山东省淄博市金城中学高三数学理期末试题含解析

山东省淄博市金城中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意的正数，，若，则必有

A．

B．

C．

D．参考答案：C2.已知等差数列的前项和为，若，则的值为（）A.B.C.D.参考答案：B3.设复数的共轭复数为，若（

）A.

1

B.

2

C.

D.

4参考答案：B略4.已知是两条不同直线，是三个不同平面，则下列正确的是(

)A．若∥∥，则∥

B．若，则∥

C．若∥∥，则∥

D．若，则∥

参考答案：D略5.设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得，（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：D设，则由余弦定理可得，-------------（1），，即，以上两式可得，即，----------（2）又由双曲线的定义可得，即--------------（3）由（1）（3）可得代入（2）可得，即，故离心率，应选答案D。点睛：解答本题的关键是构建关于参数的方程。求解时先运用余弦定理建立三个方程：，，，通过消元得到，进而求得双曲线的离心率，使得问题巧妙获解。6.已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为

（）A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.已知命题p：“，使得成立”为真命题，则实数满足()A．[－1,1)

B．(－∞,－1)∪(1,+∞)C．(1,+∞)D．(－∞,－1)参考答案：B8.半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3 B．πR3 C．πR3 D．πR3参考答案：A【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．【解答】解：2πr=πR，所以r=，则h=，所以V=故选A【点评】本题是基础题，考查圆锥的展开图与圆锥之间的计算关系，圆锥体积的求法，考查计算能力．9.等差数列的前项和为，，且，则的公差（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A10.两个非零向量a，b互相垂直，给出下列各式：①a·b＝0；②a＋b＝a-b；③|a＋b|＝|a-b|；④|a|＋|b|＝a＋b；⑤（a＋b）·（a-b）＝0．其中正确的式子有（）A．2个B．3个C．4个D．5个参考答案：答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线y=和曲线y=x2围成的封闭图形的面积为．参考答案：【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先确定交点坐标，可得积分区间，再利用定积分求面积即可．【解答】解：由曲线y=和曲线y=x2可得交点坐标为（0，0），（1，1），则曲线y=和曲线y=x2围成的封闭图形的面积为S=（﹣x2）dx=（﹣）=．故答案为：．12.设f（x）=，a，b∈R，ab≠0.若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则①f（）=0．②|f（）|＜|f（）|．③f（x）既不是奇函数也不是偶函数．④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．以上结论正确的是______(写出正确结论的编号）．参考答案：①，③略13.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,a=1,b=,B=60°,则c=

。参考答案：214.B.（几何证明选讲选做题）如图，是的外接圆，过点的切线交的延长线于点，，，则的长为

.参考答案：15.函数f(x)＝log2(2x－1)的定义域为________________.参考答案：略16.数列{an}中，an＝2n－1，现将{an}中的项依原顺序按第k组有2k项的要求进行分组：（1，3），（5，7，9，11），（13，15，17，19，21，23），…，则第n组中各数的和为

．参考答案：4n3设数列{an}前n项和为Sn，则Sn＝n2，因为2＋4＋…＋2n＝n(n＋1)＝n2＋n，2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)＝n2－n．所以第n组中各数的和＝Sn2＋n－Sn2－n＝(n2＋n)2－(n2－n)2＝4n3．【说明】考查等差数列前n项和．17.函数f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为

．参考答案：2x﹣y﹣e=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=e时的导数值，然后由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1，则f′（e）=lne+1=2，又f（e）=e，∴函数f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为y﹣e=2（x﹣e），即2x﹣y﹣e=0．故答案为：2x﹣y﹣e=0．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，矩形ABCD所在平面与直角梯形CDEF所在平面互相垂直，其中∠EDC=∠DEF=，EF=ED=CD=1，AD=．（1）若M为AE的中点，求证：EC∥平面BDM；（2）求平面ADE与平面ACF所成锐二面角的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】整体思想；定义法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）若M为AE的中点，根据线面平行的判定定理即可证明EC∥平面BDM；（2）根据二面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求平面ADE与平面ACF所成锐二面角的大小．【解答】（1）证明连接：设AC交BD于P，连接PM．三角形ACE中，M为AE中点，P为AC中点，∴CE∥PM．∵PM?平面BDM中，CM?平面BDM中，∴CE∥平面BDM．（2）延长CF和DE交于G，连接AG．作三角形AG边上的高DN，连接CN．∵CD⊥AD，CD⊥DG，∴CD⊥平面ADG，∵AG?平面ADG，故CD⊥AG．∵DN⊥AG，∴AG⊥平面CDN．则CN⊥AG．则∠CND是二面角的平面角，∵EF=ED=CD=1，AD=．∴DG=2，AG=．∵sin∠DGN=，∴DN=．则tan∠CND==，故∠CND=60°．即平面ADE与平面ACF所成锐二面角的大小60°．【点评】本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解，根据相应的定理以及二面角平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．本题也可以建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解．19.（14分）在数列中，，当时，其前项和满足．（1）求；（2）设，求数列的前项和．

（3）是否存在自然数m，使得对任意，都有成立？若存在求出m的最大值；若不存在，请说明理由。参考答案：解析：（1）当时，，∴，∴，∴，即数列为等差数列，，∴，∴.……4分当时，，（2）=，

……9分

（3）

而是单增数列，其最小值为因此即存在自然数，使得对任意n∈N*，都有成立，且的最大值为9.

…………14分

20.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，点(n，Sn)都在函数f(x)＝2x2－x的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，且数列{bn}是等差数列，求非零常数p的值；(3)设cn＝，Tn是数列{cn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.参考答案：(1)由已知，对所有n∈N*，Sn＝2n2－n，所以当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3，因为a1也满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3(n∈N*)．(2)由已知bn＝，因为{bn}是等差数列，可设bn＝an＋b(a、b为常数)，所以＝an＋b，于是2n2－n＝an2＋(ap＋b)n＋bp，所以因为p≠0，所以b＝0，p＝－．(3)cn＝＝(－)，所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)．由Tn<，得m>10(1－)．因为1－<1，所以m≥10.所以，所求的最小正整数m的值为10.21.(本题满分14分)

设函数.

(1).求函数f(x)的最大值和最小正周期.

(2).设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，，求sinA.参考答案：解：（1）

＝＝

所以函数f(x)的最大值是，最小正周期为。（2）==,

所以,又C为ABC的内角

所以,又因为在ABC中,

cosB=,

所以

,

所以

。22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上，半径为4的圆位于轴右侧，且与轴相切．

（I）求圆的方程；

（II）若椭圆的离心率为，且左右焦点为．试探究在圆上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．参考答