人教A版选择性必修第三册8.2一元线性回归模型及其应用作业

一元线性回归模型及其应用(15分钟35分)1．关于残差图的描述错误的选项是()A．残差图的横坐标可以是样本编号B．残差图的横坐标也可以是解释变量或响应变量C．残差点分布的带状区域的宽度越窄打算系数越小D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小【解析】选C.残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，那么残差平方和越小，此时，打算系数R2的值越大，故描述错误的选项是选项C.【加练·固】方程x－82.71是依据女高校生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体(160，53)的残差是________.【解析】将x＝160代入x－82.71，得＝0.85×160－82.71＝53.29，所以残差＝y－＝53－53.29＝－0.29.答案：2．假设某地财政收入x与支出y满意回归方程＝x＋＋ei(单位：亿元)(i＝1，2，…)，其中＝0.8，＝2，|ei|＜0.5，假如今年该地区财政收入10亿元，年支出估计不会超过()A．10亿元 B．9亿元C．10.5亿元 【解析】选C.＝0.8×10＋2＋ei＝10＋ei，由于|ei|＜0.5所以9.5＜＜10.5.3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费用的时间，为此进行了5次试验，依据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程x＋40.2.零件数x(个)12345加工时间y(min)50677179表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为()A．55 B． C．59 【解析】m.由表中的数据可得eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(50＋m＋67＋71＋79,5)＝eq\f(267＋m,5)，又由回归直线的方程为x＋40.2，所以eq\f(267＋m,5)＝7.8×3＋40.2，解得m＝51.即表中模糊的数据为51.4．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的打算系数R2分别如下表：甲乙丙丁R2哪位同学建立的回归模型拟合效果最好()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解析】R2越大，表示回归模型的效果越好．5．在讨论两个变量的相关关系时，观看散点图发觉样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的四周，令z＝lny，求得回归直线方程为x－2.58，那么该模型的回归方程为____________．【解析】由z＝lny，x－2.58，得lnx－2.58，所以＝ex，故该模型的回归方程为＝ex.答案：＝ex6.某城市理论猜测2016年到2020年人口总数(单位：十万)与年份的关系如下表所示：年份2016＋x01234人口总数y5781119(1)请画出上表数据的散点图；(2)请依据上表供应的数据，用最小二乘法求出y关于x的阅历回归方程＝x＋；(3)据此估量2021年该城市人口总数．(参考数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30)【解析】(1)依据题中数表画出数据的散点图如下图：(2)由题中数表，知eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(0＋1＋2＋3＋4)＝2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)(5＋7＋8＋11＋19)＝10，所以＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\x\to(x)2)＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)x＋3.6；(3)当x＝5时＝3.2×5＋3.6＝19.6(十万)＝196(万).估量2021年该城市人口总数约为196万．(30分钟60分)一、单项选择题(每题5分，共20分)1．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，那么以下模型拟合精度最高的是()【解析】选A.用残差图推断模型的拟合效果，残差点比拟匀称地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比拟相宜．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．2．在生物学上，有隔代遗传的现象．某数学老师的体重为62kg，他的曾祖父、祖父、父亲、儿子的体重分别为58kg、64kg、58kg、60kg.假如体重是隔代遗传，且呈线性相关，依据以上数据可得解释变量x与响应变量的回归方程为＝x＋，其中＝0.5，据此模型猜测他的孙子的体重约为()A.58kg B．61kg C．65kg D．68kg【解析】选B.由于体重是隔代遗传，且呈线性相关，那么取数据(58，58)，(64，62)，(58，60)，得eq\x\to(x)＝eq\f(58＋64＋58,3)＝60，eq\x\to(y)＝eq\f(58＋62＋60,3)＝60，即样本点的中心为(60，60)，代入＝x＋，得＝60－0.5×60＝30，那么x＋30，取x＝62，可得＝0.5×62＋30＝61kg.故猜测他的孙子的体重约为61kg.【加练·固】5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G技术开展快速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G，现调查得到该款5G上市时间x和市场占有率Y(单位：%)的几组相关对应数据．如下图的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，依据数据得出Y关于x的阅历回归方程为x－．假设用此方程分析并猜测该款市场占有率的变化趋势，那么最早何时该款5G市场占有率能超过0.5%(精确到月)()A.2020年6月 B．2020年7月C.2020年8月 D．2020年9月【解析】选C.依据表中数据，得eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)(0.02＋0.05＋0.1＋0.15＋0.18)＝0.1，所以0.1＝0.042×3－，＝0.026，所以阅历回归方程为x－0.026，x－0.026＞0.5，得x≥13，估计上市13个月时，即最早在2020年8月，市场占有率能超过0.5%.3．各地医疗机构针对某种疾病实行了各种的治疗方法，取得了不错的成效，某地开头使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：周数(x)12345治愈人数(Y)21736103142由表格可得Y关于x的非线性阅历回归方程为＝6x2＋a，那么此回归模型第4周的残差(实际值与猜测值之差)为()A．