2022年山东省日照市中国百强中学高三数学理测试题含解析

2022年山东省日照市中国百强中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i是虚数单位，若1+i=z（1﹣i），则z的虚部为(

)A．﹣1 B．﹣i C．i D．1参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：1+i=z（1﹣i），∴z====﹣i，∴z的虚部为1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.若关于的不等式组表示的区域为三角形，则实数的取值范围是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A3.如图，I是全集，M、P、S是I的子集，则阴影部分所表示的集合是（

）A．（M∩P）∩S

B．（M∩P）∪SC．（M∩P）∩（CIS）

D．（M∩P）∪（CIS）参考答案：C略4.（A）

（B）

（C）1

（D）参考答案：答案：D5.已知F1、F2是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右支分别交于点A、B，若，，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】首先设，根据双曲线的定义可知表示，，中，用余弦定理表示，再表示面积求比值.【详解】根据双曲线定义可知，设，则，，，中，，，，.故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义和余弦定理解三角形的综合问题，主要考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，本题的关键是设，两次用双曲线的定义表示和.6.=（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：C7.已知实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣4 B．5 C．4 D．无最小值参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+2y，则y=﹣x+平移此直线，由图象可知当直线y=﹣x+经过A时，直线在y轴的截距最小，得到z最小，由得到A（2，1），所以z=x+2y的最小值为2+2×1=4；故选C．8.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D，所以对应点在第四象限，答案选D.9.已知函数①，②，则下列结论正确的是(

)（A）两个函数的图象均关于点成中心对称（B）①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得②（C）两个函数在区间上都是单调递增函数（D）两个函数的最小正周期相同参考答案：C略10.设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为(

) A．5 B．8 C．10 D．12参考答案：C考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（3，4），此时z=3×2+4=10，故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数（为虚数单位），则的值为_____________.参考答案：12.若某多面体的三视图如图所示（单位：cm），则此多面体的体积是

cm3．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得该几何体是由棱长为1cm的正方体、沿相邻三个侧面的对角线截去一个三棱锥得到一个多面体，画出图，由正方体的体积和椎体的体积公式求出此多面体的体积即可．【解答】解：根据三视图得该几何体是由棱长为1cm的正方体ABCD﹣EFGH、如图所示：，沿相邻三个侧面的对角线截去一个三棱锥E﹣AFH得到一个多面体，此多面体的体积V=1﹣××1×1×1=（cm3）；故答案为：．【点评】本题考查三视图求几何体的体积、由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．13.已知面积为的△ABC中，∠A=若点D为BC边上的一点，且满足=，则当AD取最小时，BD的长为．参考答案：【考点】三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】先建立合适的平面直角坐标系，借助平面向量根据两种不同的面积公式进行求解．【解答】解：AD取最小时即AD⊥BC时，根据题意建立如图的平面直角坐标系，根据题意，设A（0，y），C（﹣2x，0），B（x，0）（其中x＞0），则=（﹣2x，﹣y），=（x，﹣y），∵△ABC的面积为，∴?=18，∵=cos=9，∴﹣2x2+y2=9，∵AD⊥BC，∴S=??=?xy=3，由得：x=，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的面积公式、利用平面向量来解三角形的知识．14.（2015?上海模拟）一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为．参考答案：72+18【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据正三棱柱的特点，侧面是长为侧棱长，宽为底边三角形边长的三个矩形，两个底面都是边长为6的等边三角形，然后根据矩形的面积与等边三角形的面积公式列式进行计算即可得解．解：∵一个正三棱柱有三个侧面，∴侧面积=3×（4×6）=72，底面面积=2××6×（6×）=18，所以，则这个棱柱的表面积为72+18．故答案为：72+18．【点评】：本题考查了等边三角形的性质，几何体的表面积，要注意等边三角形的高等于边长的．15.已知，则f(x)=_______参考答案：【分析】换元法:令,解出,再将代入,得,从而可得.【详解】令,则,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了用换元法求函数解析式,换元时,一定要注意新元的取值范围,属中档题.16.执行如图所示的程序框图，输出的S值是．参考答案：

