全等三角形在初中数学中的应用毕业论文

曲靖范学本科生毕业论论文题:全等三形的证在初中学中的用学院、年级数学与信息学学院2011级学科、专业数学

数学与应用学指教：罗红完期：年5月日1

曲靖师范学教务处全等三角的证明在初数学中的应用摘“全等角形的证明是在初数学平面几中占重内容之一，研究图性质的基础，且在近几年中考中有出现，新标的要“探索掌握个三角全等的条件因此掌三角全等的明及运用方对初中来说至关重。其证方法繁多，巧性强，有定的通，所以研究围极广难度极大．文整理归纳了全等三角证明的步骤其注意项分别列了几种常用全等三形的明方法让每一种法兼有理论实践性旨在使学对全等三角证明及应用问题有个较为深入的解，进而在决相关等三角形问时能融贯通举一三，到事半倍的效果同时为从事育的工者提供参考关键词全等三角；初中学；法；应Provecongruenttrianglesusedinjunior

thetriangleproofsforimportantcontentsinjuniorschoolmathematicsgeometry,isthegraphnaturetheyearsallrequestis“exploresgraspstwotrianglesentireandsoonthecondition”,thereforegraspingentireandtheproofsaidsincebirthtojuniorschoolmethodthetrianglemattersthetriangleproofmethods,leteachtoproveapplicationentirewhenandontheachievethrough2

studyasubject,achievedthetheresultwitheducationprovidesKeyandmathematics;目

录1引言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12文献综述„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12.1国内究现状„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2.2国内究现状价„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2.3提出题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3证明全等三角的知识理及注意事„„„„„„„„„„„„„„„„„„3.1全等三形的知梳理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„23.2证明全等三角的步骤注意事项„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„44证明全等角形的构造„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4.1构造等三角的常用方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

5截长补短法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5平行线法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6旋转法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

6倍长中线法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7翻折法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

84.2由角平分线构全等三形„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4.3添加辅助线构全等三形„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„直接证明段（角）相„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„转移线段一个角形中明线段相等„„„„„„„„„„„„„„„„„转移线段一个角形中明线段不等系„„„„„„„„„„„„„„„5全等三角形的明在初数学中的应„„„„„„„„„„„„„„„„„„6总结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3

6.1主要现„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6.2启示„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6.3局限„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„196.4努力向„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„参考文„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4

1引言“全等角形”是初数学阶的“图形与何”中重要内容之，它不是研究平几何相关问的重要具,而且还是中数学的础知识.然而，等三角的性质推理线段相和角相的重要手段一每年各地的考题中会有“全等角形”内容,考试目常以角三角形、腰三角、等边三角、特殊边形为背景,主考查线相等、角相的证明线段长度的算、面的计算等常考的型有填空、选择题和答题这部分试题的难度常不大多中低档题为，约占分值的11%.《学课程准对全等角形的要求让学生握基的推理能，从图形换中建立空观念，试用不同角的方法解决问题，展几何觉，通过观察实践、归纳类比、断、验证获数学思，体验数学动的探性和创造性，受证明的抽性和严性.对于全三角形的研，实际平面几何中封闭的个图形之间系研究第一步，是两三角形最简单最常见的关“全等三角形证明”件是学生在识三角的基础上，了解全图形和全等角形以进行学习的.它既前面所知识的延与拓展，又后继学探索相似三形的条的基础，并是用以明线段相等、角相等的重依据因此，它具有承上下的作,同时人教版材里叙述了证明等三角形的种方法分别是“边边边角边角边角角角边还有一特殊的方法在直角角形中“斜和一条角边，们用定的字表示为“SSS“AASHL”要将“边边”这识别方法作五个基本判定一，对全等角形证的学习有基作用.2文献综2国研现国内许专家、学者究过全三角形的证方法.全等三形的证一直在初中数学平几何中占重位置，而，近几年获得了大人民群众关注.建东在文[1]编著了构造等三角来探究不等的证明形象的写出全等三形的作用及其应.同，好未来研中心在[研发了添加了助线的加方法，全三角形的用处，并配合人社教材年级数学叙了不仅让学生学会边角边这一全等三角的识别方法更主要是要让学生握研究题的方法，步领悟类讨论

