平面向量的数量积及向量的应用习题及详解

平面向量的数量积及向量的应用习题及详解平面向量的数量积及向量的应用习题及详解/NUM平面向量的数量积及向量的应用习题及详解平面向量的数量积及向量的应用习题及详解平面向量的数量积及向量的应用习题及详解一、选择题1．(文)(2010·东北师大附中)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4 B．4C．－2 D．2[答案]A[解析]a在b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(－12,3)＝－4.(理)(2010·浙江绍兴调研)设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)[答案]B[解析]由条件知，eq\f(a·b,|b|)＝2，eq\f(a·b,|a|)＝1，a·b＝4，∴|a|＝4，|b|＝2，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(4,4×2)＝eq\f(1,2)，∴〈a，b〉＝eq\f(π,3).2．(文)(2010·云南省统考)设e1，e2是相互垂直的单位向量，并且向量a＝3e1＋2e2，b＝xe1＋3e2，如果a⊥b，那么实数x等于()A．－eq\f(9,2) B.eq\f(9,2)C．－2 D．2[答案]C[解析]由条件知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，∴a·b＝3x＋6＝0，∴x＝－2.(理)(2010·四川广元市质检)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，2)，且m＝ta＋b，n＝a－kb(t、k∈R)，则m⊥n的充要条件是()A．t＋k＝1 B．t－k＝1C．t·k＝1 D．t－k＝0[答案]D[解析]m＝ta＋b＝(2t－1，t＋2)，n＝a－kb＝(2＋k,1－2k)，∵m⊥n，∴m·n＝(2t－1)(2＋k)＋(t＋2)(1－2k)＝5t－5k＝0，∴t－k＝0.3．(文)(2010·湖南理)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－16 B．－8C．8 D．16[答案]D[解析]因为∠C＝90°，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝AC2＝16.(理)(2010·天津文)如图，在△ABC中，AD⊥AB，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．2eq\r(3) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\r(3)[答案]D[解析]∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))，又∵AB⊥AD，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\r(3)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|·cos∠ADB＝eq\r(3)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos∠ADB＝eq\r(3)·|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(3).4．(2010·湖南省湘潭市)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝()A．150° B．120°C．60° D．30°[答案]B[解析]∵a＋b＝c，|a|＝|b|＝|c|≠0，∴|a＋b|2＝|c|2＝|a|2，∴|b|2＋2a·b∴|b|2＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.5．(2010·四川双流县质检)已知点P在直线AB上，点O不在直线AB上，且存在实数t满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝2teq\o(PA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))|,|\o(PB,\s\up6(→))|)＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C．2 D．3[答案]B[解析]∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝2t(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋teq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2t,2t＋1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(t,2t＋1)eq\o(OB,\s\up6(→))，∵P在直线AB上，∴eq\f(2t,2t＋1)＋eq\f(t,2t＋1)＝1，∴t＝1，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))，∴eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))|,|\o(PB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2).6．(文)平面上的向量eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))满足|eq\o(MA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(MB,\s\up6(→))|2＝4，且eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，若向量eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MB,\s\up6(→))，则|eq\o(MC,\s\up6(→))|的最大值是()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D.eq\f(4,3)[答案]D[解析]∵eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MA,\s\up6(→))⊥eq\o(MB,\s\up6(→))，又∵|eq\o(MA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(MB,\s\up6(→))|2＝4，∴|AB|＝2，且M在以AB为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系，则点A(－1,0)，点B(1,0)，设点M(x，y)，则x2＋y2＝1，eq\o(MA,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，∵eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x，－y))，∴|eq\o(MC,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x))2＋y2＝eq\f(10,9)－eq\f(2,3)x，∵－1≤x≤1，∴x＝－1时，|eq\o(MC,\s\up6(→))|2取得最大值为eq\f(16,9)，∴|eq\o(MC,\s\up6(→))|的最大值是eq\f(4,3).(理)(2010·山东日照)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))的最大值为()A．8 B．6C．5 D．4[答案]B[解析]建立直角坐标系如图，∵正方形ABCD边长为2，∴A(0,0)，N(2，－1)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝(2，－1)，设M坐标为(x，y)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x，y)由坐标系可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2①,－2≤y≤0②))∵eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝2x－y，设2x－y＝z，易知，当x＝2，y＝－2时，z取最大值6，∴eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))的最大值为6，故选B.7．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝eq\r(7)，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,2)C．2 D．