浙江省杭州市综合中学高一数学理月考试题含解析

浙江省杭州市综合中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列集合不是{1，2，3}的真子集的是(

)A．{1} B．{2，3} C．? D．{1，2，3}参考答案：D【考点】子集与真子集．【专题】计算题；规律型；集合思想；集合．【分析】直接利用集合的子集关系，判断选项即可．【解答】解：因为{1，2，3}={1，2，3}，所以{1，2，3}不是{1，2，3}的真子集．故选：D．【点评】本题考查集合的基本关系的判断，是基础题．2.函数，在定义域内任取一点，使的概率是（）.Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．参考答案：C由得，所以的概率是。3.已知函数，，则的奇偶性依次为（

）A．偶函数，奇函数

B．奇函数，偶函数C．偶函数，偶函数

D．奇函数，奇函数参考答案：D

解析：，

画出的图象可观察到它关于原点对称或当时，，则当时，，则4.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有

(A)2个

(B)3个

(C)4个

(D)5个参考答案：C5.已知直线，平面，下列命题中正确的是

（

）A.，，

∥，则

B.，，，则C.∥，，

∥，则D.⊥，，，则参考答案：C略6.已知数列{an}为等差数列，Sn是它的前n项和．若＝2，S3＝12，则S4＝()A.10 B.16 C.20 D.24参考答案：C【分析】根据等差数列的前n项和公式，即可求出.【详解】因为S3＝3＋d＝6＋3d＝12，解得d＝2，所以S4＝4＋d＝20.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和公式，属于中档题.7.在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8?a10?a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．256参考答案：C【考点】等比数列的性质．【分析】由a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，根据韦达定理即可求出a1和a19的积，而根据等比数列的性质得到a1和a19的积等于a102，由数列为正项数列得到a10的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为关于a10的式子，把a10的值代入即可求出值．【解答】解：因为a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，所以a1?a19=a102=16，又此等比数列为正项数列，解得：a10=4，则a8?a10?a12=（a8?a12）?a10=a103=43=64．故选C【点评】此题考查学生灵活运用韦达定理及等比数列的性质化简求值，是一道基础题．8.若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,那么ΔABC是

A．直角三角形

B．等边三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形参考答案：B9.直线与圆的位置关系是（）A．相交

B．相切

C.相离

D．位置关系不确定参考答案：B10.若指数函数在上是减函数，那么（

）A．

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是

。参考答案：12.设定义在区间上的函数是奇函数，且，则的范围为

.参考答案：13.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为

．参考答案：1214.若函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，的表达式是_____________．参考答案：略15.已知，则的值为

.参考答案：略16.已知数列是等差数列,且,则

.参考答案：17.若的圆心角所对的弧长为，则扇形半径长为

．参考答案：21三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知向量（1）若，求向量与的夹角；（2）若，求的最小正周期和单调递增区间。参考答案：（1）时：又，>

······6分（2）由得即单调递增区间是

······12分19.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造宿舍与修路费用之和．（1）求的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．参考答案：（Ⅰ）根据题意得

3分

7分

（Ⅱ）

11分

当且仅当即时．

14分

答：宿舍应建在离厂5km处可使总费用最小为75万元．

15分20.直三棱柱中，，，分别为，的中点．（1）求证：；（2）求证：平面．

参考答案：证明：因为是直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以．

--6分（2）证明：取中点，连接，，因为是的中点，所以，，又因为为中点，，所以，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．

--12分21.（6分）甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的平方成正比，比例系数为，固定部分为元.（1）把全部运输成本元表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？参考答案：（1）.（2），.（3分）

略22.（12分）函数f（x）=3cos2+sinωx﹣（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为等边三角形．将函数f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的π倍，将所得图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象（1）求函数g（x）的解析式及函数g（x）的对称中心．（2）若3sin2﹣m≥m+2对任意x∈恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题： 函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析： （1）根据已知先化简求出f（x）的解析式，从而根据正弦函数图象变换规律可求函数g（x）的解析式及函数g（x）的对称中心．（2）据已知有m≤，设t=3sin+1，则根据函数y=（t﹣﹣2）在t∈上是增函数，可解得m≤﹣2．解答： （1）f（x）=sin（），T=4，∴，∴f（x）=sin（x+），g（x）=sin+1=sin+1，∵令=kπ，k∈Z，∴x=2k