的数学想.同时，要让生感受数学来源于活，又务于生活的本事实从而激发生学习数学兴趣杨晓军在文[3]中精选有关全三角形的中题进行析，让学们找到中复习方，引领学生功中考林伟杰文4]全析了等三角形的性、判定及其用.刘申在文[5]编著了等三角形在活中的用，从生活中的同角度研究全等三形，发现数在现实活中的美.强在文[6]提了《全等角形》的教构想，出了如何确教学目，教学重难.喻鹏在文[7]中，编了全等三角的易错，并结合实列举了中数学中全三角形若干案例，分出了学生在关全等角形的证明题过程存在的各种题.刘玉、董云霞查贵在文[8][9][10]探讨了构造等三角的方法与技.文国在文[11]中总结全等三角形创新题让读者以创思维思全等三角形证明.明华在文[12]讨论全等三形中探索题让学生感受明全等角形的探索和创新，并且辅学生掌握全三角形证明的方法.怀奎在文[13]中出如何基本图形的认识找全等三角，从基的图形认识始发现等三角形解广义在文14]进行了全三角形的教设计，动形象的设了全等角形证明的学过程.姜彰全,吴颖二在文讲解了何巧全等三形，淋漓尽地写出全等三角形证明技巧2国研评从查到国内文献来，国内究者对全等角形的明方法介绍很多，献[1-15]分全等三角形性质、同证方法及用作了论述文献中述一种或几全等三形的证明方，一些献写理论较，一些献写例子较，理论少，而且许多法有名称不而本质样的情形，构造法形式上都是据三角的性质来进行解求解的，不同的形有不同的造方法所以，有必重新整和归纳全等三形证明方法让每一方法兼具理与实践.2提问全等三形的证明问，就其法而言，没定法可，有较大的活性和巧性，而全等三角形证明历是中学特别初中数教学的一个点和难.因此，在前人究全等三角的证明法的基础上试图完地整理出常的几类法，使之系统，并在此基上探寻的证明方法.

3证明全三角形的识梳理及意事项3全三形识理定义：够完全重合两个三形称为全等角形（：相似三角的特殊况是全等角形）.当两个角形完全重时，互重合的顶点做对应点，互相重的边叫对应边，相重合的角做对应.所以，以得出：全三角形对应角相等对应边等.(1)全等三形对应所对的角是应角，条对应边所的角是应角；(2)全等三形对应所对的边是应边，个对应角所的边是应边；(3)公共边，公共边一是对应；(4)公共角，公共角一是对应；(5)对顶角，对顶角一是对应；三角形等的判定公及推论1、三对应边分别等的两三角形全等称“边边边或“)这一条说明了角形具有稳性.2有两边及其角对应相等两个三形全等(“边角”或“”).3有两角及其边对应相等两个三形全等(“角边”或“”).4有两角及其角的对边对相等的个三角形全(“角边”或“5、角三角全等条件有斜边及一直边对应等的两个直三角形等“斜边，直边”或“HL”).所以SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判三角形等的定理.注意：全等的判定，没有AAASSA，这种情况不能唯一确三角形形状.【是英文角的写angle)，S是英文边的缩side)全等三形的性质1全等三角形对应角相等对应边等.2全等三角形对应边上的对应相.3全等三角形对应角平分相等4全等三角形对应中线相.

5全等三角形积相等.6全等三角形长相等

.3证全三形步及意项如何学全等三角形证明呢这就要小步，勤思，进行由易难的训，实现由（题目已有成图形到虚（要自画图形需要添加辅线）、模仿证明到独推理的升华.体可分三步：第一步，学解决只一次全等的单问题，在模仿期间要注意课本题证明模仿使自己证明语言准，格标准，过程简.证两个三角形等，一要写出在哪个三角，这既为以在复杂形中有意去寻找需要全等三形打下基础更方便阅者；同时注意顶的对应，以防对关系出错；全等所的三个条件条件不显的要先证，最后大括号括起来；每步要填注理，练思维严密性.通过训练段时间，对证明向明确内容变少的题目，能熟练独立思考证，切实出坚实的第步第二步能在一个题中用两次全证明过性结论和最结论，会分析.学习等腰角形全等、直三角形时逐加深难，学会一个目中证次全等，特要学会分析法有条不地寻找证题径，分法目的性强条理清，结合综合，能有解决较复杂的目.同时，时的目一般不只一种解，要求题多解，比优劣，结规律.第三步学会命的证明，掌添加辅线的用方法.题的证可全面培养数学语（包括图形言）的用能力，则已知和知间架起一沟通的梁就要用到辅线，这都有定的难，切勿前功弃，放努力.时要熟一些本图形的性质如“角平分＋垂直全等三角形明全等外乎要边等角等的件，因此在时学习中就积累存或可推出边（或线等）、角等情况.用起来自然会得应手.4证明全三角形的造法所谓构法，就是指过分析件和结论充细致，住问题的特，恰当构造辅助素，联想熟的数学型，然后变命题，此架起一座接条件结论的桥梁，而使问题得解决的学思考方法构造法质上是化归想的运，但它常常表现精巧、简捷明快、颖等特点，数学解突破常规，有很强创造性4构全三形常方

