第9章超短脉冲非线性光学

第9章超短光脉冲非线性光学9.1超短光脉冲的传播方程9.2超短脉冲的二次谐波产生9.3超短光脉冲的参量作用和放大9.4非线性相位调制9.5飞秒脉冲的自聚焦9.6超短脉冲的产生9.7飞秒激光器中的孤子习题

9.1超短光脉冲的传播方程［1］

9.1.1光脉冲电场的复数表示众所周知，电磁波可以用电场随时间和空间的变化完全描述，电场可表示为E(r,t)。如果忽略电场随空间的变化，则可表示为E(t)。尽管所测量的电场为实数，但若采用复数形式表示通常更加方便。

对于电场的完全描述，既可在时域中进行，也可在频域中进行。相对于时域中的实电场E(t)，可以通过傅里叶变换在频域中定义其复函数谱E(ω)，且有(9.1-1)

式中，|E(ω)|表示光谱幅度，φ(ω)表示光谱相位。因为E(t)是实函数，所以有E(ω)=E*(-ω)。当给定E(ω)时，电场的瞬时变化可以通过逆傅里叶变换得到(9.1-2)

在该式中，出现了负频率分量。对应用而言，采用这种含有负频率分量的函数是不方便的，通常希望采用复数电场表示。因此，引入电场E+(t)和相应的光谱场E+(ω)，它们分别为(9.1-3)(9.1-4)E+(t)和E+(ω)之间通过方程(9.1-1)和方程(9.1-2)相互(9.1-5)(9.1-6)对于实物理电场E(t)及其复光谱场，可以通过上二式给出的量E+(t)、E+(ω)和相应的负频率量E-(t)、E-(ω)表示，其关系为E(t)=E+(t)+E-(t)(9.1-7)E(ω)=E+(ω)+E-(ω)(9.1-8)

图9.1-1正啁啾脉冲(a)脉冲电场及载频随时间变化；(b)正啁啾脉冲光谱幅度；

(c)正啁啾脉冲光谱相位

图9.1-1正啁啾脉冲(a)脉冲电场及载频随时间变化；(b)正啁啾脉冲光谱幅度；

(c)正啁啾脉冲光谱相位9.1.2脉冲宽度和光谱宽度激光脉冲越短，评价光脉冲的时间特性越困难。在飞秒领域，即使光脉冲宽度的简单概念都变得模糊，主要的问题在于如何确定光脉冲的形状。目前对超短光脉冲宽度的测量技术，能使激光脉冲专家接受的代表性的函数是强度自相关：(9.1-15)

与其相应的傅里叶变换是实函数：(9.1-16)

自相关测量技术不包含脉冲的相位或它的相干信息，它主要用在超短脉冲序列的情况(连续(CW)锁模)，其测量结果只能反映光脉冲序列的系综平均值：(9.1-17)

首先，定义光脉冲宽度τp为光脉冲强度分布的1/2最大值处的全宽度(FWHM)，光脉冲的光谱宽度Δωp为光谱强度分布的FWHM。普遍采用的光脉冲波形为高斯型分布：(9.1-18)和双曲正割型分布：(9.1-19)表9.1-1几种标准脉冲分布函数9.1.3超短光脉冲的传播方程上面我们介绍了光脉冲的时间与光谱特性概念，下面讨论描述光脉冲在介质中传播特性的基本方程。从麦克斯韦方程出发，可以得到光电场矢量E满足的波动方程为(9.1-21)一般情况下，极化强度由两部分组成：(9.1-22)9.2超短脉冲的二次谐波产生9.2.1第I类相位匹配的二次谐波产生首先，为了研究光脉冲在非线性介质中的传播，我们仍如上节所述，由波动方程(9.1-21)出发，得到光脉冲的传播方程：(9.2-1)

