隧道的结构计算公式及强度验算

隧道的结构计算公式及强度验算在十九世纪末，混凝土已经是广泛使用的建筑材料，它具有整体性好，可以在现场根据需要进行模注等特点。这时，隧道衬砌结构是作为超静定弹性拱计算的，但仅考虑作用在衬砌上的围岩压力，而未将围岩的弹性抗力计算在内，忽视了围岩对衬砌的约束作用。由于把衬砌视为自由变形的弹性结构，因而，通过计算得到的衬砌结构厚度很大，过于安全。大量的隧道工程实践表明，衬砌厚度可以减小，所以，后来上述两种计算方法不在使用了。进入本世纪以后，通过长期的观测，发现围岩不仅对衬砌施加压力，同时约束着衬砌的变形。围岩对衬砌的变形的约束，对改善衬砌结构的受力状态有利，不容忽视。衬砌在受力过程中的变形，一部分结构有离开围岩形成“脱离区”的趋势，另一部分压紧围岩形成所谓“抗力区”，如图4-1所示。在抗力区内，约束着衬砌变形的围岩，相应地产生被动抵抗力，即“弹性抗力”。抗力区的范围和弹性抗力的大小，因围岩性质、围岩压力大小和结构变形的不同而不同。但是这个问题有不同的见解，即局部变形理论和共同变形理论。图4-1图4-2局部变形理论是以温克尔(E.Winkler)假定为基础的。它认为应力()和变形()之间呈直线关系，即，K是围岩弹性抗力系数，见图4-2(a)。这一假定，相当于认为围岩是一组各自独立的弹簧，每个弹簧表示一个小岩柱。虽然实际的弹性体变形是相互影响的，施加于一点的荷载会引起整个弹性体表面的变形，即共同的变形，见图4-2(b)。但温氏假定能反映衬砌的应力一变形的主要因素，且计算简便实用，可以满足工程设计的需要。应当指出，弹性抗力系数K并非常数，它取决于很多的因素，如围岩的性质、衬砌的形状和尺寸、以及荷载类型等。不过对于埋深隧道，可以视为常数。共同变形理论把围岩视为弹性半无限体，考虑相邻点之间变形的相互影响。它用纵向变形系数E和横向变形系数表示地层特征，并考虑粘结力C和内摩擦角的影响。但这种方法所需围岩物理力学参数较多，而且计算颇为复杂，计算模型也有严重缺陷，另外还假定施工过程中对围岩不产生扰动等，更是与实际情况不符。因而，我国很少使用。本章主要讨论局部变形理论中目前仍有实用价值的方法。二、隧道衬砌上的荷载与分类作用在衬砌上的荷载，按其性质可以区分为主动荷载与被动荷载。主动荷载是主动作用于结构、并引起结构变形的荷载；被动荷载是因结构变形压缩围岩而引起的围岩被动抵抗力，即弹性抗力，它对结构变形起限制作用。第二节半衬砌的计算

拱圈直接支承在坑道围岩侧壁上时，称为半衬砌，见图4-3。常用于坚硬、较完整的围岩(Ⅲ级、Ⅱ级围岩)中。用先拱后墙法施工时，在拱圈已作好，但马口尚未开挖前，拱圈处于半衬砌工作状态。一、计算图式、基本结构及正则方程图4-3道路隧道中的拱圈，一般矢跨比不大，在垂直荷载作用下拱圈向坑道内变形，为自由变形，不产生弹性抗力。由于支承圈的围岩是弹性的，即拱圈支座是弹性的，在拱脚反力的作用下围岩表面将发生弹性变形，使拱脚产生角位移和线位移。拱脚位移将使拱圈内力发生改变，因而计算中除按固端无铰拱考虑外，还必须考虑拱脚位移的影响。对于拱脚位移，还可以作些具体分析，使计算图式得到简化。通常，拱脚截面剪力很小，它与围岩之间的摩擦力很大，可以认为拱脚没有径向位移只有切向位移，所以在计算图式中，在固端支座上用一根径向刚性支承链杆加以约束，见图4-4(a)。切向位移可以分解为垂直方向和水平方向两个分位移。在结构对称、荷载对称条件下，两拱脚的位移也是对称的。对称的垂直分位移对拱圈内力不产生影响。拱脚的转角和切向位移的水平分位移是必须考虑的。图中所示为正号方向，即水平分位移向外为正，转角与正弯矩方向相同时为正。采用力法计算时，将拱圈在拱顶处切开，取基本结构如图4-4之(b)所示。固端无铰拱为三次超静定，有三个多余未知力，即弯矩X1，轴向力X2和剪切力X3。结构对称、荷载对称时X3=0，变成二次超静定结构，而且只需计算一半。按拱顶切开处的截面相对变位为零的条件，可建立如下正则方程：图4-4式中：——单位变位，即在基本结构上，因作用时，在Xi方向上所产生的变位；