5 B．－13 C．13【解析】eq\x\to(x)2＝eq\f(1,5)(1＋4＋9＋16＋25)＝11，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)(2＋17＋36＋103＋142)＝60，所以a＝60－6×11＝－6，那么Y关于x的非线性阅历回归方程为＝6x2x＝4，得＝6×42－6＝90，所以此回归模型第4周的预报值为90，那么此回归模型第4周的残差为103－90＝13.4．x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设依据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，假设某同学依据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y′＝b′x＋a′，那么以下结论正确的选项是()A．＞b′，＞a′ B．＞b′，＜a′C．＜b′，＞a′ D．＜b′，＜a′【解析】选C.过(1，0)和(2，2)的直线方程为y′＝2x－2，画出六点的散点图，回归直线的也许位置如下图，明显，b′＞，＞a′.二、多项选择题(每题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)5．对于回归分析，以下说法正确的选项是()A．在残差图中，纵坐标表示残差B．假设散点图中的一组点全部位于直线＝－3x＋2的图象上，那么相关系数r＝1C．假设残差平方和越小，那么打算系数R2越大D．在回归分析中，变量间的关系假设是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定【解析】选ACD.对于A，在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估量值等，所以A正确；对于B，散点图中的一组点全部位于直线＝－3x＋2的图象上，那么x，y成负相关，且相关关系最强，此时相关系数r＝－1，所以B错误；对于C，假设残差平方和越小，那么残差点分布的带状区域的宽度越窄，其相关性越强，打算系数R2越大，所以C正确；对于D，回归分析中，变量间的关系假设是非确定关系，即变量间的关系不是函数关系，因变量不能由自变量唯一确定，所以D正确．6．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…(xn，yn)，那么正确的说法是()A．假设求得的回归方程为x－0.3，那么变量y和x之间具有正的线性相关关系B．假设这组样本数据分别是(1，1)，(2，1.5)，(4，3)，(5，4.5)那么其回归方程＝bx＋a必过点(3，2.5)C．假设同学甲依据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为E1E2＝2.1，那么模型1的拟合效果更好D．假设用打算系数R2来刻画回归效果，回归模型3的打算系数Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝0.32，回归模型4的打算系数Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝0.91，那么模型3的拟合效果更好【解析】选ABC.对于A：依据求得的回归方程为x－0.3，中的斜率为正，得出变量y和x之间具有正的线性相关关系；故A正确，对于B：样本中心点在直线上，故B正确，对于C：残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故C正确，对于D：打算系数R2用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，R2越接近于1，说明相关性越强，相反，相关性越小，因此R2越大拟合效果越好，故D不正确．【加练·固】给出以下四个命题，正确的选项是()A．由样本数据得到的回归方程＝x＋必过样本点的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好C．假设线性回归方程为x，那么变量x每增加1个单位时，yD．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，残差平方和越小【解析】选ACD.对于A，由样本数据得到的回归方程＝x＋必过样本点的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，命题正确；对于B，用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好，命题错误；对于C，在线性回归方程x中，变量x每增加1个单位时，y平均削减2.5个单位，命题正确；对于D，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，残差平方和也越小，命题正确．三、填空题(每题5分，共10分)7．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：h)与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，猜测小李该月6号打6h篮球的投篮命中率为________.【解析】eq\x\to(y)＝eq\f,5)＝eq\f,5)＝0.5，eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3.由公式，得＝0.01，从而＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝0.5－0.01×3＝0.47.所以回归方程为x.所以当x＝6时，＝0.47＋0.01×6＝0.53.答案：8．一组数据确定的回归直线方程为＝－x＋2且eq\x\to(y)＝4，通过残差分析，发觉两个数据(－1.7，2.9)，(－2.3，5.1)误差较大，去除这两个数据后，重新求得回归直线的斜率为－1.5，那么当x＝－4时，＝________.【解析】由样本数据点集{(xi，yi)|i＝1，2，…，n}，求得的回归直线方程为＝－x＋2，且eq\x\to(y)＝4，所以eq\x\to(x)＝－2，故数据的样本中心点为(－2，4)，去掉(－1.7，2.9)，(－2.3，5.1)，重新求得的回归直线的斜率估量值为－1.5，回归直线方程设为：x＋a，代入(－2，4)，求得a＝1，所以回归直线的方程为：x＋1，将x＝－4代入回归直线方程求得的估量值－1.5×(－4)＋1＝7.答案：7四、解答题(每题10分，共20分)9．假定小麦根本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：xy(1)以x为解释变量，y为响应变量，作出散点图；(2)求y与x之间的回归方程，对于根本苗数56.7猜测有效穗；(3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求R2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？