2017届高三数学复习专题8平面向量

届高三数学复习专题8平面向量 1．(2015·课标Ⅰ，7，易)设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，则()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))1．A[考向1]如图所示，在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)).又∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).2．(2014·课标Ⅰ，6，易)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))2．A[考向1]如图，eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)·2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).3．(2012·广东，3，易)若向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(4，7)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－2，－4)B．(2，4)C．(6，10)D．(－6，－10)3．A[考向3]eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝(2，3)－(4，7)＝(－2，－4)．4．(2013·辽宁，3，易)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))4．A[考向2]eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－4)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5.与eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量为eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).故选A.5．(2012·安徽，8，中)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量eq\o(OP,\s\up6(→))绕点O按逆时针方向旋转eq\f(3π,4)后得向量eq\o(OQ,\s\up6(→))，则点Q的坐标是()A．(－7eq\r(2)，－eq\r(2))B．(－7eq\r(2)，eq\r(2))平面向量的线性运算是高考对平面向量考查的一个重点内容，主要考查三角形法则及平行四边形法则的应用，通常有两个考查角度：(1)向量的线性表示；(2)加(减)法运算几何意义的应用．考题多以选择题或填空题的形式出现，属于中低档题目，所占分值为5分．1(1)(2014·浙江，8)记max{x，y}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥y，,y，x<y，))min{x，y}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y，x≥y，,x，x<y.))设a，b为平面向量，则()A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2(2)(2015·北京，13)在△ABC中，点M，N满足eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))，若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则x＝________；y＝________.【解析】(1)方法一：对于平面向量a，b，|a＋b|与|a－b|表示以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又|a＋b|，|a－b|中的较大者与|a|，|b|一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，故选项D正确，选项C错误．方法二：若a，b同向，令|a|＝2，|b|＝3，这时|a＋b|＝5，|a－b|＝1，min{|a＋b|，|a－b|}＝1，min{|a|，|b|}＝2；若令|a|＝2，|b|＝6，这时|a＋b|＝8，|a－b|＝4，min{|a＋b|，|a－b|}＝4，而min{|a|，|b|}＝2，显然对任意a，b，min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}的大小关系不确定，即选项A、B均错．同理，若a，b同向，取|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝3，|a－b|＝1，这时max{|a＋b|2，|a－b|2}＝9，而|a|2＋|b|2＝5，不可能有max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2，故选C项错．(2)如图，在△ABC中，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).【答案】(1)D(2)eq\f(1,2)－eq\f(1,6)1.(2013·江苏，10)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．1．【解析】∵eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3).∴λ1＋λ2＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)2．(2014·课标Ⅰ，15)已知A，B，C为圆O上的三点，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为________．2．【解析】由eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC＝90°，所以eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为90°.【答案】90°,解题(1)的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对a，b特殊化，从而得到|a＋b|，|a－b|的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案．解题(2)的关键是结合图形，正确运用平面向量加减运算的三角形法则，通过对向量的逐步分解即可求得结果．平面向量线性运算的解题策略(1)用已知向量表示某个向量问题的基本解题思路①观察各个向量的位置，特别注意平行关系；②寻找相应的三角形或多边形；③利用法则找关系；④化简结果．其中要特别注意结论：若AD是△ABC的中线，则有eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．(2)构造三角形或平行四边形分析向量模之间的关系根据向量线性运算的几何意义，涉及比较分析向量的模之间的大小关系等问题，均可构造三角形或平行四边形，通过三角形中的边角关系来确定向量模之间的关系．高考对共线向量定理、平面向量基本定理的考查主要有以下几个方面：(1)利用共线向量定理求参数的值；(2)利用平面向量基本定理结合向量的线性运算对向量进行分解；(3)在坐标表示的前提下由向量共线求参数值或对向量进行分解．一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等，分值为5分．2(1)(2012·大纲全国文，9)△ABC中，AB边的高为CD，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)bB.eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)bC.eq\f(3,5)a－eq\f(3,5)bD.eq\f(4,5)a－eq\f(4,5)b(2)(2015·课标Ⅱ，13)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．【解析】(1)方法一：∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°，∴AB＝eq\r(5)，CD＝eq\f(2\r(5),5).∴BD＝eq\f(\r(5),5)，AD＝eq\f(4\r(5),5)，∴AD∶BD＝4∶1.∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(4,5)a－eq\f(4,5)b.方法二：如图，以C为原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．由已知得A(2，0)，B(0，1)．又因为CD⊥AB，所以可求得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(4,5)))，于是eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)，\f(4,5)))，而a＝(0，1)，b＝(2，0)，若设eq\o(AD,\s\up6(→))＝xa＋yb，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y＝－\f(8,5)，,x＝\f(4,5)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,5)，,y＝－\f(4,5)，))故eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)a－eq\f(4,5)b.(2)因为λa＋b与a＋2b平行，所以存在实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0.