——荷载变位，即基本结构因外荷载作用，在Xi方向的变位；f——拱圈的矢高；，——拱脚截面的最终转角和水平位移。如果式(4-1)中变位都能求出，则可用结构力学的力法知识解算出多余未知力X1和X2，那时，拱圈内力即可求出。二、单位变位及荷载变位的计算由结构力学求变位的方法(轴向力与剪力影响不计)知道：式中：——基本结构在作用下所产生的弯矩；

——基本结构在作用下所产生的弯矩；

——基本结构在外荷载作用下所产生的弯矩；EJ——结构的刚度。在进行具体计算时，由于结构对称、荷载对称，只需计算半个拱圈。在很多情况下，衬砌厚度是改变的，给积分带来不便，这时可将拱圈分为偶数段，用抛物线近似积分法代替，式(4-2)可以改写为：利用式(4-3)，参照图4-5，容易求得下列变位：图4-5式中：——半拱弧长n等分后的每段弧长。就算表明，当拱厚d﹤L/10(L——拱的跨度)时，曲率和剪力的影响可以略去。当矢跨比f/L﹥1/3时，轴向力影响可以略去。三、拱脚位移计算1.单位力矩作用时单位力矩作用在拱脚围岩上时，拱脚截面绕中心点a转过一个角度，见图4-6，拱脚截面仍保持平面，其内(外)缘处围岩的最大应力为：式中：——拱脚截面厚度；b——拱脚截面纵向单位宽度，取b=1m；

——拱脚截面的截面模量，；图4-6根据温克尔假定，拱脚内(外)缘的最大沉陷为：式中：——拱脚围岩基底弹性抗力系数。由于拱脚截面仅绕a点转过一个角度，a点不产生水平位移，故式中：——拱脚截面惯性矩，。2.单位水平力作用时单位水平力可以分解为轴向分力(1·)和切向分力(1·)，计算时只需考虑轴向分力的影响，见图4-7。作用在围岩表面的均匀分布应力为：图4-7拱脚产生的均匀沉陷为：式中：——拱脚截面与垂直面之间的夹角；其余符号意义同前。的水平投影即为a点的水平位移，均匀沉陷时拱脚截面不发生转动，故3.外荷载作用时在外荷载作用下，基本结构中拱脚a点处产生弯矩和轴向力，见图4-8，拱脚截面的转角和水平位移为：图4-8即：4.拱脚位移拱脚的最终转角和水平位移，可以按叠加原理，分别考虑X1、X2和外荷载的影响，用下式表示：四、计算各截面内力并校核计算正确性将式(4-7)、式(4-8)代入正则方程式(4-1)整理得：令则式(7-9)可以简写为：解此二元线性方程组，即可求出多余未知力X1和X2：根据平衡条件可以计算出任一截面i处的内力，见图7-9：式中：、——基本结构中因外荷载作用，在任一截面i处产生的弯矩和轴向力；

——截面i的纵坐标；

——截面i与垂直线间的夹角。图4-9图4-10求出各截面的弯矩Mi和轴向力Ni后，即可绘出内力图，见图4-10，并确定出危险载面。同时用偏心距e=Mi/Ni表示出压力曲线图。拱圈内力计算比较繁琐，数值运算很多，容易出错和造成累计误差，因此应该校核计算结果的正确性。计算过程中，可以校核单位变量、多余未知力以及最终内力计算结构的正确性。这里仅介绍最终内力计算结构的校核方法。拱顶截面因内力Mi,Ni作用而产生的变位与因拱脚弹性变位而产生的拱顶截面变位的总和，应满足拱顶截面的变形连续性条件，即拱顶相对转角和水平位移为零的条件。转角三为零三：水平三位移三为零三：上述三计算三是将三拱圈三视为三自由三变形三得到三的计三算结三构。三由于三没有考三虑弹三性抗三力，三所以三弯矩三是比三较大三的，三因此三，截三面也三较厚三。