如果我们将极化强度表示为慢变化包络P与频率为ωp的振荡因子exp(-iωpt)之积，则(9.2-1)式的右边可写为(9.2-2)1.第I类相位匹配的二次谐波产生的耦合波方程假设有一光脉冲入射到二次谐波产生晶体上，在晶体内传播的光电场由基波光电场(用下标1表示)和二次谐波光电场(用下标2表示)组成，则总光电场满足类似于方程(9.2-1)的波动方程：(9.2-3)式中的二阶极化强度可以表示为(9.2-4)基波振幅耦合微分方程：(9.2-5)二次谐波振幅耦合微分方程(9.2-6)2.第I类相位匹配的二次谐波产生的转换效率

1)低转换效率情况假设二次谐波产生过程在光脉冲载频上严格相位匹配，则发生低转换效率的情况，或者是基波输入强度很小，或者是非线性介质的长度很短，或者是非线性极化率很小。在这种情况下，可以假设脉冲没有明显的减小，，直接积分方程(9.2-6)，得到z=L处的二次谐波场为(9.2-7)

在的宗量中，项表示了二次谐波脉冲和基波脉冲因其群速度不同而产生的走离，其结果如图9.2-1所示，二次谐波的脉冲宽度被展宽。只有当晶体长度远小于走离长度LSHGD，即(9.2-8)图9.2-1在不同的归一化长度L/LSHGD条件下，由(9.2-7)式计算的二次谐波脉冲表9.2-1几种常用晶体在第I类相位匹配情况下的相位匹配角θ

和群速失配［4,5,6］图9.2-2忽略(用……线表示)和考虑(用----线表示)基波抽空的转换效率3.第I类相位匹配中群速失配的补偿群速失配限制了飞秒光脉冲的倍频效率，使之仅为百分之几十。应该指出，群速失配相当于相位匹配条件不能在整个脉冲光谱范围内获得满足。一般说来，仅通过选择晶体材料，既能在脉冲的中心波长上保持相位匹配(Δk=0)，又同时实现群速匹配是不可能的(见表9.2-1)。

在相位匹配的实验中，最常采用的方法是通过调节光束在非线性晶体上的入射角来实现的。不难想象，如果把超短激光脉冲的光谱用色散元件分开，在空间上按波长的顺序排列，进而用合适的聚焦透镜把这种光束聚焦在非线性晶体中，它们将以不同的角度入射，从而扩大了晶体的相位匹配范围。这种在空间上按波长顺序排列的方法，可称为空域内的频率啁啾。

飞秒光脉冲具有较宽的光谱带宽，通常应用色散元件，如光栅对［2］、棱镜对［8］把激光光谱展宽，使不同光谱分量以不同入射角入射到倍频晶体上，实现不同光谱分量的相位匹配。

图9.2-3示出了萨伯(Szabo)等［9］人提出的超短脉冲倍频器的建议。在这种倍频器中，使用了两个光栅，其中一个用作色散元件，另一个用作准直色散光束。该倍频器所使用的两个消色差的透镜分别用作聚焦成像和准直成像，以保证无群速弥散，得到光束的光谱复原。在图中的光栅G1能使不同光谱分量以不同的入射角进入倍频晶体，透镜L1的放大倍数由光栅的角色散a1=dβ/dω和相位匹配角的微分a2=dθ/dω决定：(9.2-12)

第二只透镜L2的放大倍数在考虑晶体输出的倍频光条件下，同样地进行选择。图9.2-4示出了利用棱镜对的空间色散扩展晶体接收角的倍频器结构示意图，有关这种系统的详细讨论，读者可参看有关文献［10］。图9.2-3利用光栅空间色散扩展晶体接收角的倍频器图9.2-4棱镜对倍频器

9.2.2第Ⅱ类相位匹配的超短脉冲二次谐波产生把方程(9.2-5)和(9.2-6)推广到第Ⅱ类相位匹配情况，并选取以二次谐波速度v2运动的坐标为时延参考坐标，基波脉冲的寻常光(o光)分量以寻常光群速度vo传播，基波的另一个分量——非常光(e光)分量以非常光群速度ve传播，则描述基波脉冲和衰减的方程及二次谐波增长的方程分别为(9.2-13)

