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文档简介
湖北省十堰市新洲乡中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是(
)A.
3
B.
4
C.
D.参考答案:B略2.已知离心率的双曲线()右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于O,A两点,若的面积为,则a的值为(
)(A)
(B)3
(C)4
(D)5参考答案:C3.已知全集=A.{4}
B.{3,4}
C.{2,3,4}
D.{1,2,3,4}参考答案:D4.对任意实数a、b、c,在下列命题中,真命题是()A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件参考答案:B【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】当a=b时,一定有ac=bc.但ac=bc时,且c=0时,a,b可以不相等.即“ac=bc”是“a=b”的必要条件.【解答】解:A、C当c<0时,“ac>bc”即不是“a>b”的必要条件也不是充分条件,故A,C不成立;B、∵当a=b时∴一定有ac=bc.但ac=bc时,且c=0时,a,b可以不相等.即“ac=bc”是“a=b”的必要条件.D、当c=0时,“ac=bc”是“a=b”的充分条件不成立;故选B.5.已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点,且两条曲线的交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为(
)A. B.2 C. D.参考答案:A6.两定点F1(﹣3,0),F2(3,0),P为曲线=1上任意一点,则()A.|PF1|+|PF2|≥10 B.|PF1|+|PF2|≤10 C.|PF1|+|PF2|>10 D.|PF1|+|PF2|<10参考答案:B【考点】曲线与方程.【分析】根据题意,曲线=1表示的图形是图形是以A(﹣5,0),B(0,4),C(5,0),D(0,﹣4)为顶点的菱形,而满足|PF1|+|PF2|=10的点的轨迹恰好是以A、B、C、D为顶点的椭圆,由此结合椭圆的定义即可得到|PF1|+|PF2|≤10.【解答】解:∵F1(﹣3,0),F2(3,0),∴满足|PF1|+|PF2|=10的点在以F1、F2为焦点,2a=10的椭圆上可得椭圆的方程为,∵曲线=1表示的图形是图形是以A(﹣5,0),B(0,4),C(5,0),D(0,﹣4)为顶点的菱形∴菱形ABCD的所有点都不在椭圆的外部,因此,曲线=1上的点P,必定满足|PF1|+|PF2|≤10故选:B.7.我国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一直角边为股,斜边为弦。若a,b,c为直角三角形的三边,其中c为斜边,则,称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:在四面体O-ABC中,,S为顶点O所对面的面积,分别为侧面的面积,则下列选项中对于满足的关系描述正确的为(
)A. B.C. D.参考答案:C【分析】作四面体,,于点,连接,结合勾股定理可得答案。【详解】作四面体,,于点,连接,如图.即故选C.【点睛】本题主要考查类比推理,解题的关键是将勾股定理迁移到立体几何中,属于简单题。8.是的A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件参考答案:B9.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线平面,直线平面,直线∥平面,则直线∥直线”的结论显然是错误的,这是因为(
)A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误参考答案:A略10.已知数列为等差数列,且,,则公差(
)A.-2B.-
C.
D.2参考答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知动点P(x,y)在椭圆C:+=1上,F为椭圆C的右焦点,若点M满足|MF|=1.且MP⊥MF,则线段|PM|的最小值为.参考答案:【考点】椭圆的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】依题意知,该椭圆的焦点F(3,0),点M在以F(3,0)为圆心,1为半径的圆上,当PF最小时,切线长PM最小,作出图形,即可得到答案.【解答】解:依题意知,点M在以F(3,0)为圆心,1为半径的圆上,PM为圆的切线,∴当PF最小时,切线长PM最小.由图知,当点P为右顶点(5,0)时,|PF|最小,最小值为:5﹣3=2.此时故答案为:【点评】本题考查椭圆的标准方程、圆的方程,考查作图与分析问题解决问题的能力,属于中档题.12.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是
.参考答案:略13.12.利用数学归纳法证明“
”时,从“”变到“”时,左边应增乘的因式是___
______;参考答案:2(2k+1)略14.若直线与圆有公共点,则实数a的取值范围是__________。参考答案:略15.利用计算机随机模拟方法计算与所围成的区域的面积时,可以先运行以下算法步骤:第一步:利用计算机产生两个在0~1区间内的均匀随机数第二步:对随机数实施变换:得到点第三步:判断点的坐标是否满足第四步:累计所产生的点的个数,及满足的点A的个数第五步:判断是否小于(一个设定的数).若是,则回到第一步,否则,输出并终止算法.(1)点落在上方的概率计算公式是
;(2)若设定的,且输出的,则用随机模拟方法可以估计出区域的面积为
(保留小数点后两位数字).
