乙、丙为某三座城市．从排名情况看：①在甲、乙两城中，2月份名次比1月份名次靠前的城市是

；②在第1季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是

．参考答案：乙、二月份【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】由题意，乙的横坐标定义纵坐标，故在甲、乙两城中，2月份名次比1月份名次靠前的城市是乙；由第2个图可得在第1季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是二月份．【解答】解：由题意，乙的横坐标大于纵坐标，故在甲、乙两城中，2月份名次比1月份名次靠前的城市是乙；由第2个图可得在第1季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是二月份．故答案为乙、二月份．【点评】本题考查分布图，考查数形结合的数学思想，比较基础．14.已知等差数列的前项和为，则数列的前2015项和为

．参考答案：【知识点】数列的求和．D4

【答案解析】解析：∵数列{an}为等差数列，3a5=15，∴a5=5；又S5===15，∴a3=3；∴公差d==1，∴an=a3+（n﹣3）×d=3+（n﹣3）=n；∴==﹣，∴S2014=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．故答案为：．【思路点拨】依题意可求得等差数列{an}的通项公式an=n，利用裂项法得==﹣，从而可得数列{}的前2014项和．15.抛物线x2=2py（p＞0）上一点A（，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为，点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点，△OAB的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意一点，则的取值范围为．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】利用点在抛物线上，求出m，点A到准线的距离为，求出p，即可解出抛物线方程，设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），化简数量积，求解范围即可．【解答】解：因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或p=6．当p=6时，，故p=6舍去，所以抛物线方程为x2=y，∴，所以△OAB是正三角形，边长为，其内切圆方程为x2+（y﹣2）2=1，如图4，∴．设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），则，∴．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16.已知||＝3，||＝，⊥，点R在∠POQ内，且∠POR＝30°，＝m＋n(m，n∈R)，则等于_____________．参考答案：1略17.已知B为锐角，，则cosB=_________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知（Ⅰ）若，求使函数为偶函数。（Ⅱ）在（I）成立的条件下，求满足＝1，∈[－π，π]的的集合。参考答案：略19.（12分）（2009?朝阳区一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．（Ⅰ）求cosA，sinB的值；（Ⅱ）若，求a，b的值．参考答案：（Ⅰ）因为，，所以．由已知得．则=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，根据正弦定理，得．又因为，所以a=2，．20.已知动点P与双曲线的两焦点的距离之和为大于4的定值，且的最大值为9。（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若A，B是曲线E上相异两点，点满足，求实数的取值范围。参考答案：解：（Ⅰ）双曲线的两焦点.设已知定值为，则，因此，动点P的轨迹E是以为焦点，长轴长为的椭圆.设椭圆方程为.（2分），当且仅当时等号成立.（4分）.动点P的轨迹E的方程是.（6分）（Ⅱ）设，则由得：且M，A，B三点共线，设直线为l.（7分）①当直线l的斜率存在时，设，则得，恒成立.由韦达定理得将代入，消去得.（9分）当时，得.当时，，由得，，且.（12分）②当直线l的斜率不存在时，A，B分别为椭圆短轴端点，此时.（13分）综上所述，的取值范围是.（14分）略21.已知函数（1）求函数的定义域和值域；

（2）若有最小值－2，求的值.参考答案：（1）依题意得则，，

当时，；当时，的定义域是.当时，值域为当时，值域为.

（2）因为有最小值－2，由（1）可知且，

22.已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为（），直线l的参数方程为（t为参数）.（1）若，直线l与x轴的交点为M，N是圆C上一动点，求的最小值；（2）若直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径，求a的值.参考答案：（1）当时，圆的极坐标方程为，可化为，化为直角坐标方程为，即.直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为因为圆心与点的距离为，所以的最小值为.（2）由可得，所以圆的普通方程为因