(9.2-14)(9.2-15)9.3超短光脉冲的参量作用和放大

图9.3-1示出了光参量过程频率变换的三种不同情况：图(a)为频率上转换(和频)，图(b)为频率下转换(差频)，图(c)表示光参量振荡中产生新的频率(下转换)。图9.3-1光参量作用的三种不同情况9.3.1光脉冲的参量作用与放大

1.光参量作用的基本耦合波方程在图9.3-1所示的光参量作用中，原则上，利用参量上转换或下转换获得飞秒脉冲输出只要输入一个飞秒脉冲就足够了，第二个脉冲可以是长脉冲或者是连续光。当然，同时输入两个飞秒脉冲，仍然可以获得参量混频，获得上转换或下转换飞秒脉冲输出。如果泵浦脉冲光足够强，可以产生两个满足相位匹配条件、频率为ω1和ω2的脉冲。

在这种情况下，在宽的光谱范围内总是存在噪声光子，这种噪声光子起着种子光作用，它们在参量振荡腔内获得放大并形成振荡，这就是光参量振荡。所产生的脉冲称为信号光脉冲和空闲光脉冲，一般把波长短的光脉冲称为信号光脉冲。假设非线性介质中的光脉冲电场为(9.3-1)

其中下标p、s和i分别表示泵浦光、信号光和空闲光，三个波的频率和波矢满足下面的关系：(9.3-2)则与推导二次谐波产生耦合波方程类似，可以得到描述三个光脉冲参量作用的耦合波微分方程：(9.3-3)(9.3-4)(9.3-5)其中2.准稳态和瞬态参量放大特性首先我们考虑最简单的情况，假设一束强的高频ωp泵浦光和一束低频ωs的弱信号光同时入射到非线性介质中，(9.3-6)

其中,η=t-z/v,γ2=γsγi,Ap0（η）=Ap(η,z=0)。在高增益耦合情况下的高斯泵浦光脉冲场中，由(9.3-6)式可得到(9.3-7)图9.3-2准稳态简并参量作用的脉冲形状3.群速失配效应光脉冲参量相互作用的瞬态分析首先考虑以下情况：信号光和空闲光在群速匹配的条件下传播，而它们相对泵浦光脉冲的群速失配足够大，则在泵浦光场无抽空的近(9.3-9)图9.3-3在准连续泵浦场中巨次谐波的形成图9.3-4

在不同参量m和Γm值上，泵浦场中参量信号的模9.3.2同步泵浦光参量振荡器利用高功率皮秒或飞秒锁模激光器输出的序列脉冲作泵浦源，采用同步泵浦技术可以获得高转换效率的OPO振荡。所谓同步泵浦，是指用一确定工作频率的高强度激光序列脉冲泵浦非线性晶体，如果在OPO振荡器中振荡的信号光与泵浦光的周期相等，则信号光每通过一次非线性晶体，因泵浦光也同时通过非线性晶体，信号光将获得放大。由于信号光在振荡腔内以严格的周期通过非线性晶体，并与泵浦光脉冲相互作用获得增益，因而当OPO的增益大于振荡腔的损耗时，信号光的能量将越来越大，最后获得参量光输出。

图9.3-5示出了一个同步泵浦飞秒光参量振荡器的原理图［15］。该飞秒参量振荡器利用掺钛蓝宝石飞秒激光器输出的重复率为76MHz、脉宽为110fs、平均功率为800mW、波长为765nm的飞秒激光作泵浦光，通过精确调节泵浦光脉冲和光参量信号光脉冲之间的延迟，使两者精确同步。如果满足相位匹配条件，而且参量光的增益大于振荡腔的损耗，则信号光(参量光)在腔内多次经过放大晶体后，将从耦合输出镜输出脉宽为62fs、重复率为76MHz、平均功率为175mW、波长调谐范围为1.2μm～1.34μm的飞秒相干光。图9.3-5同步泵浦飞秒光参量振荡器9.3.3光参量啁啾脉冲放大(OPCPA)1.OPCPA技术的基本概念