参考答案:,
35.6416.已知不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是
.参考答案:17.命题“”的否定是____________。
参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知圆C:x2+y2﹣2x+4y﹣4=0,直线l的斜率为1,与圆交于A、B两点.(1)若直线l经过圆C的圆心,求出直线的方程;(2)当直线l平行移动的时候,求△CAB面积的最大值以及此时直线l的方程;(3)是否存在直线l,使以线段AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由.参考答案:【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(1)圆C的圆心C(1,﹣2),半径为3,直线斜率为1,由此能求出直线l的方程.(2)设直线l的方程为:y=x+m,圆心C到直线l的距离为d,则|AB|=2,≤,当且仅当时取等号,由此能求出直线l的方程.(3)假设存在直线l:y=x+m满足题设要求,点A(x1,y1),B(x2,y2),以AB为直径的圆过原点,得x1x2+y1y2=0,联立,得2x2+2(m+1)x+m2+4m﹣4=0,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件能求出存在直线l,使以线段AB为直径的圆过原点,并能求出其方程.【解答】解:(1)圆C的标准方程为:(x﹣1)2+(y+2)2=9,所以圆心C(1,﹣2),半径为3;又直线斜率为1,所以直线l的方程为y+2=x﹣1,即x﹣y﹣3=0.…(2)设直线l的方程为:y=x+m,圆心C到直线l的距离为d,则|AB|=2,=≤,当且仅当,d=时取等号,由d==,得m=0或m=﹣6,所以直线l的方程为y=x或y=x﹣6…(3)假设存在直线l:y=x+m满足题设要求,点A(x1,y1),B(x2,y2),以AB为直径的圆过原点,所以OA⊥OB,有=﹣1,即x1x2+y1y2=0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣①联立,得2x2+2(m+1)x+m2+4m﹣4=0,由于△>0,得﹣3﹣3<m<3,x1+x2=﹣(m+1),,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②所以,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③由①②③解得m=1或m=﹣4,均符合△>0,故存在直线l,使以线段AB为直径的圆过原点,其方程为y=x+1或y=x﹣4.…19.如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=AD=2,CD=4,将三角形ABD沿BD翻折,使面ABD⊥面BCD.(Ⅰ)求线段AC的长度;(Ⅱ)求证:AD⊥平面ABC.参考答案:【考点】直线与平面垂直的判定.【专题】证明题;数形结合;综合法;空间位置关系与距离;立体几何.【分析】法一:(Ⅰ)取CD中点E,连接BE,推导出四边形ABDE为正方形,BD⊥BC,从而BC⊥面ABD,由此能求出线段AC的长度.(Ⅱ)由BC⊥面ABD,得BC⊥AD,又AB⊥AD,由此能证明AD⊥平面ABC.法二:(Ⅰ)取CD中点E,连接BE,推导出四边形ABDE为正方形,BD⊥BC,取BD中点F,连接AF,CF,则AF⊥面BCD,由此能求出线段AC的长度.(Ⅱ)由勾股定理得AD⊥AC,又AB⊥AD,由此能证明AD⊥平面ABC.【解答】解法一:解:(Ⅰ)在梯形ABCD中,取CD中点E,连接BE,因为AB⊥AD,AB=AD=2,所以,又,所以四边形ABDE为正方形,即有BE=2,BE⊥CD,所以…在△BCD中,,所以BD⊥BC,翻折之后,仍有BD⊥BC…又面ABD⊥面BCD,面ABD∩面BCD=BD,BC?面BCD,所以BC⊥面ABD…又AB?面ABD,所以BC⊥AB…所以…证明:(Ⅱ)由(Ⅰ)知BC⊥面ABD,又AD?面ABD,所以BC⊥AD,…又AB⊥AD,AB∩BC=B,所以AD⊥平面ABC.…解法二:解:(Ⅰ)在梯形ABCD中,取CD中点E,连接BE,因为AB⊥AD,AB=AD=2,所以又,所以四边形ABDE为正方形,即有BE=2,BE⊥CD,所以…在△BCD中,,所以BD⊥BC,翻折之后,仍有BD⊥BC…取BD中点F,连接AF,CF,则有BD⊥AF,因为面ABD⊥面BCD,面ABD∩面BCD=BD,BD⊥AF,AF?面ABD,所以AF⊥面BCD…又CF?面BCD,AF⊥CF…因为,,所以.…证明:(Ⅱ)在△ACD中,,CD=4,AD=2,AD2+AC2=CD2,所以AD⊥AC…又AB⊥AD,AB∩AC=A,所以AD⊥平面ABC.…【点评】本题考查线段长的求法,考查线面垂直的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.20.某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下列问题:⑴写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;⑵用程序表示计算10年以后该城市人口总数的算法;⑶用程序表示如下算法:计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.参考答案:(1)
(2)程序如下:(3)程序如下:21.(本小题满分12分)如图,直三棱柱中,AB=1,,∠ABC=60.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求二面角A——B的余弦值。
参考答案:(Ⅰ)因为三棱柱为直三棱柱所以在中………………2分由正弦定理得所以………………4分(Ⅱ)如图所示,作交于,连,由三垂线定理可得所以为所求二面角的平面角,在中,,………………8分在中,
,…………10分所以………………11分即二面角A——B的余弦值是。………12分
略22.已知函数.(1)设,求函数的极值;(2)当时,函数有两个极值点,证明:.参考答案:(1)极大值0,无极小值.(2)证明见解析【分析】(1)对函数求
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