截长补法、平行线（或平法）、旋转、倍长线法、翻折.411截长补短法通常用证明线段和相等）“截长”即根据已条件把论中最大的段分成段使其一段与短线相等然后证余下的线段另一条段相等的方．补短法为把两条线中的一条接长为一条长线，后证明成的线段与长的线相等或是一条较的线段加长使它等于较的一段然后证明加的那部与另一较短线段相.例如图（1）已：正方中，的平分交于，证：.简析：中没有直接出与问有关的全等角形，以要延长一直线，造出全等三形，根据角等证明三角形是等三角形然后利用转思想，可以证明出结果证明长至使∵是的分线∴在和中∵∵∵∴∴∴是等直角三角形∴∴∴小结：段的和差问常常借于全等三角的对应相等，将不一条直的

两条（几条）线段化到同直线上．证一条线等于另两条段之和差）常见的方是：延长其一条短段，在上面截取另条短线段，证明它与长线段相等这种方法叫补短法在长段上截一条段等于线段，再证余下的线段等另一条短线，这种法叫“截长证明两线段的和（）等于一条线段的用方法就是两种．412平行法（或移法）若题目含有中点可试过中作平行线或位线平行且等于三边的半），对直角角形,有时可作出斜边中线．例如图，在中，平分交点，平分交，求证:图3说明(1)题可以截取，，构造全等角形，“截长补短．(2)题利用平行法”的法较多，举如下：①如图（2）过作交于，证明解．②如图（3）过作交于，于，则明和解决．③如图（4）过作交的延线于，需证明解决④如图（5）过作交于点则只需明解决．413旋转对题目出现相等的段有一公共端点时可尝试旋转法来构全等三形例3如图设点为等边角形内一点，试比线段与大小．图（）简析：目虽然短，涉及到知识点很多由于是边三角形，以可以绕点旋转的位置（用等量代，连结则，所以，则是边三角形，，在中因为，以．说明：于图形旋转前后，是变化了位，而大和形状都没改变，以对于等三角形、正形等特的图形我们以利用转的方法构全等三形解题．414倍长线法题目中条件有中线可将其长一倍，以造新的等三角形，而使分条件集中一个三角形．例4如图在中，是它中线，交于点，使说明线段与相等的由．

图（简析：由是中线于是可延长线到，，连结，则在和中，以，则而，所以，因为，所以即．说明：要说明线或角相等，常的思是说明它们在的两三角形全等而遇到中时又通常通延长中来构造全等角形．415翻折若题设含有垂线、的平分等条件的，以试用对称性质，轴翻转形来构造等三角形．例5如图已知：在中如果，

求的面．图（）解以为轴翻转º得到与全等的以为轴将转180得到与它全等的、延长线于G，易证四形是正形，它的边为，则，在中,得，则所以．说明：从题目已知不能直明确的求出题时，们可以从一图形通翻转转变特殊的图形用简便方法求解，换可以一步或几步4由平线造等角不管是个图形轴对还是轴称图形，我都不难现轴上一点此点作顶点）与应点组成的被轴平，方便我们做题中果遇到角平线我们会联想到，以平分线为轴造对称全等，从而线段、转移达到解目的．例如图，等腰形中翻折梯，使点与重合折痕分交于点若求的长．

..图（）

图（解：由意得根据翻重合，得，在中，∴∴，即在等腰梯形，AD=4BC=10过作，于，如图（10，四边形是矩形在和Rt∴(HL)∴∴∴．说明：角平分线构全等三形，这类题很简单，可以根据平分线的点到边的距离相，就构出直角三角，进而称轴就是公边，就以用HL证明全三角形.4添辅线造等角在证明何图形题目过程中通常需要先过证明等三角形来究转移段或角，者两条线段角的相关系。但有时候，样要证明的等三角在题设中，并是十分明显针对这的题型我们要通过加辅助线，造出全三角形，进而就以证明所需结论.在这里我尝试通过个典型题让大家了添加辅线构造全等角形的法.当然这例题体现了加辅助的方法是从单到复，从特殊到般，研线段的长短关是体现了从相等到等的递进关注意：加的辅助线是用虚表示.431直接明线段角）相等

[2]例如图，已知，证(2)若，试想与大小关.如图（）简析：（1）小问虑到在没有习等腰角形的时候要证明个角相等，常需要明它们所在两个三形全等。本要证明在题目的已条件中显缺少