OPCPA的基本结构框图如图9.3-6所示。将欲放大的一束低能量飞秒宽带种子信号光脉冲，通过正啁啾色散的方法在时域上展宽(展宽后的脉冲在时域上表现为啁啾脉冲)，然后使展宽后的啁啾种子光和一束高能量纳秒量级的窄带泵浦光(泵浦光的典型脉宽约1ns)在非线性晶体中进行参量耦合；耦合过程中能量从泵浦光脉冲转移到种子光脉冲，使种子光脉冲放大，同时产生第三束光即空闲光；放大后的种子光脉冲再通过负啁啾色散的方法被压缩成飞秒脉冲输出。

在OPCPA中，对飞秒信号光脉冲进行展宽，使得信号光脉冲和泵浦光脉冲之间实现脉宽匹配，可以提高参量转换效率，一般要求泵浦光脉宽略大于信号光脉宽。图9.3-6OPCPA的基本结构框图图9.3-7两个互相平行的光栅对产生GVD的原理图

在此，我们仅讨论光栅对产生GVD的特性，并限于讨论光栅的一级衍射。图9.3-7示出了光栅对产生GVD的原理。由光栅理论，入射角和衍射角的关系可以通过光栅方程表示：(9.3-10)(9.3-11)式中d为光栅常数。光由A点通过光栅G2的相移为(9.3-12)式中POL是A和输出波前PP0之间的光程，且(9.3-13)b是光栅G1和G2之间的垂直距离；ω是入射角为β时，与衍射角β′+α相对应的频率。相位φ的二阶色散为(9.3-14)(9.3-15)由(9.3-11)式可以得到光栅的角色散为(9.3-16)表9.3-1典型光学器件的二阶和三阶色散值3.光参量啁啾脉冲放大现在我们讨论光参量啁啾脉冲放大的基本问题——啁啾脉冲放大。图9.3-8给出了一般的啁啾脉冲放大原理图。图9.3-8啁啾脉冲放大原理图

对于一个线性放大器，必须满足两个基本条件：

(1)放大器的带宽应超过被放大的脉冲带宽；

(2)放大器不被饱和。如果上述两个条件能完全满足，就可以采用共轭的色散延迟把被放大的脉冲压缩回原始的脉冲宽度，实现啁啾脉冲放大。对于光参量脉冲放大器，通过分析方程组(9.3-3)式～(9.3-5)式可知，啁啾放大可以在参量过程中发生，而且脉冲功率越高，其转换效率越高。

在参量过程中，三个相互作用脉冲的频率满足如下关系：(9.3-17)如果把上式与时间相关的频率改写为与相位的关系：(9.3-18)然后将该关系代入(9.3-17)式中，可得如下相位关系式：(9.3-19)为了实现有效的参量振荡，必须满足相位匹配条件：(9.3-20)

在|dφp(t)/dt|<<ωj和线性啁啾泵浦脉冲的条件下，(9.3-20)式的台劳展开式为(9.3-21)

因此，三个频率的啁啾是通过群速度vj相联系，并且由(9.3-19)式和(9.3-21)式可以看出，空闲光脉冲、信号光脉冲与泵浦光脉冲之间的瞬时频率关系为(9.3-22)(9.3-23)(9.3-24)图9.3-9BBO在I类和Ⅱ类相位匹配条件下，光参量振荡器的调谐曲线4.OPCPA基本理论概述

OPCPA技术的核心是光参量放大，光参量放大过程属于差频效应的特例，其相位匹配条件和动量守恒条件为ωp=ωs+ωi

(9.3-25)kp=ks+ki

(9.3-26)

相位失配为Δk=kp-ks-ki(9.3-27)1)小信号近似特牲在三波混频的基本耦合波方程中，如果不考虑泵浦光的抽空效应，并且由于参量光脉宽都在纳秒量级，因此群速度失配可以忽略不计。当满足相位匹配条件时，可以求解耦合波方程得到信号光通过非线性晶体后的强度增益G和相位变化φ［17］：(9.3-28)(9.3-29)式中(9.3-27)g为有效增益系数，L为放大长度，Ip为泵浦光强度，deff为晶体的有效非线性光学系数。

