对称性及守恒定律

第五章：对称性及守恒定律[1]证明力学量A（不显含t）的平均值对时间的二次微商为：d2n2 A=一[[A，H],H] （H是哈密顿量）dt2（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A不显含t，有dAdt1 ~dAdt1 ~K卞~=[A,H]in1)1将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量一[A,H]的平均值，则有:inTOC\o"1-5"\h\zd2A1 1 1=[—[A,H],H]=—[[A,H],H] （2）dt2inin n2此式遍乘n2即得待证式。[2]证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t的物理量对时间t的导数的平均值等于零。（证明）设A是个不含t的物理量，屮是能量H的公立的本征态之一，求A在屮态中的平均值，有：A二山屮*AvdTT将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）TOC\o"1-5"\h\zdA1~KK— 1二[A,H]三出屮*（AH-HA）屮dT （1）dtniniT今屮代表H的本征态，故屮满足本征方程式H屮二E屮 （E为本征值） （2）又因为H是厄密算符，按定义有下式（屮需要是束缚态，这样下述积公存在）JJJ屮*H（A屮）dT=Bl（H屮）*（A屮）dT （3）T（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（2）（3）代入（1）得：

TOC\o"1-5"\h\zdA=丄呱*A(HH屮)必-丄JJJ(HH屮)*(A屮)didt r|i r|i=土JJJ屮*A屮di一E_JJJ屮*A屮dir|i r|i因E=E*，而莎=0八 p2［3］设粒子的哈密顿量为 H= +V(r)。2卩„d/①咬 . ①、…证明(r-p)=p2/卩一r・VV。dt证明：对于定态 2T=r•VV(证明)(i)r-p=xp+yp+zp，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配xyz律：d/①毛1 ①①占、(r-p= ［r-p,H］dt 卯[r-p,H]=[xp+yp+zp,p2+V(x,y,z)]xyz2卩1=[xp+yp+zp, (p2+p2+p2)+V(x,y,z)]x y z2卩x y1=1=[xp+yp+zp,p2+p2+p2]——+yz2卩[xp+yp+zp,V(x,y,z)] (2)xyz耳d分动量算符仅与一个座标有关，而不同座标的算符相对易，因此(2)式例如分动量算符仅与一个座标有关，而不同座标的算符相对易，因此(2)式xidx可简化成：+[xp+yp+zp,V(x,y,z)]xyz111= [xp,p2]+ [yp,p2]+ [zp,p2]2卩xx2卩yy 2卩zz+[xp,v]+[yp,v]+[zp,v]x y z前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：[xp,p2]二xp3-p2xpTOC\o"1-5"\h\z二Xp3-pXp2+pXp2-p2xpj-/\ /\ -w/\ /\ -w/\[X, p ]p 2+p [x, p ]p=r|ip2+r|ip2=2r|ip2 (4)[xp,V]=xpV-Vxp=xpV-xVp=x[p,V]x x xx x x..aV=T|ix (5)ax将(4)(5)代入(3),得：趨可后瑜 aV aV aV[r-p,H]= (p2+p2+p2)+rji{x +y+z}卩 xyz ax ay az代入（i）,证得题给公式:(6)（2）在定态屮之下求不显含时间t的力学量A的平均值，按前述习题2的结论，其结果是零，令A=r-pT*(PpT*(Pp)屮dT=巴-F・VV=0(7)但动能平均值由前式T三川屮*》Wt=但动能平均值由前式2H 2HTT=1-君VV2[4]设粒子的势场V（x，y,z）是x,y,z的n次齐次式证明维里定理（Virialtheorem）nV=2T式中V是势能，T是动能，并应用于特例:

(3)V=Crn,nV-2T(解)先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标(x,y,z)的n次齐次式，则不论n是正、负数，势场用直角座标表示的函数，可以表示为以下形式，式中V假定是有理函数(若是无理式，也可展开成级数)：V(x,y,z)=YCxtyjzkjk (1)ijk此处的i,j,k暂设是正或负的整数，它们满足：i+j+k=n (定数)C是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。ijk根据前一题的结论：2T二r-VV (2)现在试行计算本题条件下r-VV的式子及其定态下平均值。F・vv=av F・vv=av avavx瓦+y鬲+z石aaa=(xax+yay+za比Cxiyjzkijk=x工iCxi-iyjzk+ijkxiyj-izk+z工kCxiyjzk-iijk=(i+j+k门Cxiyjzkijkijk=nV(x,y,z)这个关系在数学分析中称Euler的齐次式定理。再利用(2)即得：2T=nV (3)本证明的条件只要r-VV不显含时间(见前题证明)故是一个普遍的证明。现将其直接用于几种特例，并另用(2)式加以验证。(1)谐振子：V=—(①x2+wy2+ez2)2123直接看出n=2，根据(3)式知道2T=2V，即T=V也可以根据前一题的结论，即(2)式直接来验证前一结论

” dV dV dVr-VV=x+y+z——dx dy dz=x-卩①x+y-卩①y+z-卩①z123=p(①x2+①y2+①z2)=2V123■^5r-W=2V，由(3)式可知T=V(2)库仑场V=rx2+y2+z2直接看出V是x,y,z的n=-1次齐次式，按（3）式有:2T=—V但这个结论也能用（3）式验证，为此也利用前一题结论（2）有:F・VV=x空+y空+z空dx dy dz-x-y-x-y-z=x- +y- +z•-(x2+y2+z2)3/2 (x2+y2+z2)3/2 (x2+y2+z2)3/2=— =—VJ\.；x2+y2+z2代入（2）代入（2）式，亦得到2T=—V(3)场V(x,y,z)=Cr=C(x2+y2+z2)直接看出V是x,y,z的n次齐次式，故由(3)式得:2T=nV仍根据（2）式来验证:5-VV=x空+y空+z空dx dy dzn/ 、n—[s、n/ 、n—[s、=x-(x2+y2+z2)2-(2x)+y-(x2+y2+z2)2-(2y)22n/ 、工—1s、+z-(x2+y2+z2)2-(2z)n _=n(x2+y2+z2)2=nV由（2）得2T=nV，结果相同。本小题对于n为正、负都相适，但对库仑场的奇点r二0除外。证明，对于一维波包:-X2=丄（xp+亦）dt卩解）一维波包的态中，势能不存在故自由波包）依据力学量平均值时间导数公式:TOC\o"1-5"\h\zd—1 1p2diX2=乔[X2,日]=石[X2，不]1(2)二 [X2,p2](2)2卩邛 x八 八 八 八 八 八但 [x2,p2J=x2p2一p2x2x xx=(xxpp一xpxp)+(xpxp一xppx)+(xppx一pxpx)+(pxpx一ppxx)TOC\o"1-5"\h\z=x[x,pJp+xp[x,pJ+[x,pJpx+p[x,pJx (3)因 [x,pJ二r|i[x2,p2J=2r|i(xp+px) (4)代入(2)式，得到待证的一式。求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符A（t）应满足：dA1击冷[A,HJP2可又对于自由粒子，有H= (P不随时间t变化)2卩令A(t)二x(t)为海氏表象座标算符；代入(i)但 [X(t),p2]二xp2-p2X=xpp一pxp+pxp一ppx/\-w/\ /\r-/\八-w ./\=[x,p]p+p[x,p]=2r|ip代入(2),代入(2),得:dx(t)

dt积分得 x(t)=pt+C将初始条件t=0时，x(t)=x(0)代入得C=x(0)，因而得到一维座标的海氏表象是:x(t)=—t+x(0)［7］求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。(解)用薛氏表象时，一维谐振子的哈氏算符是:(1)人1 ⑷2x2(1)H=p2+2卩2解法同于前题，有关坐标x(t)的运动方程式是：字=丄［x(t)，学+竺竺］dt邛 2卩将等式右方化简，用前一题的化简方法：丄［X,巴+ ］=丄［X,P2］+蹙［X,X2］二凹琢即2 2pr|i 2r|i 卩但这个结果却不能直接积分(与前题不同，P与t有关)，为此需另行建立动量算符的运动方程式：dp(t)1 p2(t)卩①2X2(t矿二討p(tF+ ］…、 1r/、呻2X2(t)_,叫2「—入―化简右万-加，厂]=丽{PX2-X2P}r/\/\/\ 八/\/\ 八/\/\、2hi{pXX-XPX-XXp2hi={[P,X]X一X[p,X]}=一卩①2X2(t)2hidp(t)=一⑷2X(t)⑷dt将⑶对时间求一阶导数，并与⑷式结合,得算符X(t)的微分方程式:TOC\o"1-5"\h\zdX⑴+w2X(t)=0 (5)dt2这就是熟知的谐振动方程式，振动角频率3,它的解是：X(t)=Acoswt+Bsinwt ⑹A,B待定算符，将它求导，并利用⑶:p(t)=|Liw(Bcoswt一Asinwt) ⑺将t=0代入：x(0)=AP(0)=RwB,最后得解:广X(t)=X(0)coswt+-^p(0)sinwtywp(t)=p(0)coswt一^wx(0)sinwt)在初时刻t=0,海森伯表象的算符与薛定谔表象中的算符的形式是相同的，因为前式中：x(o)二xp(0)」?iexc.f.P.Roman.AdvancedQuantumTheory:§1.1.p.47-48Addison-Wesley多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成：H二V丄p2+VV[/F—F/]2mi iji i i,jj证明：总动量p=Vp为守恒。ii[证明]:待证一试是矢量算符，可以证明其x分量的守恒关系，即为足够按力学量守恒条件这要求： [p,HH]=0x[p，H]二忆叮工扫;+EV(/r-r/)]i i i i,j=[工p,工—p2]+[=[工p,工—p2]+[工p,工v(/r~r/)]2mix iji,j=[p+p…p1x 2x ix12)+...+ (p2+p2+p2)...]+2m 1x 1y1y 2m ixiyiyii…p…,v(/r-r/)+v(/r-r/)...v(/r-r/)+...]⑷ix[p+p■1x 2x ix 1 2最后一式的第一个对易式中，因为23[p,p2]=0,ixjy[piz，pjy2]=0，[p,p]二0[VpV3P2]二0故整个TOC\o"1-5"\h\zixP2]二0故整个i ii至于第二个对易式中，申相互势能之和有以下的形式VV[/P—P/]=VV(x—x,y—y,z—z)ij ijijiji,j i,j=；工{V(x—x,y—y,z—z)+V(x—x,y—y,z—z)}2 ijijij ijijiji,j又⑷式的第二对易式又能用分配律写成许多对易式之和，由于不同座标的座标算符和动量算符永远能够对易，⑷式又能简化成：[p,H]二工[p,工讥x—x,y—y,z—z)]x ix ijijijijVV 入 1 ，=VV[p,{V(x—x,y—y,z—z)+V(x—x,y—y,z—z)}](6)ix2ijijij jijiji

再运用对易式(第四章11题)［P,F(x)］=卫［f,F(x)］=ixiICX iI CXii代入上式得：[P,方]二[P,方]二工工[Px ixij,[V(x—x,y—y,z—z)]+乙乙[p, [V(x—x,y—y,z—z)]]2ijijij ix2jijijiij=工工卫空—工工卫空二02iCx 2iCxij i i满足⑶式，故⑵式得征。［9］多粒子系如所受外力矩为0,则总动量L=丫i.为守恒。i［证明］与前题类似，对粒子系，外力产生外力势能和外力矩，内力则产生内力势能v(F-卩),ij但因为内力成对产生，所以含内力矩为0，因此若合外力矩为零，则总能量中只含内势能：H二丄p2+工v[卩―卩]2卩i iji i,j要考察合力矩是否守恒，可以计算［LL要考察合力矩是否守恒，可以计算［LL,H］的分量看其是否等于零。[L,H]=[工(yp—zp),工丄p2+》V[P—?]]x iiziiy 2卩i iji ii i,j22+p2)(yp—zp)]+

iy iz iiziiy—x,y—y,z—z)(yp

ji ji jiix—zipiy)]=工[(yp—zp)(p2+p2+p2)—(p2+p2H iiziiyix iy iz ix工为[(y.p—zp)V(x—x,y—y,z—z)—V(xiiz iiy i ji ji j i

