四川省德阳市黄鹿中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

四川省德阳市黄鹿中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数的共轭复数

V

A.

B.

C.

D.参考答案：A2.已知是虚数单位，则等于A. B. C. D.参考答案：A，选A.3.下列命题中真命题的个数为（

）①,使得.

②锐角中，恒有.③,不等式成立的充要条件为：A.

B.

C.

D.参考答案：B4.已知方程在（0，+∞）有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断；两角和与差的正切函数．【分析】利用x的范围化简方程，通过方程的解转化为函数的图象的交点问题，利用相切求出β的正切值，通过两角和的正切函数求解即可．【解答】解：，要使方程在（0，+∞）有两个不同的解，则y=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有两个公共点，所以直线y=kx与y=|sinx|在内相切，且切于点（β，﹣sinβ），由，，故选C．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，直线与曲线相切的转化，两角和的正切函数的应用，考查计算能力．5.已知椭圆与抛物线有相同的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.复数A.

2i

B.22i

C.1+i

D.1i

参考答案：D，故选D.7.（原创）首项为1的正项等比数列的前100项满足，那么数列（

）A先单增，再单减

B单调递减

C单调递增

D先单减，再单增参考答案：A略8.已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且，若，则的取值范围为（

）A.[－2,2] B. C. D.[1,2]参考答案：D【分析】建立平面直角坐标系利用设参数用三角函数求解最值即可．【详解】解：设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，其中A（，），B（1，0），C（cosθ，sinθ）（其中∠BOC＝θ有（λ，μ∈R）即：（cosθ，sinθ）＝λ（，）+μ（1，0）；整理得：λ+μ＝cosθ；λ＝sinθ，解得：λ，μ＝cosθ，则λ+μcosθsinθ+cosθ＝2sin（θ），其中；易得其值域为[1，2]故选：D．【点睛】本题考查了向量的线性运算，三角函数求值域等知识，属于中档题．9.设奇函数f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，则（） A．f（x）在（0，）上单调递减 B． f（x）在（0，）上单调递增 C．f（x）在（，）上单调递减 D． f（x）在（，）上单调递增参考答案：D10.对于函数，，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（

）A．充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.即不充分也不必要条件参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果是二次函数,且的图象开口向上,顶点坐标为（1,）,那么曲线任一点处的切线的倾斜角的取值范围是

.参考答案：略12.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为

．参考答案：

13.在极坐标系中，点M(4，)到曲线上的点最短距离为____，参考答案：2

略14.设函数f（x）=（x2+1）（x+a）为奇函数，则a=

．参考答案：0考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：由函数f（x）=（x2+1）（x+a）为奇函数，则可得f（0）=0，从而可求解答： 解：因函数f（x）=（x2+1）（x+a）为奇函数，则f（0）=0，∴f（0）=a=0故答案为：0．点评：本题主要考查了奇函数的性质f（0）=0（定义域内有0）的应用，利用该性质可以简化基本运算．属于基础试题15.已知椭圆是该椭圆的左、右焦点，点，P是椭圆上的一个动点，当的周长取最大值时，的面积为

．参考答案：

16.在中，若，AB=5，BC=7，则的面积S=__________。

参考答案：答案：17.点在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则该球的表面积为

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

参考答案：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．

又因为PA⊥平面ABCD，

所以PA⊥BD，

所以BD⊥平面PAC．

………4分（Ⅱ）设AC∩BD＝O．因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝．如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则

P（0，－，2），A（0，－，0），B（1,0,0），C（0，，0）．

所以＝（1，，－2），＝（0,2，0）．

设PB与AC所成角为θ，则

cosθ＝＝＝．

………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知＝（－1，，0）．设P（0，－，t）（t＞0），则＝（－1，－，t）．设平面PBC的法向量m＝（x，y，z），则·m＝0，·m＝0．所以

令y＝，则x＝3，z＝，

所以m＝．同理，可求得平面PDC的法向量n＝．因为平面PBC⊥平面PDC，所以m·n＝0，即－6＋＝0．解得t＝．所以当平面PBC与平面PDC垂直时，PA＝．

……12分19.已知函数．（1）当a=1时，求函数在点（1，﹣）处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1，x2，求a的取值范围．（3）在（2）的条件下，求证：+＞2．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而确定a的范围即可；（3）要证，即证，令，即证，设，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=xlnx﹣x2，则f′（x）=lnx+1﹣x，则f′（1）=0，故切线方程是：y+=0（x﹣1），即y=﹣；（2）函数g（x）=f（x）﹣x有两个相异的极值点x1，x2，即g′（x）=lnx﹣ax=0有两个不同的实数根，①当a≤0时，g′（x）单调递增，g′（x）=0不可能有两个不同的实根；②当a＞0时，设h（x）=lnx﹣ax，，当时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；∴，∴，（3）不妨设x2＞x1＞0，∵，∴lnx2﹣ax2=0，lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣lnx1=a（x2﹣x1），要证，即证，即证，令，即证，设，则，函数φ（t）在（1，+∞）单调递减，∴φ（t）＜φ（1）=0，∴．20.某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此商品的年需求量为500台，销售的收入(单位：万元)函数为，其中x是产品生产的数量(单位：百台)．(1)求利润关于产量的函数．(2)年产量是多少时，企业所得的利润最大？参考答案：（1）解：设年产量为x，利润为………………6分（2）解：由（1）知时，………………8分时，=………………10分当时，故年产量为475台时，工厂所得利润最大………………12分【分析】（1）由于商品年需求量为，故要对产量分成不大于和大于两段来求利润.当时，用收入减掉成本，即为利润的值.当时，成本和的表达式一样，但是销售收入是固定的，由此求得解析式.（2）两段函数，二次函数部分用对称轴求得其最大值，一次函数部分由于是递减的，在左端点有最值的上限.比较两段函数的最大值，来求得整个函数的最大值.【详解】(1)当0≤x≤5时，产品能全部售出，则成本为0.25x＋0.5，收入为5x－x2，利润f(x)＝5x－x2－0.25x－0.5＝－x2＋4.75x－0.5.当x>5时，只能销售500台，则成本为0.25x＋0.5，销售收入为5×5－×52＝，利润f(x)＝－0.25x－0.5＝－0.25x＋12.综上，利润函数f(x)＝(2)当0≤x≤5时，f(x)＝－(x－4.75)2＋10.78125，当x＝4.75∈[0,5]时，f(x)max＝10.78125(万元)；当x>5时，函数f(x)是递减函数，则f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．10．75<10.78125.综上，当年产量是475台时，利润最大．【点睛】本小题主要考查实际生活计算利润的问题.在利润等于收入减去成本.本题中含有固定成本和可变成本.而需求量是一个固定值，所以产量超过500时，收入是固定的，这一点解题过程中要注意到.21.（本题满分13分）已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的差等于1．（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．参考答案：（I）设动点的坐标为，由题意为化简得当、所以动点P的轨迹C的方程为（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．由，得设则是上述方程的两个实根，于是

．因为，所以的斜率为．设则同理可得故当且仅当即时，取最小值16．22.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的b最小的整数值．参考答案：（1）见解析（2）－3【分析】（1）用导数讨论单调性，注意函数的定义域；（2）写出的