辽宁省锦州市第十七中学高三数学理联考试卷含解析

辽宁省锦州市第十七中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设i是虚数单位，复数在复平面内表示的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A考点： 复数代数形式的乘除运算．

专题： 数系的扩充和复数．分析： 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求出复数所对应点的坐标得答案．解答： 解：∵=，∴复数在复平面内表示的点的坐标为（3，1），在第一象限．故选：A．点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知函数，则下列结论正确的是（

）A.的最大值为1 B.的最小正周期为2πC.的图像关于直线对称 D.的图像关于点对称参考答案：C【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可．【详解】函数=sin（2x）+1对于A：根据f（x）＝sin（2x）+1可知最大值为2；则A不对；对于B：f（x）＝sin（2x）+1，T＝π则B不对；对于C：令2x=，故图像关于直线对称则C正确；对于D：令2x=，故的图像关于点对称则D不对．故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．4.下列函数中周期为且图象关于直线对称的函数是（

）（Ａ）

A． B．

C．

D．参考答案：C略5.复数（是虚数单位）的虚部是（

）A．

B.

C．1

D.参考答案：C6.某高中共有2000名学生，其中各年级男生、女生的人数如下表所示，已知在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级中应抽取的学生人数是（

）

高一高二高三女生373mn男生377370pA.8

B.16

C.28

D.32参考答案：B7.已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为（

）参考答案：B略8.数列满足则的前100项和为A．25 B．0 C．—50 D．—100参考答案：C9.下列命题中，为真命题的是

（A）,使得.

（B）.

（C）.

（D）若命题：，使得，则：,.参考答案：D10.已知等差数列{an}满足a3+a13﹣a8=2，则{an}的前15项和S15=（）A．60 B．30 C．15 D．10参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列通项公式求出a1+7d=a8=2由此能求出{an}的前15项和S15．【解答】解：∵等差数列{an}满足a3+a13﹣a8=2，∴a1+2d+a1+12d﹣（a1+7d）=2，即a1+7d=a8=2∴{an}的前15项和S15===15a8=30故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下面四个命题：①函数的最小正周期为；②在△中，若，则△一定是钝角三角形；③函数的图象必经过点（3，2）；④的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称；⑤若命题“”是假命题，则实数的取值范围为； 其中所有正确命题的序号是

。参考答案：略12.若实数x，y满足条件，则的最大值为

参考答案：113.若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件则实数m的取值范围为_____▲_________参考答案：略14.已知，，，则在方向上的投影为

．参考答案：﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量模的公式和向量的平方即为模的平方，可得?，再由在方向上的投影为，计算即可得到所求．【解答】解：=（，），||=1，|+2|=2，可得||=1，|+2|2=4，即为2+4?+42=4，即有1+4?+4=4，?=﹣，可得在方向上的投影为=﹣．故答案为：﹣．15.等差数列{an}中，若a1=2，an≠0，nan+1﹣an2+nan﹣1=0（n≥2），则an=，=

．参考答案：2n，2016【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列的性质进行化简推导即可得到结论．【解答】解：设公差为d，则由nan+1﹣an2+nan﹣1=0得n（an+1+an﹣1）=an2，即2nan=an2，∵an≠0，∴an=2n，当n=1时，a1=2满足an=2n，则an=2n，则公差d=2．则==a1+1007d=2+1007×2=2016，故答案为：2n，2016【点评】本题主要考查等差数列性质的应用，根据数列的递推关系求出数列的通项公式是解决本题的关键．16.已知，，若，则

．参考答案：117.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设以上、下底面各边中点为顶点的正四棱柱为P,以左、右侧面各边中点为顶点的正四棱柱为Q，则正方体体对角线AC1在P、Q公共部分的长度为

.参考答案：

画出图像如下图所示，根据正四棱柱的对称性可知在，公共部分的长度，也即是在内的长度，，设在，公共部分的长度为，由平行线分线段成比例和正方形的对称性得，故.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知BC为圆O的直径，点A为圆周上一点，AD⊥BC于点D，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，过点B作BE垂直PA的延长线于点E．求证：（1）PA?PD=PE?PC；（2）AD=AE．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明△APD∽△BPE，可得AP?PE=PD?PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB?PC，两式相除，即可证明PA?PD=PE?PC；（2）连接AC，DE，证明A，D，B，E四点共圆且AB为直径，即可得出AD=AE．【解答】证明：（1）因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以△APD∽△BPE，所以，所以AP?PE=PD?PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB?PC，所以=，所以PA?PD=PE?PC；（2）连接AC，DE，因为BC为圆O的直径，所以∠BAC=90°，所以AB⊥AC．因为=，所以AC∥DE，所以AB⊥DE，因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以A，D，B，E四点共圆且AB为直径，因为AB⊥DE，所以AD=AE．19.（本小题满分12分）已知函数（）．(I)若的定义域和值域均是，求实数的值；(II)若在区间上是减函数，且对任意的，，总有，求实数的取值范围．参考答案：∵（），∴在上是减函数又定义域和值域均为，∴，即，解得．(II)

∵在区间上是减函数，∴，又，且∴，．∵对任意的，，总有，∴，即，解得，

又，∴．20.（本小题满分12分）设平面向量＝(m,1)，＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}．(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；(2)若“使得⊥(－)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．参考答案：(1)有序数组(m，n)的所有可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．(2)由am⊥(am－bn)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝＝.21.

（10分）坐标系与参数方程已知圆系的方程为x2+y2-2axCos-2aySin=0（a>0）

（1）求圆系圆心的轨迹方程;

（2）证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值;参考答案：解析：（1）由已知圆的标准方程为：（x-aCosφ）2+（y-aSinφ）2=a2（a>0）设圆的圆心坐标为（x,y）,则（为参数）,消参数得圆心的轨迹方程为:x2+y2=a2,（5分）

（2）有方程组得公共弦的方程:圆X2+Y2=a2的圆心到公共弦的距离d=，（定值）∴弦长l=（定值）（5分）22.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠PCD＝90°，PA