一阶电路响应

一阶电路响应以下均为个人理解，如有错误，请大佬指出，小生立马就改正。以下均为理想化的模型。换路的概念在讲接下来的主要内容前，我们要先说明下什么是换路。换路就是电路工作状态的改变，比如突然接入或切除电源，改变电路结构或电路元件参数等换路定律：电容：由电容电压连续性定理可知，如果在换路时刻电容电流有界，则电容电压在换路时刻不能跃变，且连续，即uC(0+)=uC(0-)=uC(0)。电感：由电感电流连续性定理可知：如果在换路时刻电感电压有界，则电感电流在换路时刻不能跃变，且连续，即iL(0+)=iL(0-)=iL(0)。1.一阶电路响应的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。1.1RC电路的零输入响应已知uCu_CuC​(0-)=uCu_CuC​(0+)=U0U_0U0​由基尔霍夫电压定律（KVL）可知：-uRu_RuR​+uCu_CuC​=0（式1）。由此可知:i=-Cducdt\frac{duc}{dt}dtduc​（式2）uRu_RuR​=Ri将（式2）带入（式1）可得：RCducdt\frac{duc}{dt}dtduc​+uCu_CuC​=0表明：①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;令T=RC,称T为一阶电路响应的时间常数。一阶电路响应的时间常数T=RC时间常数T的大小反映了电路过渡过程时间的长短T大→过渡过程时间长T小→过渡过程时间短C大（R一定）W=Cu2u^2u2/2储能大放电时间长R大（C一定）i=u/R放电电流小放电时间长。时间常数T的几何意义：uc=U0e−tRCu_c=U_0e^{-\frac{t}{RC}}uc​=U0​e−RCt​能量关系:电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕W=12CU02W={\frac{1}{2}}CU_0{^2}W=21​CU0​21.2RL电路的零输入响应iL(0+)=iL(0−)=USR1+R=I0i_L(0+)=i_L(0-)={\frac{U_S}{R_1+R}}=I_0iL​(0+)=iL​(0−)=R1​+RUS​​=I0​LdiLdt+RiL=0(t≥0)L{\frac{di_L}{dt}}+Ri_L=0(t\geq0)LdtdiL​​+RiL​=0(t≥0)。由以上两条式子，得出如下方程：iL(t)=I0e−RLti_L(t)=I_0e^{-{\frac{R}{L}}t}iL​(t)=I0​e−LR​tuL(t)=LdiLdt=−RI0e−RLtu_L(t)=L{\frac{di_L}{dt}}=-RI_0e^{-{\frac{R}{L}}t}uL​(t)=LdtdiL​​=−RI0​e−LR​t。表明：①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；②响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关;一阶RL电路时间常数:T=LRT={\frac{L}{R}}T=RL​③时间常数T的大小反映了电路过渡过程时间的长短T大→过渡过程时间长T小→过渡过程时间短能量关系：电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。12LI02{\frac{1}{2}}LI_0{^2}21​LI0​2。1.3结论①一阶电路响应的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。②衰减快慢取决于时间常数TT=RCT=RCT=RCT=LRT={\frac{L}{R}}T=RL​R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。③同一电路中所有响应具有相同的时间常数。④一阶电路响应的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。2.一阶电路响应的零状态响应零状态响应：动态元件初始能量为零，由t>0电路中，外加激励作用所产生的响应2.1RC电路的零状态响应uC=US(1−e−tRC)u_C=U_S(1-e^{-{\frac{t}{RC}}})uC​=US​(1−e−RCt​)由上式可知：i=USRe−tRCi={\frac{U_S}{R}}e^{-{\frac{t}{RC}}}i=RUS​​e−RCt​。表明：①电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；②电容电压由两部分构成：稳态分量（强制分量）+暂态分量（自由分量）③响应变化的快慢，由时间常数T＝RC决定；T大，充电慢，T小充电就快。④能量关系：电源提供的能量：CUS2U_S^2US2​电阻消耗的能量：12{\frac{1}{2}}21​CCCUS2U_S^2US2​电容储存的能量：12{\frac{1}{2}}21​CCCUS2U_S^2US2​。表明：①电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。2.2RL电路的零状态响应iL=USR(1−e−RLt)i_L={\frac{U_S}{R}}(1-e^{-{\frac{R}{L}}t})iL​=RUS​​(1−e−LR​t)同理，由上式可知：uL=USe−RLtu_L=U_Se^{-{\frac{R}{L}}t}uL​=US​e−LR​t3.直流一阶电路响应的三要素法三要素法是一种求解直流一阶电路响应的简便方法。它可用于求解电路任一变量的零输入响应和直流源作用下的零状态响应、全响应。被求解的变量既可以是状态变量，也可是非状态变量。三要素法的依据是：直流一阶电路响应中的响应都有初始值和稳态值，而且响应都是从初始值开始按指数规律变化(增长或衰减)并趋向于稳态值的，其变化过程唯一地由电路的时间常数T决定；同一一阶电路响应中各支路电流和电压的时间常数是相同的。在直流一阶电路响应中，响应随时间变化的方式有两种可能的情况,如上图所示。表示为：f(t)=f(∞)+[f(0+)−f(∞)]e−tTf(t)=f(∞)+[f(0_+)-f(∞)]e^{-{\frac{t}{T}}}f(t)=f(∞)+[f(0+​)−f(∞)]e−Tt​其中：f(t)可以是电路中任一支路电流或电压；f(0+)(0_+)(0+​)表示该电流或电压的初始值；f(∞)表示该电流或电压的稳态值；T表示电路的时间常数。在直流一阶电路响应的分析中把这种通过先求出初始值、稳态值、时间常数，然后根据这三个要素确定响应的方法，称为三要素法。3.1三要素法求解步骤（1）求初始值f(0+)。①求出电容电压初始值uCu_CuC​(0+0_+0+​)或电感电流初始值iL(0+)；②用电压为uC(0+)的直流电压源等效电容或用电流为iL(0+)的直流电流源置换电感，所得电路为一直流电阻电路，称为t=0+时的等效电路，由此电路可求得任一支路电压或电流的初始值，即f(0+)。（2）求稳态值f(∞)。用开路置换电容或用短路置换电感，所得到的电路为一直流电阻电路，称为t=∞时的等效电路，由此电路可以得任一支路电压或电流的稳态值，即f(∞)。（3）求时间常数。①求出接在动态元件两端的单口电阻网络的戴维南等效电