信号光通过非线性晶体的强度增益G可以进一步简化成如下形式：(9.3-30)依据(9.3-28)式或(9.3-30)式可以对OPCPA过程中信号光的放大进行近似计算。2)考虑泵浦抽空效应的解在光参量作用增益较大时，必须考虑泵浦光的抽空效应。由三波耦合方程的雅可比椭圆函数解可以推得如下方程［18］：(9.3-31)式中泵浦光抽空当OPA输入端的空闲光为0时，方程(9.3-31)可以简化成(9.3-32)参量放大作用一直持续到(9.3-32)式的分母变化到0为止，此时泵浦光抽空达到最大，其z值为za。泵浦光抽空的最大值由下面方程给出：(9.3-33)

依据能量守恒条件，泵浦光抽空的能量按信号光和空闲光的频率之比分配给它们，因此信号光强可以写成：(9.3-34)对上式进行空间和时间积分，可以得到估算脉冲能量Es的表达式：(9.3-35)3)OPCPA的参量带宽由于参量放大后的信号光谱带宽越宽，再压缩后的飞秒脉冲宽度就越窄，因此要求参量放大器应具有较宽的本征参量带宽。参量带宽是由参量过程允许的相位失配决定的，参量放大器输出的光谱带宽主要受限于参量放大过程的参量带宽，它给出了增益带宽的最大可能值。通常，定义满足|Δklc/π|≤1的参量光波长范围为参量带宽。由(9.3-30)式出发，将波矢按台劳级数展开为光频率的函数，可求得参量带宽的显式表示［19］：(9.3-36)其中

在非简并情况下，利用非共线相位匹配来实现种子光和空闲光群速匹配，即实现空闲光群速在种子光传播方向上的投影值与种子光群速相等,这等价于

(9.3-36)θ为种子光和空闲光间的夹角，从而可以获得极宽的参量带宽，实现超宽带增益。4)OPCPA示例图9.3-10是由Nd:YAG调Q倍频激光器为泵浦光束的OPCPA系统［20］。该系统结构简单，造价便宜，是十分有前景的可调谐TW级的小型放大系统。系统中选择的脉冲能量是考虑到BBO晶体破坏阈值的50%(2J/cm2)；种子脉冲和泵浦脉冲分别选择为0.5

ns和5ns，是为了提高它们之间的相互作用效率及可获得的光栅对压缩器能有效压缩最大脉冲的可能性。图9.3-10由Nd:YAG调Q倍频激光器为泵浦光束的OPCPA系统图9.3-10由Nd:YAG调Q倍频激光器为泵浦光束的OPCPA系统9.4非线性相位调制9.4.1理论基础在许多材料的透明区域内，折射率与传播光场存在着非线性关系，并可以用下面相等的关系之一表示：(9.4-1)表9.4-1几种材料的非线性折射率参量

非线性折射率是三阶非线性极化的结果。如果仅有一个脉冲入射到非线性介质，在瞬时响应的情况下，相应的极化强度为(9.4-2)

相应于指数函数宗量中3ωl的项，描述了三次谐波产生效应。不过，在我们所讨论的大多数材料中，这种三次谐波产生效应很弱，可以忽略。在此条件下，由(9.4-2)式很容易得到(9.4-3)9.4.2自相位调制(SPM)［1］

1.快速自相位调制光脉冲在介质中传播时，折射率将随光强的大小发生变化，导致自相位调制。如果介质折射率的变化时间与光脉冲的变化时间可比拟，或比光脉冲的持续时间短，则光脉冲将会获得瞬时相位分布。如果折射率的变化是由相互独立的光信号引起的，这种现象称为交叉相位调制(XPM)。

对于大多数用于自相位调制的材料，折射率随强度的变化((9.4-1)式)是由光克尔效应造成的，其相应的电子非线性响应时间为飞秒量级，可视为瞬时非线性［21］。在这种情况下，波源项为(9.4-6)式的波动方程(9.2-1)，可简化为(9.4-8)