3[答案]B[解析]eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，因为OA＝OB.所以eq\o(AO,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影为eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，同理eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\f(9,2)，故eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(9,2)－2＝eq\f(5,2).8．(文)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则向量a与向量b的夹角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)[答案]C[解析]根据向量夹角公式“cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求解”．由条件得a·b－a2＝－1，即a·b＝－3，设向量a，b的夹角为α，则cosα＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3,2×3)＝eq\f(1,2)，所以α＝eq\f(π,3).(理)(2010·黑龙江哈三中)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3\r(3),8)))，其面积S＝eq\f(3,16)，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))夹角的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(3π,4)))[答案]A[解析]设〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝α，∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cosα，S＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·sin(π－α)＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·sinα＝eq\f(3,16)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\f(3,8sinα)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3cosα,8sinα)＝eq\f(3,8)cotα，由条件知eq\f(3,8)≤eq\f(3,8)cotα≤eq\f(3\r(3),8)，∴1≤cotα≤eq\r(3)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，∴α为锐角，∴eq\f(π,6)≤α≤eq\f(π,4).9．(文)(2010·云南省统考)如果A是抛物线x2＝4y的顶点，过点D(0,4)的直线l交抛物线x2＝4y于B、C两点，那么eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4) B．0C．－3 D．－eq\f(3,4)[答案]B[解析]由题意知A(0,0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线l：y＝kx＋4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4y,y＝kx＋4))消去y得，x2－4kx－16＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，∴y1·y2＝(kx1＋4)(kx2＋4)＝k2x1x2＋4k(x1＋x2)＋16＝－16k2＋16k2＋16＝16，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝0.(理)(2010·南昌市模考)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FA,\s\up6(→))，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))的值是()A．－eq\f(3,4) B．－eq\f(8,9)C．－eq\f(1,4) D．不确定[答案]B[解析]∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FA,\s\up6(→))，∴eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，∴|eq\o(FA,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)，eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝(eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝(eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(FA,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝|eq\o(FA,\s\up6(→))|2－|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,9)－1＝－eq\f(8,9).10．(2010·福建莆田一中)设O为坐标原点，A(1,1)，若点B(x，y)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x－2y＋1≥0,1≤x≤2,1≤y≤2))，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))取得最小值时，点B的个数是()A．1 B．2C．3 D．无数个[答案]B[解析]∵x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1.∴可行域为图中阴影部分，∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OB,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉，又|eq\o(OA,\s\up6(→))|为定值，∴当eq\o(OB,\s\up6(→))·cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉取最小值时，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))取最小值，∵y＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上为减函数，∴由图可知，当点B在E、F位置时，∠AOB最大，|eq\o(OB,\s\up6(→))|最小，从而eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))取最小值，故选B.[点评]可用数量积的坐标表示求解，设B(x，y)，令eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x＋y＝t，则y＝－x＋t，当直线y＝－x＋t过B1、B2两点时，t最小，即tmin＝3.∴当eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))取得最小值时，点B的个数为2.二、填空题11．(2010·苏北四市)如图，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝______.[答案]5[解析]设AC与BD相交于点O，则(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝[(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→)))]·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝[(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))]·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝5.12．(文)(2010·江苏洪泽中学月考)已知O、A、B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝7，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝5，则eq\o(OP,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))的值为________．