【知识点】程序框图．L1解析：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，s=0，s=0+cos=；n=2，n≥2015？，否，s=+cos=；n=3，n≥2015？，否，s=+cos=0；n=4，n≥2015？，否，s=0+cosπ=﹣1；n=5，n≥2015？，否，s=﹣1+cos=﹣1﹣；n=6，n≥2015？，否，s=﹣1﹣+cos=﹣1﹣；n=7，n≥2015？，否，s=﹣1﹣+cos=﹣1；n=8，n≥2015？，否，s=﹣1+cos2π=0；n=9，n≥2015？，否，s=0+cos=；…；s的值是随n的变化而改变的，且周期为8，又2015=251×8+7，此时终止循环，∴输出的s值与n=6时相同，为s=．故答案为：．【思路点拨】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是s=cos+cos+cos+cos+cos+…+cos的值，由此求出结果即可.17.若=1，则常数a=．参考答案：1分析： 利用极限的运算性质即可得出．解答：解：∵原式==a=1．∴a=1．故答案为：1．点评： 本题考查了极限的运算性质，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）取AB的中点O，连结EO、CO，由已知得△ABC是等边三角形，由此能证明平面EAB⊥平面ABCD．（II）VE﹣ABCD=，由此能求出四棱锥E﹣ABCD的体积．解答： （I）证明：取AB的中点O，连结EO、CO．由AE=BE=，知△AEB为等腰直角三角形．故EO⊥AB，EO=1，又AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是等边三角形，从而CO=．又因为EC=2，所以EC2=EO2+CO2，所以EO⊥CO．又EO⊥AB，CO∩AB=O，因此EO⊥平面ABCD．又EO?平面EAB，故平面EAB⊥平面ABCD．…（II）解：VE﹣ABCD===．…点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.设函数f（x）=x﹣﹣mlnx（1）若函数f（x）在定义域上为增函数，求m范围；（2）在（1）条件下，若函数h（x）=x﹣lnx﹣，?x1，x2∈[1，e]使得f（x1）≥h（x2）成立，求m的范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）f′（x）=1+=，转化为x2﹣mx+1＞0，在x＞0时恒成立，根据对钩函数求解即可．（2）根据导数判断单调性得出f（x）的最大值=f（e）=e﹣﹣m，h（x）单调递增，h（x）的最小值为h（1）=1﹣，把问题转化为f（x）的最大值≥h（x）的最小值，求解即可．【解答】解：函数f（x）=x﹣﹣mlnx（1）定义域上为（0，+∞），f′（x）=1+=，∵函数f（x）在定义域上为增函数，∴f（x）的最大值=f（e）=e﹣﹣m，h（x）单调递增，即x＞m在x＞0时恒成立，根据对钩函数得出m＜2，故m的范围为：m＜2．（2）函数h（x）=x﹣lnx﹣，?x1，x2∈[1，e]使得f（x1）≥h（x2）成，即f（x）的最大值≥h（x）的最小值，∵f（x）的最大值=f（e）=e﹣﹣m，h′（x）=1＞0，x∈[1，e]，∴h（x）单调递增，h（x）的最小值为h（1）=1﹣，∴可以转化为e﹣﹣m≥1，即m≤e﹣1，m的范围为：m≤e﹣1．【点评】本题考查导数在求解函数的问题中的应用，存在性问题转化为函数最值的应用，关键是求解导数，判断单调性，属于难题．20.有穷数列(n=1,2,3,…，n0,n0∈N*,n0≥2)，满足，(n=1,2,3,…，n0-1),求证：(Ⅰ)数列的通项公式为：，(n=2,3,…，n0)；(Ⅱ)＋＋＋…＋.参考答案：解析:（Ⅰ）

……

相乘，即得：(n=2,3,…，n0)(Ⅱ)左边＝·＋＋＋……＋<1＋＋＋……＋<1＋＋＋……＋＝2－<2

21.（本小题满分12分）设函数f（1）讨论函数f(x)的极值点；（2）求经过点(0,－1)且与函数g(x)的图象相切的直线方程；（3）令h(x)＝f(x)+g(x)，若不等式上恒成立，求实数t的取值范围。参考答案：（1）

……1分i）若，，则无极值点；

……2分ii）若令又，

则时，单调递减；时，单调递增，故的极小值点为；

……3分当时，单调递增；时，单调递减，故的极大值点为；

……4分

（2）设切点为，则则切线的方程为代入点得故切线的方程为

……8分（3）方法1：对上恒成立即对恒成立

……9分

令易知在上恒成立从而在上单调递增，，故

……12分

方法2：成立，则

……7分由得在递减，且此时……10分从而在递减，只需满足……11分故

……12分22.已知函数（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y﹣1=0平行，求a的值（2）求y=f（x）的单调区间和极值（3）当a=1，且x≥1时，证明：f（x）≤1．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）欲求a的值，根据在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．再列出一个等式，最后解方程组即可得．（2）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，最后求出极值即可．（3）由（2）知，当a=1时，函数在[1，+∞）上是单调减函数，且，从而证得结论．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，所以．又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与