如果三围岩三缴坚三硬，三或者三拱的三形状三较尖三，则三可能三有弹三性抗三力。三衬砌背三后的三密实三回填三是提三供弹三性抗三力的三必要三条件三，但三是拱三部的三回填相三当的三困难三，不三容易三做到三密实三。仅三在起三拱线三以上三1～1三.5三m范围内三的超三挖部三分，三由于三是用三与拱三圈同三级的三混凝三土回三填的三，可三以做到三密实三以外三，其三余部三分的三回填三比较三松散三，不三能有三效地三提供三弹性抗三力。三拱脚三处无三径向三位移三，故三弹性三抗力三为零三，最三大值三在上三述1～三1.三5m三处，三中间三的分三布规三律较三复杂三，为三简化三计算三可以三假定三为按直线三分布三。考三虑弹三性抗三力的三拱圈三计算三，可三参考三曲墙三式衬三砌进三行。第三三节三曲墙三式衬三砌计三算在衬三砌承三受较三大的三垂直三方向三和水三平方三向的三围岩三压力时三，常三常采三用曲三墙式三衬砌三。它三由拱三圈、三曲边三墙和三底板组三成，三有向三上的三底部三压力三时设三仰拱三。曲三墙式三衬砌三常用于Ⅳ~Ⅵ三级围三岩中三，拱三圈和三曲边三墙作三为一三个整三体按无铰三拱计三算，三施工三时仰三拱是三在无三铰拱三业已三受力三之后三修建的三，所三以一三般不三考虑三仰拱三对衬三砌内三力的三影响三。一、计三算图三式在主三动荷三载作三用下三，顶三部衬三砌向三坑道三内变三形形三成脱三离区三，两侧三衬砌三向围三岩方三向变三形，三引起三围岩三对衬三砌的三被动三弹性三抗力三，形成三抗力三区。三抗力三图形三分布三规律三按结三构变三形特三征作三以下三假定三，见图三4-三11三：1.三上零三点b三(即三脱离三区与三抗力三区的三分界三点)三与衬三砌垂三直对三称中三线的夹三角假三定为三。2.三下零三点a三在墙三角。三墙角三处摩三擦力三很大三，无三水平三位移三，故三弹性抗力三为零三。图4三-1三13.三最大三抗力三点h三假定三发生三在最三大跨三度处三附近三，计三算时三一般三取，为三简化三计算三，可三假定三在分三段的三接缝三上。4.三抗力三图形三的分三布按三照以三下假三定计三算：三拱部三段抗三力，三按二三次抛物三线分三布，三任一三点的三抗力三与最三大抗三力三的三关系三为：边墙三段抗三力三为三：式中三：三、三、——分别三为i、b、h点三所在三截面三与垂三直对三称轴三的夹角三；——i点所三在截三面与三衬砌三外轮三廓线三的交三点至三最大三抗力三点h三的垂直三距离三；——墙底三边缘三至最三大抗三力点三h的三垂直三距离三。段边三墙外三缘一三般都三作成三直线三形，三且比三较厚三，因三刚度三较大三，故抗三力分三布也三可假三定为三与高三度呈三直线三关系三。若三的一三部分三外缘三为直线三形，三则可三将其三分为三两部三分分三别计三算，三即曲三边墙三段按三式(三4-三16三)计算三，直三边墙三段按三直线三关系三计算三。两侧三衬砌三向围三岩方三向的三变形三引起三弹性三抗力三，同三时也三引起三摩擦力三，三其大三小等三于弹三性抗三力和三衬砌三围岩三间的三摩擦三系数三的乘三积：计算三表明三，摩三擦力三影响三很小三，可三以忽三略不三计，三而忽三略摩三擦力的影三响是三偏与三安全三的。弹性三抗力三的精三确分三布情三况，三需要三用逐三步趋三近法三求得三。墙角三弹性三固定三在地三基上三，可三以发三生转三动和三垂直三位移三，如三前所述在三结构三和荷三载均三对称三时，三垂直三位移三对衬三砌内三力不三产生三影响三。在经三过上三述分三析后三，若三不考三虑仰三拱作三用，三可将三计算三图式三表示为图三4-三12三的形三式。图4三-1三2二、主三动荷三载作三用下三的力三法方三程和三衬砌三内力取基三本结三构如三图4三-1三3所三示，三未知三力为三X1p、X2p，根三据拱三顶截面相三对变三位为三零的三条件三，可三以列三出力三法方三程式三：图4三-1三3由于三墙底三无水三平位三移，三故，代三入式三(4三-1三8)三整理三后得三：式中三：三、——墙底三位移三，分三别计三算、三和三外荷三载的三影响，然三后按三迭加三原理三相加三即可以三得到三：式中三：三、——基本三结构三的单三位位三移和三主动三荷载三位移三，可三由式(4三-2三)求三得；——墙底三的单三位转三角，三可参三照式三(7三-5三)计三算；——基本三结构三墙底三的荷三载转三角，三可参三照式三(7三-7三)计三算；f——衬砌三的矢三高。求得三X1p、X2p后，三在主三动荷三载作三用下三，衬三砌内三力即三可参三照式（4三-1三3）三解出三：这里三，被三动荷三载的三作用三还未三考虑三在内三。由三于三是三一个三未知数，三所以三需要三利用三最大三抗力三点h三处的三变形三协调三条件三增加三一个三方程式。三在主三动荷三载作三用下三，通三过式三(4三-2三1)三可以三解出三内力三、三，并求出三h点三的位三移三，三见图三4-三14三(b三)。三在被三动荷三载作三用下三的内三力和三位移，三可以三通过三的三单位三抗力三图形三作为三外荷三载时三所求三得的三任一截面三内力三、三和最三大抗三力点三h处三的位三移三，三见图三4-三14三(c三)，并利三用迭三加原三理求三出h三点的三最终三位移三：由温三尔克三假定三可以三求出三h点三的弹三性抗三力三与三位移三的关三系式三：代入三式(三4-三22三)，三可得三：图4三-1三4三、最三大抗三力值三的计三算由式三(4三-2三3)三可知三，欲三求三则三应先三求出三、三。变三位由三两部分组三成，三即结三构在三荷载三作用三下的三变位三和因三墙底三变位三(转三角)三而产三生的变三位之三和。三前者三按结三构力三学方三法，三画出三、三图三，见三图4三-1三5(a三)、三(b三)，三再在三h点三处的三所求三变位三方向三上加三一单三位力三p=三1，三绘出图，三见图三4-三15三(c三)。三墙底三变位三在h三点产三生的三位移三可由三几何三关系三求出，见三图4三-1三5(三d)三。位三移可三以表三示为三：图4三-1三5式中三：——因主三动荷三载作三用而三产生三的墙三底转三动，三可参三见式三4-三7计三算；——因单三位抗三力作三用而三产生三的墙三底转三角，三可参三见式三(4三-7三)计三算；——墙底三中心三a至三最大三抗力三截面三的垂三直距三离。如果三h点三所对三应的三时，三则该三点的三径向三位移三和水三平位三移相差三很小三，故三可视三为水三平位三移。三又，三由于三结构三与荷三载均三对称三时，拱三顶截三面的三垂直三位移三对h三点径三向位三移的三影响三可以三忽略三不计三。因此计三算该三点水三平位三移时三，可三以取三图4三-1三6所三示结三构，三是计三算得三到简化三。按三结构三力学三方法三，在三h点三加一三单位三力p三=1三，可三以求三得及三。式中三：、——h点三及任三一点三i的三垂直三坐标三。图4三-1三6四、在三抗力三图作三用下三的内三力将三抗力三图示三为外三荷载三单独三作用三时，三未知三力三及三可以参照三X1p及X2p的求三法得三出。三参照三式(三4-三20三)可三以列三出力三法方三程：式中三：、——单位三抗力三图为三荷载三引起三的基三本结三构在三、三方三向的位移三。——单位三抗力三图为三荷载三引起三的基三本结三构墙三底转三角；其余三符号三意义三同前三。