—zpp2)+(p2zp—zp2)+(p2zpiy iiyix iziiyiiy iziiy(yp V-Vyp )+(V zp -zp V)]iix iix ziiiy iiy-Zi—zpp2)+(p2zp—zp2)+(p2zpiy iiyix iziiyiiy iziiy(yp V-Vyp )+(V zp -zp V)]iix iix ziiiy iiy-ZiPyPiz2)]+2h iizix ixiiz iiziy iyiiz iiz iziizii(p2zp工工[最后一式中，因为[p2,最后一式中，因为[p2,pixiy因而⑶可以化简：[L,H]=工丄{[0+[y,p2]p+0+0+0+[px 2h iiyix iz+H{[p,yV]+[zV,p]}izi iiyj]二[p2,p]二[p,p2]=[p2,p]二0

izizizix iziy2,z]p}iiyi用对易关系：[L,H]=工丄{2耳ipp—2叩pp}+工工{卫亠[yV]—卫亠[zV]}x2hiiiyiz iziy iQz i iQy ii j i iTOC\o"1-5"\h\zqv d二一乙｛y—z｝ ⑷i iQz iQyi,j i inQf最后一式第一求和式用了[p,p2]=2nip等，第二求和式用了：[p,f(x)]=iyiy y x iQx见课本上册Pill,最后的结果可用势能梯度[内力]表示，因内力合矩为零，故有iiii,j=0[L,H]iiii,j=0x i ii,j同理可证[L,H]=0 [L,H]=0yz因此L是个守恒量。证明：对经典力学体系，若A,B为守恒量，则｛A,B｝即泊松括号也为守恒量，但不一定是新的守恒量，对于量子体系若A，b是守恒量，贝y｛A,b｝也是守恒量，但不一定是新的守恒量。[证明]先证第一总分，设qi为广义坐标，Pi为广义动量，A｛qi，pi｝和B｛qi，pi｝是任意力学量,i=1,2,3,-e为坐标或动量编号，s自由度，则经典Poisson括号是：(前半题证明c.f.Goldstein：ClessicalMechanlcs){A,B}三yQ{A,B}三yQqQp QpQq在经典力学中，力学量a随时间守恒的条件是 A{p,q}=0dtiidAddAdAv或写作：二-二〒+丫dt dt\o"CurrentDocument"dAdq dAdp 门匚一 J=0dqdt dpdtdq dH将哈密顿正则方程式组：一广二dt dpdpdtdH代入前一式得dA dA VdA dH ddq dH将哈密顿正则方程式组：一广二dt dpdpdtdH代入前一式得dA dA VdA dH dA dH dA .二+V 一 二 +{A,H}二0dt dt dq dp dp dq dtiiiii因此，若力学量A，B不显示含时间t,则这两涵数随时间守恒的条件是：{A,H}=0⑵{B,H}=0 ⑶假定以上两条件都适合，我们来考察{A,B}是否也是守恒的？为此只需要考察下式能否成立:{{A,H},H}=0 ⑷为了考察前一式，可令：1三{A，{B,H}-B,{A，H}}将此式用泊松括号的定义展开得：dAd-dAd}工{dBdH dBdHdpdq dqdpiikKK三工{dqdpiiidpdqKKd dBd}工{dAdqdp dpdq dqdpdpdqKKKKiiiii仔细地展开前一式的各项，将发现全部有关H的二阶导数都抵消，只留下H的一阶导数的项,化简形式如下：-工{dBdHdAdH-}I二工{F(A,B)芈+G(A,B)甞}dp dq式中F，G都含A和B的导数，为了确定这两个待定系数，可令H等于特殊函数p（这不失i普遍性，F与H无关)，代入⑸式后有I={A,{B,p}}-{B,{A,p}}ii={A,dB}-{B,ddA}=dL{A,B}dq dq dqiii前式中{B,p}的值可在⑴中，作替代A—>B，B—>p得到，{A,p}求法类似。