考虑到χ(3)是实数，将代入方程(9.4-8)中，并将实部和虚部分离，可以得到脉冲的包络方程为(9.4-9)脉冲的相位方程为(9.4-10)

显然，在以群速度传播的坐标系中，脉冲振幅A是常数，即脉冲包络保持不变，A(t,z)=A(t,0)=A0(t)。考虑到这一点，我们可以对(9.4-10)式进行积分，得到相位φ为(9.4-11)

该式表明，强度瞬时分布的光脉冲，沿非线性介质传播距离z后，其相位移除积累的线性相位移φ0外，还附加有与脉冲光强分布成正比的非线性相位变化：(9.4-12)

通过求解相位分布的一阶导数，可以得到本征频率的变化为(9.4-13)

为了表征自相位调制特性，引入非线性相互作用长度LNL，且(9.4-14)式中,A0m是脉冲的峰值振幅。量z/LNL表示在脉冲峰值处产生的最大相移(参看(9.4-12)式)。图9.4-1示出了自相位调制高斯脉冲的频率调制和在几个不同传播长度z/LNL下的光谱。

图9.4-1自相位调制高斯脉冲的频率调制和在不同传播长度(z/LNL)下的光谱图9.4-2在不考虑群速弥散条件下，自相位调制不展宽脉宽，但增大了光脉冲的光谱宽度

根据下式估计上啁啾光脉冲的光谱展宽：(9.4-15)式中，Δω0是光脉冲的初始光谱宽度；P为峰值功率；Aeff为光纤有效截面积；L为光纤长度。2.非瞬时响应的自相位调制如果光脉冲非常短，或者介质响应是非瞬时的，则在波方程中必须包含由(9.4-6)式给出的具有β≠0的源项。此时，脉冲的传播特性由下面方程决定：(9.4-16)图9.4-3几个不同3βz/τG值的脉冲包络9.4.3白光连续谱发生给人们印象最深刻(和最简单)的自相位调制实验之一是超短光脉冲白光超连续谱产生［22,23］。如果把高峰值功率的超短光脉冲聚焦，使聚焦后的峰值功率密度大于1013～1014W/cm2，并将这束高峰值功率密度的光脉冲入射到透明介质(如熔融石英、水、光学玻璃等)内，激光脉冲会转换成白光输出，其光谱范围可以从红外到紫外。这种超连续谱的飞秒光源已广泛用在时间分辨光谱学研究中的时间分辨光谱探针上。图9.4-4是波长为800nm的飞秒光脉冲，在与熔融石英相互作用后产生的超连续光谱照片。

图9.4-4白光超连续谱实验照片(a)超连续谱飞秒光脉冲光斑；(b)光谱分布9.5飞秒脉冲的自聚焦9.5.1CW激光束的自聚焦设有一束横向非均匀分布的激光通过介质，其光束分布会造成横向折射率变化，它的变化规律与光束的光强横向分布相关，这种横向折射率的变化将引起光束的聚焦或散焦。(9.5-1)

起源于非共振电子非线性材料的非线性折射率系数为正，则将(9.5-1)式代入(9.4-1)式，即可得到折射率随高斯光束分布的变化关系：(9.5-2)(9.5-3)

假设高斯光束的束腰在非线性介质的输入面(z=0)上，则在旁轴近似情况下，由衍射引起的球面弯曲为(9.5-3)式中，R(z)为高斯光束的曲率半径，R(z)=z+ρ20/z。当z很小时，近似有(9.5-4)

式中，ρ0为高斯光束的共焦参数。由非线性折射率作用引起的相位弯曲为(9.5-5)

于是，(9.5-3)式和(9.5-5)式中的相位弯曲彼此补偿时的临界功率为

(9.5-6)9.5.2超短脉冲的自聚焦超短脉冲的自聚焦比连续光束自聚焦更复杂，除考虑衍射和自透镜外，还必须考虑自相位调制引起的光谱展宽和色散。设介质存在自聚焦非线性，但可忽略高于的高阶非线性项，脉冲的时-空传播方程为(9.5-11)