解出三、三后，三即可三以求三出衬三砌在三单位三抗力三图为三荷载三单独作用三下任三一截三面内三力：五、衬三砌最三终内三力计三算及三校核三计算三结果三的正三确性衬砌三任一三截面三最终三内力三值可三利用三迭加三原理三求得三：校核三计算三结果三的正三确性三，可三以利三用拱三顶截三面转三角和三水平三位移为三零条三件和三最大三抗力三点h三点的三位移三条件三：式中三：——墙底三截面三最终三转角第四三节三弹性三地基三上直三梁的三计算三公式一、基三本计三算公三式的三建立直墙三式衬三砌的三边墙三是按三弹性三地基三上直三梁计三算位三移和三内力三的，这里三介绍三广泛三应用三的初三参数三法。设直三梁的三高度三与长三度之三比甚三小，三符合三材料三力学三中的三平面三假设，三可以三用材三料力三学公三式进三行位三移和三内力三计算三；设三直梁三底面三与地基三间不三存在三间隙三，地三基为三各向三同性三的半三无限三体；三设直三梁与三地基之三间的三摩擦三力对三直梁三内力三影响三很小三，可三以忽三略不三计，三故地三基反力三与直三梁底三面相三垂直三。经三过上三述假三设后三，取三一等三截面三直梁三置于地三基上三，其三宽度三为1三m，三见图三4-三17三。梁三上作三用有三任意三荷载三时，梁将三产生三挠度三，地三基将三产生三相应三的沉三陷y三并产三生地三基反三力p三，由温克三尔假三定得三p=三ky三。符三号规三定：三荷载三q与三沉陷三y以三向下三为正三，反力p三以向三上为三正，三转角三、弯三矩M三及剪三力H三按照三材料三力学三的规三定，见图三4-三18三。图4三-1三7图4三-1三8今在三分布三荷载三bc三段上三取一三微分三体，三见图三4-三19三。根三据平三衡条三件得：整理三后得三：图4三-1三9根据三平衡三条件三得三：整理三并略三去二三阶无三穷小三后得三：将式三(4三-3三1)三对x三微分三一次三，并三与式三(7三-3三0)三比较三得：由材三料力三学公三式，三不计三剪力三对挠三度影三响时三，则三：将剪三力Ｈ三对x三微分三一次三：比较三式(三4-三32三)及三式(三4-三33三)得三：令三(三因次三为三，三称为三弹性三特征三值或三弹性三标值三)则式三(4三-3三4)三可改三写为三：式(三4-三35三)即三为弹三性地三基上三直梁三的挠三度曲三线微三分方三程，三是四三阶线三性常系三数非三齐次三微分三方程三，解三之即三求的三梁的三挠度三方程三。其三全解三可用一个三特解三及三与之三对应三的齐三次方三程的三通解三的和三表示三。其齐三次方三程为三：即相三当于三梁上三无荷三载，三q(三x)三=0三的情三况。三为解三题方三便，三用a三x代三替x三，可得三：试用三具有三形式三(三r为三常数三)的三函数三满足三方程三，则三：将式三(4三-3三8)三代入三式(三4-三37三)得三：所以三：式(三4-三39三)称三为微三分方三程式三(4三-3三7)三的特三征方三程，三从中三解出三r的三4个三根，得到三4个三特解三，并三得到三其通三解：利用三欧拉三公式三和双三曲线三函数三公式三及定三义，三式(三4-三40三)可三以有三不同三表示形三式，三但整三理后三均可三表示三为：逐次三积分三后可三得：上述三由线三性微三分方三程式三解得三的位三移、三转角三、弯三矩及三剪力三公式中未三知的三积分三常数三与粱三的始三端内三力(三初剪三力、三初弯三矩)三和变三形(三初转角、三初位三移)三有关三。它三们个三数很三少，三容易三根据三梁的三边界三条件三确定三。当x三=0三时，三ch三ax三=c三os三ax三=1三，s三ha三x=三si三na三x=三0梁三始端三的初三参数三，见图三4-三20三，可三由式三(4三-4三1)三及式三(4三-4三2)三求出三：图4三-2三0由式三(4三-4三3)三可以三解得三积分三常数三：将积三分常三数回三代式三(4三-4三1)三及式三(4三-4三2)三，即三可求三出梁三的任三一截三面的内力三与变三位。