[答案]12[解析]eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，由条件知，|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＝49，|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝25，|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|，∴|eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|2，即|eq\o(PO,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(PO,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝－12，∴eq\o(OP,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝12.(理)(2010·广东茂名市)O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则λ＝eq\f(1,2)时，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的值为______．[答案]0[解析]由已知得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，当λ＝eq\f(1,2)时，得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，∴eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·0＝0，故填0.13．(2010·安徽巢湖市质检)已知A1，A2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右顶点，P是过左焦点F且垂直于A1A2的直线l上的一点，则eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(A1A2,\s\up6(→))＝________.[答案]－20[解析]由条件知A1(－5,0)，A2(5,0)，F(－3,0)，设P(－3，y0)，则eq\o(A1A2,\s\up6(→))＝(10,0)，eq\o(PA1,\s\up6(→))＝(－2，－y0)，∴eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(A1A2,\s\up6(→))＝－20.14．(2010·福建厦门质检)已知向量an＝(coseq\f(nπ,7)，sineq\f(nπ,7))(n∈N*)，|b|＝1.则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2的最大值为________．[答案]284[解析]∵|b|＝1，∴设b＝(cosθ，sinθ)，∵an2＝cos2eq\f(nπ,7)＋sin2eq\f(2nπ,7)＝1(n∈N)，an·b＝coseq\f(nπ,7)cosθ＋sineq\f(nπ,7)sinθ，∴y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝(|a1|2＋|a2|2＋…＋|a141|2)＋141|b|2＋2(a1·b＋a2·b＋…＋an·b)＝282＋2cosθcoseq\f(π,7)＋coseq\f(2π,7)＋…＋coseq\f(141π,7)＋2sinθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,7)＋sin\f(2π,7)＋…＋sin\f(141π,7)))＝282＋2cosθcoseq\f(π,7)＋2sinθsineq\f(π,7)＝282＋2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,7)－θ))≤284.三、解答题15．(山东省潍坊市质检)已知函数f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－cos2x－eq\f(1,2)，x∈R.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝eq\r(3)，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．[解析](1)因为f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(1,2)＝sin(2x－eq\f(π,6))－1，所以f(x)的最小值是－2，最小正周期是T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由题意得f(C)＝sin(2C－eq\f(π,6))－1＝0，则sin(2C－eq\f(π,6))＝1，∵0<C<π，∴0<2C<2π，∴－eq\f(π,6)<2C－eq\f(π,6)<eq\f(11,6)π，∴2C－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，C＝eq\f(π,3)，∵向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，∴eq\f(1,2)＝eq\f(sinA,sinB)，由正弦定理得，eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)①由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)，即3＝a2＋b2－ab②由①②解得，a＝1，b＝2.16．(文)(延边州质检)如图，在四边形ABCD中，AD＝8，CD＝6，AB＝13，∠ADC＝90°且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝50.(1)求sin∠BAD的值；(2)设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求eq\f(S△ABD,S△BCD)的值．[解析](1)在Rt△ADC中，AD＝8，CD＝6，则AC＝10，cos∠CAD＝eq\f(4,5)，sin∠CAD＝eq\f(3,5)，又∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝50，AB＝13，∴cos∠BAC＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(5,13)，∵0<∠BAC∠180°，∴sin∠BAC＝eq\f(12,13)，∴sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)＝eq\f(63,65).(2)S△BAD＝eq\f(1,2)AB·ADsin∠BAD＝eq\f(252,5)，S△BAC＝eq\f(1,2)AB·ACsin∠BAC＝60，S△ACD＝24，则S△BCD＝S△ABC＋S△ACD－S△BAD＝eq\f(168,5)，∴eq\f(S△ABD,S△BCD)＝eq\f(3,2).(理)点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC.[分析]要证明AD⊥BC，则只需要证明eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，可设eq\o(AD,\s\up6(→))＝m，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，将eq\o(BC,\s\up6(→))用m，b，c线性表示，然后通过向量的运算解决．证明：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝m，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝m－c，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝m－b.∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2，∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c∴m·(c－b)＝0，即eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，∴AD⊥BC.17．(文)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．[解析](1)由题设知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,5)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,6)，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,4)．所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\