式中的α表示增益或损耗系数。图9.5-1文献［27］根据方程(9.5-11)计算的结果9.6超短脉冲的产生9.6.1激光锁模概述产生皮秒和飞秒激光的通用技术是激光锁模技术。一般情况下，激光跃迁有一个有限的线宽，在这整个线宽内它能提供光增益，所以激光发射同样也有一个有限光谱宽度Δν，如图9.6-1所示。图9.6-1激光发射光谱

在激光腔内，激光辐射频率被限制在许多分立的频率或称之为纵模上，只有这些纵模才能在谐振腔内振荡，纵模间隔为δν，(9.6-1)图9.6-2产生皮秒或飞秒光脉冲的常用锁模技术

如果激光振荡模能以相同的相位(或恒定相差)振荡，则称这些激光模是相位锁定的。此时激光器输出的光脉冲时间间隔精确地等于激光在腔内的往返时间，如图9.6-3所示。图中,TRT=2L/c;τp为激光脉冲宽度。图9.6-3锁模激光器输出的脉冲序列

锁模激光脉冲的时间分布是光谱分布的傅里叶变换。锁模脉冲宽度与增益线宽有关，当全部激光模以同相位或模之间有恒定的相位差振荡时，我们把它称为变换极限激光脉冲。根据海森堡(Heisenberg)不确定原理，脉冲光谱宽度(FWHM)Δν和脉冲宽度τp的乘积等于常数K，即(9.6-2)

式中，常数K的大小与光脉冲的形状相关：对高斯分布脉冲，K=0.441；对双曲正割分布脉冲，K=0.315；对单边指数分布脉冲，K=0.11。对于不完全锁模或脉冲存在群速弥散的情况，时间-带宽乘积满足：(9.6-3)

虽然光电场E(t)的时间分布是光谱场的傅里叶变换，但是，只有在变换极限脉冲的情况下，脉冲形状才能由光谱分布唯一确定。在其它所有的情况，如果要从光谱分布去计算时间分布，必须知道脉冲的相位分布。锁模技术可归纳为两类：主动锁模和被动锁模，如图9.6-4所示。图9.6-4主动锁模(图(a))和被动锁模(图(b))原理图9.6.2光克尔透镜锁模技术

1.自透镜效应的重要性自透镜效应几乎在所有超短脉冲锁模激光器中都会发生。通常在激光腔中都有一个色散脉冲成形机制，它所导致的时间自相位调制意味着空间的波前调制，也就是自透镜效应。

自透镜效应在固态激光器中很重要，尤其是钛宝石激光器，这主要是由于在1cm或者更长(激光晶体的整个长度)的长度上发生克尔效应的缘故。一般非线性作用导致的相移，在一级近似下，可以假定为径向坐标的二次方关系，Δφ＝Br2，由于曲率半径为R的球面波的径向相位变化为φ(r)=-klr2/（2R），所以若二次方的径向相位变化为B(t)r2，则光束将聚焦在距离fNL处：(9.6-4)

2.克尔透镜效应假定克尔介质厚度d与共焦参数ρ0或感应焦距fNL(定义见后面)较小，高斯光束入射到样品上，其束腰w0在输入端，则由非线性折射率产生的相移为(9.6-5)

这里，I(t)=I(r=0,t)是轴上的光强度。从(9.6-5)式我们可以得到将其代入(9.6-4)式，可以得到克尔感应透镜聚焦距离为(9.6-6)9.6.3锁模自启动在使用可饱和吸收体的被动锁模激光器中，振荡是从使吸收体饱和的噪声起伏中逐渐建立起来的。但通过色散过程的激光锁模的起始机制还不太清楚，尤其是增益介质具有长寿命的情况。有一些色散脉冲压缩机制为主的激光器需要一个外启动机制，而另有一些则是自启动的。