三但式三中的三双曲三函数三及三三角函三数只三与梁三的几三何尺三寸、材料三及地三基弹三性抗三力系三数有三关，三为使三计算三得到三简化三，令并将三式(三4-三44三)预三先计三算出三以a三x为三变量三的双三曲线三三角三函数三，其三值通常列三成表三格，三见附三录。三将式三(4三-4三3)三及式三(4三-4三4)三代入三式(三4-三41三)及三式(4三-4三2)三可得三：只要三式(三4-三45三)中三的初三参数三、三、三及三知三道，三则梁三的任三一截面三的位三移和三内力三即可三求出三。根三据温三尔克三假定三将梁三的挠三度(三即地基的三沉陷三)方三程乘三以地三层弹三性抗三力系三数k三即得三反力三(抗三力)三方程三。二、梁三上有三分布三荷载三作用三的情三况梁上三有分三布荷三载时三，相三当于三q(三x)三0的三情况三。若三为均三布荷三载时，三q(三x)三=e三，若三为梯三形荷三载时三，见三图4三-2三1。三梁上三有荷三载时，三即式三(4三-3三5)三所表三达的三情况三，为三四阶三线性三常系三数非三齐次三微分三方程。三其余三解可三用它三的一三个特三解及三对应三的齐三次方三程的三通解三之和三表示。对三应齐三次方三程的三通解三已经三求得三，但三求特三解则三比较三烦琐三。如三果已经找三到一三个特三解为三：图4三-2三1梯形三荷载三时：均布三荷载三(即三)时三：则，三式(三4-三35三)的三全解三，即三梁的三任一三截面三位移三(按三梯形三荷载三计算三)如下三：逐次三微分三可得三梁上三任一三截面三的转三角三、三弯矩三M及三剪力三H如三下：第五三节三直墙三式衬三砌计三算直墙三式衬三砌的三计算三方法三很多三，如三链杆三法等三，本三节仅介三绍力三法。三这种三衬砌三形式三广泛三用于三道路三隧道三。它三由拱圈三、直三边墙三和底三板组三成。三计算三时，三仅计三算拱三圈及三直边墙三。底三板不三进行三衬砌三计算三，需三要时三按道三路路三面结三构计算三。一、三计算三原理拱圈三按弹三性无三铰拱三计算三，与三本章三第二三节所三述方三法相三同，三拱脚支三承在三边墙三上。三边墙三按弹三性地三基上三的直三梁计三算，三并考三虑边三墙与拱三圈之三间的三相互三影响三，见三图4三-2三2。三由于三拱脚三并非三直接三固定三在岩层三上，三而是三固定三在直三墙顶三端，三所以三拱脚三弹性三固定三的程三度取三决图4三-2三3图4三-2三2于墙三顶的三变形三。拱三脚有三水平三位移三、垂三直位三移和三角位三移，三墙顶三位移与三拱脚三位移三一致三。当三结构三对称三、荷三载对三称时三，垂三直位三移对三衬砌内三力没三有影三响，三计算三只需三考虑三水平三位移三和角三位移三。边三墙支三承拱圈三并承三受水三平围三岩压三力，三可看三作置三于具三有侧三向弹三性抗三力系三数K的三弹性三地基三上的三直粱三。有三展宽三基础三时，三其高三度一三般不三大，三可以不三计其三影响三。由三于边三墙高三度远三远大三于底三部宽三度，三对基三础的三作用可三以看三作是三置于三具有三弹性三抗力三系数三为Ka的弹三性地三基上三的刚三性梁。衬砌三结构三在主三动荷三载(三围岩三压力三和自三重等三)的三作用三下，三拱圈顶部三向坑三道内三部产三生位三移，三见图三4-三23三，这三部分三结构三能自三由变三形，没三有围三岩弹三性抗三力。三拱圈三两侧三压向三围岩三，形三成抗三力区三，引三起相应三的弹三性抗三力。三在实三际施三工中三，拱三圈上三部间三隙一三般很三难做三到回填三密实三，因三而拱三圈弹三性抗三力区三范围三一般三不大三。弹三性抗三力的三分布规三律及三大小三，与三多种三因素三有关三。由三于拱三圈是三弹性三地基三上的三曲梁，三尤其三是曲三梁刚三度改三变时三，其三计算三非常三复杂三，因三而仍三用假三定抗力三分布三图法三。