由于a，b不平行，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝0，,1－2μ＝0，))解得λ＝eq\f(1,2).【答案】(1)D(2)eq\f(1,2)1.(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是()A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)1．B方法一：若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，因为eq\f(－1,5)≠eq\f(2,－2)，所以e1，e2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量a＝(3，2)表示出来，故选B.方法二：因为a＝(3，2)，若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝－λ＋5μ，,2＝2λ－2μ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝1，))所以a＝2e1＋e2，故选B.2．(2012·四川，7)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|2．C因为向量eq\f(a,|a|)的方向与向量a相同，向量eq\f(b,|b|)的方向与向量b相同，且eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)，故a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件．,求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程，A，P，B三点共线⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O为平面内任一点，t∈R)．(5)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．高考对平面向量坐标运算的考查主要有以下几个方面：(1)用坐标进行线性运算；(2)在坐标表示下两向量共线与垂直条件的应用；(3)用坐标运算进行向量的分解．高考中该类问题多以客观题的形式出现，难度一般，为中低档题目，分值为5分．3(1)(2014·陕西，13)设0<θ<eq\f(π,2)，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________．(2)(2013·北京，13)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝________．【解析】(1)因为a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，即2sinθcosθ＝cos2θ.因为0<θ<eq\f(π,2)，所以cosθ≠0，得2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝eq\f(1,2).(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴a＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1，1)，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6，2)，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(λ,μ)＝4.【答案】(1)eq\f(1,2)(2)4在考题展示(1)中，若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，a，b的坐标不变，且a⊥b，求tanθ的值．解：由于a⊥b，所以a·b＝0，即sin2θ·cosθ＋cosθ＝0，因为eq\f(π,2)<θ<π，所以cosθ≠0，于是sin2θ＝－1，即2θ＝eq\f(3π,2)，从而θ＝eq\f(3π,4)，故tanθ＝taneq\f(3π,4)＝－1.,平面向量坐标运算的方法技巧(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用．(2)利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数．1．(2016·山东济南二模，3)已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，则向量eq\o(OC,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))B．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))C．2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))D．－eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))1．C[考向1]因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝2(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，故选C.2．(2015·河北邯郸一模，5)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则eq\f(m,n)等于()A．－2B．2C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)2．C[考向3]由题意得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．∵(ma＋nb)∥(a－2b)，∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，∴eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2)，故选C.3．(2016·四川成都一模，4)在△ABC中，D是AB边上一点，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(DB,\s\up6(→))，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(CB,\s\up6(→))，则λ的值为()A.eq\f(1,4)B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)3．B[考向2]依题意有eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(CB,\s\up6(→))，故λ＝－eq\f(1,4).4．(2015·浙江杭州质检，5)设O是△ABC的外心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，则∠BAC等于()A．30°B．45°C．60°D．90°C[考向1]取BC的中点D，连接AD，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→)).由题意，得3eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，∴O为△ABC的重心．又O为△ABC的外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°，故选C.5．(2016·山东潍坊一模，8)若M是△ABC内一点，且满足eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4eq\o(BM,\s\up6(→))，则△ABM与△ACM的面积之比为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．25．A[考向1]设AC的中点为D，则eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，于是2eq\o(BD,\s\up6(→))＝4eq\o(BM,\s\up6(→))，从而eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(BM,\s\up6(→))，即M为BD的中点，于是eq\f(S△ABM,S△ACM)＝eq\f(S△ABM,2S△AMD)＝eq\f(BM,2MD)＝eq\f(1,2).6．(2015·陕西西安质检，14)已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________.6．[考向2]【解析】依题意，设a＝kb，即2e1－e2＝k(e1＋λe2)，于是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝k，,－1＝kλ，))解得λ＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)(2015·河南开封二模，13)平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(－1，c)(c>0)，且|OC|＝2，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，则实数λ，μ的值分别是________．7．[考向3]【解析】∵|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2，∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|2＝1＋c2＝4，c>0，∴c＝eq\r(3).∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，∴(－1，eq\r(3))＝λ(1，0)＋μ(0，1)，∴λ＝－1，μ＝eq\r(3).