动态增益饱和在脉冲成形和启动机制中起着关键的作用。在此，根据王氏(Wang)［29］的方法建立起基于动态增益饱和的自启动判据。假定一个连续激光器包含可饱和增益(ag)和吸收(aa)元件，以及反射率为R的镜片，其平衡态的光子通量为F，饱和增益为

ag＝σgΔγsdg，σg是发射截面，Δγs是(饱和)反转密度，则激光器总的净增益是G＝exp(ag＋aa＋lnR)。若只考虑增益介质，一个小的光子通量起伏ΔF(t)将导致增益的变化，其增益响应ΔG为(9.6-15)9.6.4掺钛蓝宝石克尔透镜锁模激光器目前克尔透镜锁模技术是获得飞秒光脉冲的重要技术之一，现以掺钛蓝宝石激光器为例，讨论克尔透镜锁模。该激光器在足够高的泵浦强度下工作，腔内激光在钛宝石晶体中的功率密度约达到1.0MW/cm2时，由于高强度光场与介质的相互作用，导致光束自聚焦，产生光克尔透镜效应。由于光克尔透镜和光阑(狭缝)构成的幅度调制器的作用，使脉冲前沿和后沿的损耗大于中部峰值损耗，从而使脉冲压缩。

掺钛蓝宝石的荧光带宽大于400

nm(光谱范围为690~1100

nm)，理论上，掺钛蓝宝石激光器可支持产生1~2fs的光脉冲。实际上，由于超短脉冲形成机理之间的相互制约，一般获得的脉冲宽度约为10fs。如果采用啁啾镜和石英棱镜对共同补偿掺钛蓝宝石激光器中的群速弥散，可以进一步压缩脉冲宽度，并已产生4.8fs的光脉冲［30］，这是迄今为止从激光振荡器中直接产生的最短光脉冲。图9.6-5KLM锁模掺钛蓝宝石激光器

图9.6-6给出了采用石英棱镜补偿群速弥散的掺钛宝石激光振荡器输出的干涉自相关曲线和光谱分布曲线［32］。表9.6-1给出了经常采用的补偿群速弥散的超短脉冲激光元件及其对群速弥散的贡献。图9.6-612fs光脉冲的干涉自相关曲线(图(a))和光谱分布曲线(图(b))表9.6-1常用的超短脉冲激光元件对GVD的贡献9.7飞秒激光器中的孤子9.7.1孤子的基本概念首先考虑飞秒光脉冲在光纤中传播的情况。当飞秒光脉冲在具有负群速弥散和正非线性率系数(>0)的介质中传播时，将产生正的自相位调制。如果光脉冲强度很小，相位的自相位调制也很小(当L<<LNL)，然而因脉冲的群速弥散很大(L>>Ld)，最终会造成飞秒光脉冲在光纤中传播时脉冲展宽。

现定义光纤的非线性特征长度LNL为因自相位调制使脉冲的光谱增大到倍的长度，(9.7-1)(9.7-2)(9.7-3)图9.7-1在增益和损耗达到平衡条件下非连续孤子激光器稳定运行的脉冲循环过程9.7.2超短脉冲孤子激光器

1.群速弥散补偿器在超短脉冲孤子激光器中，经常采用的可提供群速弥散调节的群速弥散补偿器是光栅对、棱镜对、GTI(GiresTournoisInterferometer)群速弥散补偿器等。众所周知，光珊的衍射特性可提供群速延迟，采用光栅对结构可提供可变的GVD，在9.3节中已简单介绍了光栅对的群速弥散特性。光栅对群速弥散补偿器的主要优点是，可提供很大的色散量，而且不存在材料色散，其缺点是插入损耗大，因而一般不在激光腔内使用，主要用于腔外脉冲的群速弥散补偿。

布儒斯特角棱镜对也可以提供可变的群速弥散。它的主要优点是插入损耗小，适用于激光腔内的群速弥散补偿，其缺点是在有限的尺寸范围内没有光栅对提供的群速弥散量大，而且还会引入材料的群速色散。图9.7-2给出了四个布儒斯特角棱镜构成的群速弥散补偿器结构示意图。该补偿器的总GVD由下式给出［10］：(9.7-4)式中，β是色散光线与参考光线之间的夹角，一般情况下β很小，cosβ≈1。图9.7-2双棱镜对群速弥散补偿器结构示意图