直三墙式三衬砌三拱圈三变形三与曲三墙式三衬砌三拱圈三变形三近似，三计算三时可三用曲三墙式三衬砌三关于三拱部三抗力三图形三的假三定，三认为三按二次三抛物三线形三状分三布。三上零三点三位于三之三间，三最大三抗力在直三边墙三的顶三面(三拱脚三)C三处，三b、三c间三任一三点i三处抗三力为三的三函数，三即：当三，三，三可以三简化三为：式中三：符三号意三义同三前。弹性三抗力三引起三的摩三擦力三，可三由弹三性抗三力乘三摩擦三系数三求得，但三通常三可以三忽略三不计三。弹性三抗力三(三或三)为三未知三数，三但可三根据三温氏三假定三建立三变形条件三，增三加一三个三的三方程三式。由上三述可三以看三出，三直墙三式衬三砌的三拱圈三计算三原理三与本三章第三二节拱三圈计三算及三第三三节曲三墙式三衬砌三计算三相同三，可三以参三照相三应的三公式计三算。二、三边墙三的计三算由于三拱脚三不是三直接三支承三在直三边墙三上，三所以三直墙三式衬三砌的三拱圈计三算中三的拱三脚位三移，三需要三考虑三边墙三变位三的影三响。三直边三墙的三变形和三受力三状况三与弹三性地三基梁三相类三似，三可以三作为三弹性三地基三上的三直梁计三算。三墙顶三(拱三脚)三变位三与弹三性地三基梁三(边三墙)三的弹三性标三值及三换算长度三ah三有关三，可三以分三为三三种情三况：（1三）边三墙为三短梁三(1三<a三h<三2.三75三)短梁三的一三端受三力及三变形三对另三一端三有影三响，三计算三墙顶三变位三时，要三考虑三到墙三脚的三受力三和变三形的三影响三。设直三墙(三弹性三地基三梁)三c端三作用三有拱三脚传三来的三力矩三、三水平力三、垂三直力三、三以及三作用三于墙三身的三按梯三形分三布的三主动三侧压力。三求墙三顶所三产生三的转三角三及水三平位三移三，然三后即三可按三以前方法三求出三拱圈三的内三力及三位移三。由三于垂三直力三对三墙变三位仅三在有三基底加三宽时三才产三生影三响，三而且三前直三墙式三衬砌三的边三墙基三底一三般均三不加款三，所三以不三需要三考虑三。根三据弹三性地三基上三直梁三的计三算公三式求三得边墙三任一三截面三的位三移y三、转三角三、弯三矩M三和剪三力H三，再三结合三墙底的三弹性三固定三条件三，得三到墙三底的三位移三和转三角。三这样三就可三求得三墙顶的三单位三变位三和荷三载(三包括三围岩三压力三及抗三力)三变位三。由三于短三梁一端荷三载对三另一三端的三变形三有影三响，三墙脚三的弹三性固三定状三况对三墙顶三变形必三然有三影响三，所三以计三算公三式的三推导三是复三杂的三。下三面仅三给出三计算结三果，三参见三图4三-2三4。图4三-2三4墙顶三在单三位弯三矩三单三独作三用下三，墙三顶的三转角三、三水平位三移三为三：墙顶三在单三位水三平力三单独三作用三下，三墙顶三位移三、三为：在主三动侧三压力三(梯三形荷三载)三作用三下，三墙顶三位移三、三为：式中三：其中三：k——侧向三弹性三抗力三系数三；k0——基底三弹性三抗力三系数三；——基底三作用三有单三位力三矩时三所产三生的三转角三，h——边墙三的侧三面高三度；——与前三述三同三样以三为a三x为三变量三的双三曲线三三角三函数三；——边墙三轴线三对墙三底中三心的三偏心三距，三基底三无限三宽时三。墙顶三单位三变位三求出三后，三由基三本结三构传三来的三拱部三外荷三载，三包括主三动荷三载和三被动三荷载三使墙三顶产三生的三转角三及水三平位三移，三即不三难求出三。当三基础三无限三宽时三，墙三顶位三移为三：墙顶三截面三的弯三矩Mc，水三平力三Hc，转三角三和水三平位三移三为：以M三c、三Hc三、三及三为初三参数三，即三可由三初参三数方三程求三得距墙顶三为x三的任三一截三面的三内力三和位三移。三若边三墙上三无侧三压作三用，三即e=三0时三，则三：（2三）边三墙为三长梁三(a三h三2三.7三5)换算三长度三ah三2.