【答案】－1，eq\r(3)8．(2015·安徽阜阳一模，14)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________．8．[考向2]【解析】方法一：由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→))，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ·eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋μ·eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(μ,2)－1))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＋\f(μ,2)))eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(μ,2)－1))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＋\f(μ,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)λ＋\f(3,4)μ－1))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(μ,2)))eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.又因为eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))不共线，所以由平面向量基本定理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)λ＋\f(3,4)μ－1＝0，,λ＋\f(μ,2)＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(4,5)，,μ＝\f(8,5).))所以λ＋μ＝eq\f(4,5).方法二：如图，连接MN并延长交AB的延长线于T，由已知易得AB＝eq\f(4,5)AT，∴eq\f(4,5)eq\o(AT,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→)).∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝eq\f(4,5).【答案】eq\f(4,5)1．(2016·课标Ⅱ，3，易)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A．－8B．－6C．6D．81．D[考向1]方法一：a＋b＝(4，m－2)，∵(a＋b)⊥b，∴(a＋b)·b＝0，即12－2(m－2)＝0，解得m＝8.方法二：∵(a＋b)⊥b，∴(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝0.∴3－2m＋9＋4＝0，解得m＝8.2．(2016·课标Ⅲ，3，易)已知向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°2．A[考向2]如图．易知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，则∠α＝60°，∠β＝30°，∴∠ABC＝∠α－∠β＝30°.3．(2016·山东，8，中)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝eq\f(1,3).若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4C.eq\f(9,4)D．－eq\f(9,4)3．B[考向1]由题意得，cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(m·n,\f(3,4)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(n))\s\up12(2))＝eq\f(1,3)，所以m·n＝eq\f(1,4)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(n))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)n2.因为n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，即eq\f(1,4)tn2＋n2＝0，所以t＝－4.4．(2015·山东，4，易)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(3,2)a2B．－eq\f(3,4)a2C.eq\f(3,4)a2D.eq\f(3,2)a24．D[考向1]∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))2＝|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(BA,\s\up6(→))|cos60°＋|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,2)a2＋a2＝eq\f(3,2)a2.故选D.5．(2014·重庆，4，易)已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－eq\f(9,2)B．0C．3D.eq\f(15,2)5．C[考向2]2a－3b＝(2k－3，－6)，由(2a－3b)⊥c，得4k－6－6＝0，解得k＝3.故选C.6．(2014·课标Ⅱ，3，易)设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b＝()A．1B．2C．3D．56．A[考向2]由|a＋b|＝eq\r(10)得a2＋b2＋2a·b＝10，①由|a－b|＝eq\r(6)得a2＋b2－2a·b＝6，②①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1，故选A.7．(2013·福建，5，易)在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4，2)，则该四边形的面积为()A.eq\r(5)B．2eq\r(5)C．5D．107．C[考向3]eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(1，2)·(－4，2)＝0，故eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→)).故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×2eq\r(5)＝5，故选C.8．(2015·安徽，8，中)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up6(→))8．D[考向1]在△ABC中，由eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a＋b)·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，故选D.9．(2013·湖南，8，中)已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()A.eq\r(2)－1B.eq\r(2)C.eq\r(2)＋1D.eq\r(2)＋29．C[考向3]建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知a⊥b，且a与b是单位向量，∴可设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a＝(1，0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b＝(0，1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c＝(x，y)．∴c－a－b＝(x－1，y－1)，∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即点C(x，y)的轨迹是以M(1，1)为圆心，1为半径的圆．而|c|＝eq\r(x2＋y2)，∴|c|的最大值为|OM|＋1，即|c|max＝eq\r(2)＋1，故选C.思路点拨：由于a，b是相互垂直的单位向量，故可建立直角坐标系，根据向量加法、减法以及模的几何意义进行求解，求解向量问题要善于运用数形结合的思想．10．(2014·天津，8，中)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝1，eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)，则λ＋μ＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6)D.eq\f(7,12)10．C[考向1]以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))为基向量，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→)))＝μeq\o(AB,\s\up6(→))2＋λeq\o(AD,\s\up6(→))2＋(1＋λμ)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1.①eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(λ－1)eq\o(BC,\s\up6(→))·(μ－1)eq\o(DC,\s\up6(→))＝－2(λ－1)(μ－1)＝－eq\f(2,3).②由①②可得λ＋μ＝eq\f(5,6).11．