全等的角形，我们要想到加辅助线连后，以为公共边，据题目已知条件可以出，进而就明如果在学习腰三角的知识后还以连结通过说明等对等角再用角的等代换关得到更加简第（小问猜，在连证明，得到再证明，进证明.如何添辅助线方法加辅助线连结证明，而法2添辅助线连接因为，以．，ABDCBD，即.因为，故，进而.小结：过例7们初步会添加助线的必要，例7的两小问的析，从添加辅线证明一次等三角得角相等，后到添辅助线证明次全等角形得线段相，我们可以觉到问层次的递进特别是例中果、、共线的时候可以得等边对等角结论，第（2）问做铺垫.432转移段到一三角形中证线段相例如图，已知是中线，交于点，交点，且.求：.图（）简析：证，我们可把线段转移到它们在的三形中，然后明这两三角形全，显然图中有直观给出含有、两个全三角形图形但我们以根据题目条的去构造两含有、全等三角形并不是容易，这时们就要新思考一条出，想到在同个三角中等角对等，这时够把两条线转移到一个三角形中我们只要说转移在一个三角形的这两线段所对的相等就以了简析：路以为础三角形，转移线，这两条段在.法一：延长，使，连，再证明和等，可.通证明，可得到.图（）证明：加辅助线延到，使连结∵是中∴在△和∴(SAS)∴，∵

∴又∵∴∴法二：以过点作平与的延线相交于点证明和等.小结：于含有中线全等三形问题，可通过“长中线”法到两个等三角形但是过一点己知直的平行线，起到转角的作用，起到构全等三角形的作.思路以为基础三角，转移段，使、在个全等角形中.法三：加辅助线延至，使然后连结，明和全.图（）证明：长至，使，结∵是中∴在和中∴(SAS)∴∵∴又∵∴∴∴法四：点作平行与延长线交于点，证△和△等.小结：过添加辅助的方法题多解，我可以体到添加辅助目的在构造全等角形.而从不同途径来以有不同的加方法实际是实现段的转体会构造全等角形在线段移中的位.变换的念可以到，不论是平行线还是倍长中线，实质都是个以中为旋转中心三角形转变换构造全等.熟悉法、法三“倍中线”的辅助线所到的基图形“八字”和“长

中线”种基本添加助线方，倍长中线或者倍过中点的一线段以的对于解决含过中点线段证明全三角形的方有技巧寻.图（）433转移段到一三角形中证线段不关系例如图，已是的中，求证：.简析：例8的辅助线添加方，学识别基图形，并利它们去决不等关系的题、在同一三角中，如能将中线倍，转移可在同一个角形找出与相关的段，再利用角形两之和大于第边可以简单的解决图（）证明：加辅助线延至，使连接．∵是的线，在和中∵∴（SAS∴在中，∴.5全等三形的证明初中数学中应用例（2014云南省中考）如图，在中，与交于，求证图（17简析可根据“”证明角形三角形等，这里要到化归想，要证明线段相可以化归为明三角全等，由全三角形性质可证明证明：和中，∴（∴

说明：题考查了证段相等归为证全等角形，全等三角形判定是合全等三形的性质证线段和相等的重要具．在定三角形全时，关是选择恰当的定条件．例11（年曲靖中考)如图，于点，点.）求证2）已知求的长图（简析：（问在和中，已知，还有组直角相等现在我可以找一条应边用“SAS”明全等角形或者是一个对角用“AAS”证明，这时就根据已知条件去，哪个方便用哪个由已知条件以根据角的余角相来证明.证明：图，∵∴又∵∴又∵，∴在和中∴（简析：（2）问本求的长，从观上看能用简便的法求，以把放到两相似的角形中，可通过证个相似三角来求.解：∵∴∴∵，

∴∴设，则∴∴即说明：个题把全等角形和似三角形有的结合一起考学生对学生意识的进选拔，也对生高要，它着重强全等三形和相似三形的相点和不同点，学生能区分，这类型在中考中算是中度的题了例12（2013上海市考题）如图在△中点为边中点，交于，交的延长线点．求证：图（19简析：证，题目中们不能直观证明它相等，要先化证明行四边形再证全三角形，通两对边别平行的性证明四形是平行四形，然把边和放在和，证明这两三角形等，进而就以证明.证明：∴

，四边形平行四边形∴,∴

和是直三角形又∵是角三角形，为的中∴∴在和中∴(HL)∴说明：何图形之间段与角关系是有联的，但要对每个图的性质握，才能搭桥梁，建立系.

例(2012年南省中题)如图，中点是边上的点，，过点交于点.求图（）简析：目中给得每已知条都是关键，直角三形就想到用HL”但是已知条件没有明确给斜边，以我们要另出路，据

用“来证明证明：∴又∵∴在和中∴(AAS)说明：明全等三角的方法多种，关键要根据知条件去找与边、与角之间对应关系.例14（2011福建福州中考）如图，于于点,于点且.求证图（21）简析：目中给得每已知条都是关键，直角三形就想到但是知条件中有明确给出边中还有一个含的条对顶所我们可选择ASA”来证明全.证明∵，∴在和中(ASA)∴

说明：做几何图形题目时即要抓住它的每个知条件，又从题目图形中掘出隐含的件，这炼我们的发思维和合应用能力.6结论6