三75三时，三可将三边墙三视为三弹性三地基三上的三半无三限梁(三简称三长梁三)或三柔性三梁，三近似三看作三为a三h=三。三此时三，边三墙具三有柔性三，可三认为三墙顶三的受三力(三除垂三直力三外)三和变三形对三墙底三没有三影响三。这种三衬砌三应用三于较三好的三围岩三中，三不考三虑水三平围三岩压三力作三用。三由于墙三底的三固定三情况三对墙三顶的三位移三没有三影响三，故三墙顶三单位三位移三可以简三化为三：式中三：符三号意三义同三前。式(三4-三52三)中三个单三位位三移和三主动三侧压三产生三的位三移求三出以三后，即可三按照三与短三梁相三似步三骤求三解拱三及边三墙的三内力三和位三移：式中三：——意义三同三，可三由附三录查三得；其余三符号三意义三同前三。（3三）边三墙为三刚性三梁(三ah三1)换算三长度三ah三1时三，可三近似三作为三弹性三地基三上的三绝对三刚性三梁，近三似认三为a三h=三0(三即E三J=三)三。认三为边三墙本三身不三产生三弹性三变形三，在外三力作三用下三只产三生刚三体位三移，三即只三产生三整体三下沉三和转三动。三由于墙三底摩三擦力三很大三，所三以不三产生三水平三位移三。当三边墙三向围三岩方三向位移三时，三围岩三将对三边墙三产生三弹性三抗力三。墙三底处三为零三，墙三顶处为三最大三值三，中三间呈三直线三分布三。墙三底面三的抗三压按三梯形三分布三，见图三4-三25三。图4三-2三5由静三力平三衡条三件，三对墙三底中三点a取矩三，可三得：式中三：s——边墙三外缘三由围三岩弹三性抗三力所产生三的摩三擦力三，三为三衬砌与三围岩三间的三摩擦三系数三，h三为边三墙侧面高三度。及——边墙三两边三沿的三弹性三抗力。由于三边墙三为刚三性，三故底三面和三侧面三均有三同一三转角三，二三者应相等三，所三以即：式中三：三，三对同三一围三岩，三因基三底受三压面三积小三，压三缩得三较密三实，可取三为1三.2三5。将式三(4三-5三6)三代入三式(三4-三57三)得三：式中三：三称为三刚性三墙的三综合三转动三惯量三，因三而，三侧墙面三的转三角为三：由此三可求三出墙三顶(三拱脚三)处三的单三位位三移及三荷载三位移三：Mc=1三作用三于c三点时三，则三Ma=1三，故式中三：三h1——自墙三底至三拱脚三c点三的垂三直距三离。Hc=1三作用三于c三点时三，则三Ma=h1，故主动三荷载三作用三于基三本结三构时三，则三，三故由此三不难三进一三步求三出拱三顶的三多余三未知三力和三拱脚三(墙三顶)三处的内力三，以三及边三墙任三一截三面的三内力三。第六三节三衬砌三截面三强度三检算为了三保证三衬砌三结构三强度三的安三全性三，需三要在三算出三结构三内力三之后进三行强三度检三算。三目前三我国三道路三隧道三根据三铁路三隧道三工程三技术三规范的三隧道三篇进三行检三算。三该篇三规定三，隧三道衬三砌和三明洞三按破三坏阶三段检算三构件三截面三强度三。即三根据三混凝三土和三砌体三材料三的极三限强三度，三计算出三偏心三受压三构件三的极三限承三载能三力，三与构三件实三际内三力相三比较三，计算三截面三的抗三压(三或抗三拉)三强度三安全三系数三K。三检查三是否三满足三规范三所要求三的数三值，三即：式中三：——截面三的极三限承三载力三；N——截面三的实三际内三力(三轴向三力)三；——规范三所规三定的三强度三安全三系数三，见三表4三-1三及表三4-三2。表4三-1三混三凝土三和砌三体结三构的三强度三安全三系数表4三-2三钢三筋混三凝土三结构三的强三度安三全系三数衬砌三的任三一截三面均三应满三足强三度安三全系三数的三要求三，否三则必三须修改三衬砌三的形三状和三尺寸三，重三新计三算，三直到三满足三要求三为止三。对混三凝土