(2016·课标Ⅰ，13，易)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．11．[考向2]【解析】方法一：a＋b＝(m＋1，3)，又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2.∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2.方法二：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2.【答案】－212．(2015·湖北，11，易)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝3，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝________．12．[考向1]【解析】eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝9.【答案】913．(2014·江西，14，中)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝eq\f(1,3)，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________．13．[考向2]【解析】a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×eq\f(1,3)＝8.∵|a|2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－12×1×1×eq\f(1,3)＝9，∴|a|＝3.∵|b|2＝(3e1－e2)2＝9＋1－6×1×1×eq\f(1,3)＝8，∴|b|＝2eq\r(2)，∴cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(8,3×2\r(2))＝eq\f(2\r(2),3).【答案】eq\f(2\r(2),3)14．(2012·安徽，14，中)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．14．[考向3]【解析】由向量的数量积知，－|a||b|≤a·b≤|a||b|⇒|a|·|b|≥－a·b(当且仅当〈a，b〉＝π时等号成立)．由|2a－b|≤3⇒4|a|2－4a·b＋|b|2≤9⇒9＋4a·b≥4|a|2＋|b|2≥4|a||b|≥－4a·b⇒a·b≥－eq\f(9,8)(当且仅当2|a|＝|b|，〈a，b〉＝π时取等号)，∴a·b的最小值为－eq\f(9,8).【答案】－eq\f(9,8)思路点拨：先由|2a－b|≤3找出a·b与|a|·|b|之间关系，再利用基本不等式及数量积的定义求最值.平面向量数量积的概念与计算是高考对平面向量考查的一个重点内容，主要从以下几个角度考查：(1)对数量积定义式的理解与应用；(2)在具体平面图形中计算数量积的值；(3)求一个向量在另一个向量方向上的投影．这类考题一般以选择题、填空题的形式出现，多为中低档题目，所占分值为5分．1(1)(2015·陕西，7)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2(2)(2015·四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4.若点M，N满足eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(NC,\s\up6(→))，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))＝()A．20B．15C．9D．6(3)(2013·课标Ⅱ，13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.【解析】(1)根据a·b＝|a||b|cosθ，又cosθ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立；当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立；根据|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立；根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．(2)如图所示，由题意知，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)AD，eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(3,4)\o(AD,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))－\f(1,4)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－eq\f(3,16)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)×36－eq\f(3,16)×16＝9.(3)方法一：如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(1，2)．于是eq\o(AE,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2，2)，故eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝1×(－2)＋2×2＝2.方法二：由于四边形ABCD为正方形，且边长为2，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝22－0－eq\f(1,2)×22＝2.【答案】(1)B(2)C(3)21.(2013·湖北，6)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影为()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2)D．－eq\f(3\r(15),2)1．A由eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(5，5)，得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝15，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝5eq\r(2).∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).故选A.2．(2012·天津，7)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，λ∈R.若eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，则λ＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1±\r(2),2)C.eq\f(1±\r(10),2)D.eq\f(－3±2\r(2),2)2．A如图，eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∵eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，∴(eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)，eq\o(AQ,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AQ,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2).又eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，代入上式得(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))·λeq\o(AB,\s\up6(→))－(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2).(*)∵△ABC为等边三角形，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos60°＝2×2×eq\f(1,2)＝2，|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝4，|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝4，代入(*)式得4λ2－4λ＋1＝0，即(2λ－1)2＝0，∴λ＝eq\f(1,2)，故选A.思路点拨：本题的关键在于将eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CP,\s\up6(→))用一组基底eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))来线性表示，然后根据数量积的运算律，结合已知条件建立参数λ的方程求解．,求平面向量数量积的方法给出向量a，b，求a·b的三种方法：(1)若两个向量共起点，且两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算法则求得．求向量a在向量b方向上的投影的方法(1)根据定义求，即a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉；(2)利用数量积求解，即a在b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|).平面向量的夹角与模的计算问题是高考的热点内容，一般有以下几个考查角度：(1)求两个向量的夹角；(2)求某一个向量的模；(3)由向量垂直求参数值等．