【解析】(1)散点图如下．(2)由(1)中散点图看出，样本点大致分布在一条直线的四周，有比拟好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．设回归方程为＝x＋．eq\x\to(x)＝30.36，eq\x\to(y)＝43.5，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝5101.56，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝9511.43.eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝1320.66，eq\x\to(x)2＝921.7296，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝6746.76.那么＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\x\to(x)2)≈0.29，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)≈34.70.故所求的回归直线方程为x＋34.70.当x＝56.7时，＝0.29×56.7＋34.70＝51.143.估量成熟期有效穗为51.143.(3)由于i＝xi＋，可以算得i＝yi－i分别为1＝0.35，2＝0.718，3＝－0.5，4＝－2.214，5＝1.624，残差平方和：eq\i\su(i＝1,5,)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))≈8.43.(4)eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝50.18，故R2＝1－eq\f,50.18)≈0.832.所以解释变量小麦根本苗数对总效应约奉献了83.2%，残差变量奉献了约1－83.2%＝16.8%.10．菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗洁净，下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y(单位：微克)的统计表：x12345y5854392910(1)令w＝x2，利用给出的参考数据求出y关于w的回归方程＝w＋．(，精确到0.1)参考数据：＝55，(wi－eq\x\to(w))(yi－eq\x\to(y))＝－751，(wi－eq\x\to(w))2＝374，其中wi＝xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))，eq\x\to(w)＝eq\f(1,5)i.(2)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量不高于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估量至少需要用多少千克的清水清洗1千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据eq\r(5)≈2.24)附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估量分别为＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)〔ui－\x\to(u)〕〔vi－\x\to(v)〕,\i\su(i＝1,n,)〔ui－\x\to(u)〕2)，＝eq\x\to(v)－eq\x\to(u).【解析】(1)由题意得，eq\x\to(w)＝11，eq\x\to(y)＝38.＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)〔wi－\x\to(w)〕〔yi－\x\to(y)〕,\i\su(i＝1,5,)〔wi－\x\to(w)〕2)＝－eq\f(751,374)≈－2.0，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(w)＝60.0，所以w＋60.0.(2)由(1)得w＋60.0，所以x2＋60.0，当x2＋60.0≤20，解得x≥2eq\r(5)≈4.5，所以为了放心食用该蔬菜，估量需要用的清水清洗1千克蔬菜．【加练·固】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费，需了解年宣扬费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣扬费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中wi＝eq\r(,xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.(1)依据散点图推断，y＝a＋bx与y＝c＋deq\r(,x)哪一个相宜作为年销售量y关于年宣扬费x的回归方程类型？(给出推断即可，不必说明理由)(2)依据(1)的推断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)这种产品的年利润z与x，y的关系为zy－x.依据(2)的结果答复以下问题：①年宣扬费x＝49时，年销售量及年利润的猜测值是多少？②年宣扬费x为何值时，年利润的猜测值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估量分别为＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)〔ui－\x\to(u)〕〔vi－\x\to(v)〕,\i\su(i＝1,n,)〔ui－\x\to(u)〕2)，＝eq\x\to(v)－eq\x\to(u).【解析】(1)由散点图可以推断，y＝c＋deq\r(x)相宜作为年销售量y关于年宣扬费x的回归方程类型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y关于w的线性回归方程．由于＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)〔wi－\x\to(w)〕〔yi－\x\to(y)〕,\i\su(i＝1,8,)〔wi－\x\to(w)〕2)＝eq\f,1.6)＝68，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68eq\r(,x).(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6＋68eq\r(,49)＝576.6，年利润z的猜测值＝576.6×0.2－49＝66.32.②依据(2)的结果知，年利润z的猜测值＝0.2(100.6＋68eq\r(,x))－x＝－xeq\r(,x)