2022年贵州省贵阳市博欣学校高二数学理月考试题含解析

2022年贵州省贵阳市博欣学校高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则除以15的余数为（

）A.1 B.3 C.4 D.2参考答案：A【分析】将化为，展开后可知除第一项外，其余各项均能被整除，从而可知余数为.【详解】由题意知：可知在展开式中，除第一项外，其余各项均能被整除除以的余数为本题正确选项：【点睛】本题考查余数的求解问题，关键是能够被除数表示为与除数有关的二项式的形式，从而可根据展开式确定余数.2.过点直线与圆的位置关系是(

).A.相交

B.相切

C.相离

D.相交或相离参考答案：A略3.已知向量a，若向量与垂直，则的值为

(

）A．

B．7

C．

D．参考答案：A4.倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且，则该椭圆的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：A5.椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B6.函数的定义域为(

▲

)ks5u

A.

B.

C.

D.参考答案：B略7.给出下列命题：①对任意x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3均成立；②若log2x+logx2≥2，则x＞1；③“若a＞b＞0且c＜0，则＞”的逆否命题．其中真命题只有（）A．①③ B．①② C．①②③ D．②③参考答案：C【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用配方法，可判断①；根据对勾函数和对数函数的性质，可判断②；判断原命题的真假，进而根据互为逆否的命题真假性相同，可判断③．【解答】解：不等式x2+2x＞4x﹣3可化为：（x﹣1）2+2＞0，显然恒成立，故①正确；若log2x+logx2≥2，则log2x＞0，即x＞1，故②正确；“若a＞b＞0，则，又由c＜0，则＞”，即原命题为真命题，故他的逆否命题正确．即③正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，难度中档．8.“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”的（）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】利用两条直线垂直的充要条件化简“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”，然后判断前者成立能推出后者成立，后者成立推不出前者成立，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充要条件为：3m+（2m﹣1）m=0解得m=0或m=﹣1；若m=﹣1成立则有m=0或m=﹣1一定成立；反之若m=0或m=﹣1成立m=﹣1不一定成立；所以m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充分不必要条件．故选B．【点评】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，然后两边互推一下，利用充要条件的有关定义进行判断，属于基础题．9.下面几种推理中是演绎推理的序号为

（

）A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B．猜想数列的通项公式为；C．半径为圆的面积，则单位圆的面积；D．由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为

.参考答案：C略10.已知实数，若，则的最小值是（

）A.

B.

C.4

D.8参考答案：D实数，则,当且仅当时取等号.故本题正确答案是

点晴：本题考查的是利用均值不等式求最值的问题.解决本题的关键是巧妙利用，所以，把问题转化为关于的最值问题，再用基本不等式得到本题的最值.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对实数和，定义运算“”：，设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是____________.参考答案：r，，由题知，直线与的图象有两个交点，结合的图象得，12.已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，试比较它们的体积V正方体，V球，V圆柱的大小．参考答案：解：设正方体的边长为a，球的半径为r，圆柱的底面直径为2R，则6a2＝4πr2＝6πR2＝S．∴a2＝，r2＝，R2＝．----------------------------3分∴(V正方体)2＝(a3)2＝(a2)3＝＝，(V球)2＝＝π2(r2)3＝π2≈，(V圆柱)2＝(πR2×2R)2＝4π2(R2)3＝4π2≈．∴V正方体＜V圆柱＜V球．--------10分

13.函数的导数为_________________；参考答案：略14.已知向量=（2，），则向量的单位向量=．参考答案：【考点】单位向量．【分析】利用向量的单位向量=，即可得出．【解答】解：向量的单位向量===．故答案为：．15.已知函数，则_________.参考答案：8【分析】由函数的解析式确定函数值即可.【详解】由题意可得：，则.故答案为：8．【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．16.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的个数有____________个.参考答案：17.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是

．参考答案：【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定；J9：直线与圆的位置关系．【分析】由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设P，Q为圆周上的两动点，且满足与圆内一定点，使，求过P和Q的两条切线的交点M的轨迹.参考答案：解法一：连接PQ，OM，由圆的切线性质知，且PQ与OM交点E为PQ的中点.设，则，.从而得到E点的坐标为.由于，所以。又，于是有，即有化简得。上述为以为圆心，为半径的圆周.解法二：设P，Q的坐标为.

由题意知，过P，Q的切线方程分别为…………①

…………②

…………③

…………④

由，得

…………⑤若①和②的交点仍记为，由此得到

()代入③和④，得

联立上述两式，即得因为，所以，即.同理可得.于是有再由⑤式，推出.由上可得，.

即有.上述为以为圆心，为半径的圆周.当时，也符合题设所求的轨迹.19.已知函数f（x）=mx2+1，g（x）=2lnx﹣（2m+1）x﹣1（m∈R），且h（x）=f（x）+g（x）（1）若函数h（x）在（1，f（1））和（3，f（3））处的切线互相平行，求实数m的值；（2）求h（x）的单调区间．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算h′（1），h′（3），以及h（1），h（3）求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间即可．【解答】解：∵h（x）=f（x）+g（x）=mx2﹣（2m+1）x+2lnx，∴h′（x）=mx﹣（2m+1）+，（x＞0），（1）h′（1）=m﹣（2m+1）+2=1﹣m，∴h′（3）=3m﹣（2m+1）+=m﹣，由h′（1）=h′（3）得：m=；（2）∵h′（x）=，（x＞0），?当m≤0时，x＞0，mx﹣1＜0，在区间（0，2）上，f′（x）＞0，在区间（2，+∞）上，f′（x）＜0，?当0＜m＜时，＞2，在区间（0，2）和（，+∞）上，f′（x）＞0，在区间（2，）上，f′（x）＜0，当m=时，f′（x）=，?在区间（0，+∞）上，f′（x）＞0，④当m＞时，0＜＜2，在区间（0，）和（2，+∞）上，f′（x）＞0，在区间（，2）上，f′（x）＜0，综上：?当m≤0时，f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，当0＜m＜时，?f（x）在（0，2）和（，+∞）递增，在（2，）递减，m=时，f（x）在（0，+∞）递增?；④当m＞时，f（x）在（0，）和（2，+∞）递增，在（，2）递减．20.（12分）请设计“空间几何体”的知识结构图．参考答案：略21.设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4（舍去），∴m﹣n＞3；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）?ln2a﹣（ax0﹣1）?lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax?ln2a﹣ax?lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax?ln2a﹣ax?lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．22.（本小题满分14分）

在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如下图所示），已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问