高考对该类问题的考查往往会将知识进行交汇考查，多为中低档题目，难度一般，主要以客观题形式出现，所占分值为5分．2(1)(2015·重庆，6)若非零向量a，b满足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4)D．π(2)(2014·大纲全国，4)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝()A．2B.eq\r(2)C．1D.eq\f(\r(2),2)(3)(2013·山东，15)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．【解析】(1)设|b|＝x，〈a，b〉＝θ，则|a|＝eq\f(2\r(2),3)x，a·b＝eq\f(2\r(2),3)x2cosθ.∵(a－b)⊥(3a＋2b)，∴(a－b)·(3a＋2b)＝0，∴3a2＋2a·b－3a·b－2b2＝0，即3×eq\f(8,9)x2－eq\f(2\r(2),3)x2cosθ－2x2＝0，∴eq\f(2\r(2),3)cosθ＝eq\f(2,3)，∴cosθ＝eq\f(\r(2),2).∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,4)，故选A.(2)因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝0，即|a|2＋a·b＝0，又因为|a|＝1，所以a·b＝－1.又因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即2a·b＋|b|2＝0，所以|b|2＝2，所以|b|＝eq\r(2).(3)∵eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.∵向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，∴(λ－1)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝eq\f(7,12).【答案】(1)A(2)B(3)eq\f(7,12)1.(2014·四川，7)平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()A．－2B．－1C．1D．21．Dc＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.由两向量的夹角相等可得eq\f(a·c,|a|)＝eq\f(b·c,|b|)，即为eq\f(5m＋8,\r(5))＝eq\f(8m＋20,\r(20))，解得m＝2.2．(2013·天津，12)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1，则AB的长为________．2．【解析】方法一：由题意可知，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).因为eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1，所以(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝1，则eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝1.①因为|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，∠BAD＝60°，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，因此①式可化为1＋eq\f(1,4)|eq\o(AB,\s\up6(→))|－eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝1.解得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝0(舍去)或eq\f(1,2)，所以AB的长为eq\f(1,2).方法二：以A为原点，AB为x轴建立如图的直角坐标系，过D作DM⊥AB于点M.由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝eq\f(1,2)，DM＝eq\f(\r(3),2).设|AB|＝m(m＞0)，则B(m，0)．Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).因为E是CD的中点，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)＋\f(1,2)，\f(\r(3),2))).所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)m，\f(\r(3),2)))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)，\f(\r(3),2))).由eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)m))＋eq\f(3,4)＝1，即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或eq\f(1,2).故AB的长为eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2),求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步，由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；第二步，分别求出这两个向量的模或找出两个模之间的关系；第三步，根据公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))求解出这两个向量夹角的余弦值；第四步，根据两个向量夹角的范围为[0，π]及其余弦值，求出这两个向量的夹角．求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算．(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．平面向量中的最值或范围问题也是高考考查的重点，多以下列角度进行考查：(1)求数量积的最值或范围；(2)求模的最值；(3)求夹角的最值或范围；(4)求其他参数的取值范围或最值．这类考题往往具有较强的综合性，难度较大，多以客观题形式出现，所占分值为5分．3(1)(2015·天津，14)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,9λ)eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的最小值为________．(2)(2011·浙江，14)若平面向量α，β满足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(β))≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为eq\f(1,2)，则α与β的夹角θ的取值范围是________．【解析】(1)方法一：如图，分别过C，D作CN⊥AB于N，DM⊥AB于M，则AM＝BN＝eq\f(1,2)，∴CD＝MN＝1.∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝4－1－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9λ)))－λ＋λ＋eq\f(1,2)λ·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9λ)))＝eq\f(17,18)＋eq\f(2,9λ)＋eq\f(λ,2)≥eq\f(17,18)＋2eq\r(\f(1,9))＝eq\f(29,18)，当且仅当eq\f(2,9λ)＝eq\f(λ,2)，即λ＝eq\f(2,3)时等号成立，此时eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))有最小值eq\f(29,18).方法二：在等腰梯形ABCD中，由AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得AD＝DC＝1.建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，B(2，0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))－(2，0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＝(1，0)．∵eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)λ，\f(\r(3),2)λ))，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)λ，\f(\r(3),2)λ)).∵eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,9λ)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9λ)，0))，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,9λ)，\f(\r(3),2))).∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2λ)，\f(\r(3),2)λ))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,9λ)，\f(\r(3),2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4