再在⑹式中,令H=p，得：I=F（A，B）因而得:dF(A,B)二{A,B}dqa同理令H=q•得:G（A,B）二- {A,B}i api将所得的F和G代入⑹，并将这结果再和⑸等同起来，得到：{A，{B，H}}—{B，{A，H}}{aL{a,B}学{A,B}学}二{{A,B},H}aq apap aqiiiii这个式子说明：如果（2），（3）满足，（4）式就成立即{A,B}守恒。在量子力学体系情形，A,B守恒的条件是[A,H]二0 [B,H]二0再考察I二[[A,B]H]二[AB-BA,H]二[AB,H]-[BA,H]将此式加减ABH+BHA后得到：[[A,B]H]二A[B,H]+[A,H]B+B[H,A]+[H,B]A若A，B是守恒量，前一式等号右方[A,H]=o，[B,H]=o，左方[[A,B]H]=o所以[A,B]也是守恒量，所以量子体系的情形也有类似的结论。在量子体系情形，若A,B是守恒量，则A,B,H有共同本征态，在此态中测得A,B的值为确定值a0和b（初始时刻的值）,[A,B]的值为0。粒子系处在下列外场中，指出哪些力学量（动量，能量，角动量，宇称， 是守恒量。⑴自由粒子⑵无限的均匀柱对称场⑶无限均匀平面场⑷中心力场⑸均匀交变场⑹椭球场[解]要判断哪些力学量守恒，需要将力学量P,i,H,p[宇称量]等表示成适宜的形式，再考察[A,H]等是否是零，但A是该力学量，若该交换式是零就说明A是个守恒量，下面各种场的分析中，P,F的分量或其平方，H,P等逐个立式考虑，pi2⑴[自由粒子]V=0H二一2卩[a][p,H]=[p, (p2+p2+p2)]=0x X2卩x y z同理[p,H]=0 [p,H]二0[b][l[b][l,H]=[卫(ypxix-zp), (p2+p2+p2)]=y2卩xyz同理［/,H］二o ［l,H］=oyz［c］设P为宇称，对任意波涵数屮(P,t)P皿P{-却昙+音+!>(卩,t))V(-p,t)n2 )V(-p,t)耳(0(-x)2+0(-y)2+0(-z)2=H屮(-p,t)=HP屮(p,t)PH=PH=HP[P,H]=0此外H不显含时间，故总的说p,l,H,P守恒。⑵［无限均匀柱对称场］柱对称场若用柱面座标(R,9,z)表示势能时,形式为V(R)，是对称的哈氏算符，凡以z轴为对称轴的柱面上各点，势能V(R)相同。TOC\o"1-5"\h\zml 0 0 1 02 02H=-丄{—［一(R——)］+ ——+—}+V(R)2卩 R 0R 0R R2 092 0(z)2一」 入叶/ 0 sin90、［a］动量算符 p=(cos9 - )，xi 0RR09=-(sin9©+

i 0Rcos9=-(sin9©+

i 0Rcos9009)'pz直截代入相应的对易式［p,H］丰0X_耳0i0z得：,H]丰0[p,H]=0z［b］角动量分量门 0I=-{-zsin9—xi-三cos9仝+Rcos9-}0RR 09 0zJ{Zcos申2-三sin Rcos}dR R如 dz直截代入相应的交换式，得：［/,H］丰0 ［/,H］丰0 ［/,H］二0x y z[c]PH况t)二哙P2+V('川况t)二吐P2+V(-'川(一只t)柱面对称性的表示式V(P)=V(-P)故前式成为PH屮(p,t)二HP屮(p,t) [P,H]二o故前式成为此外H也不显含时间t,总的说来p,i,H,P四力学量守恒。z是柱面对称轴方向的座标。zz⑶［无限均匀的平面场］均匀平面场在一平面内势能不为零，并且处处相等,而与该点的座标无关，记作V0.1H1H=耳p2+V0(p2+p2)+Vxy0[a][[a][p,H]=[pxx(p2+p2)+V]xy01=[p, (p2+p2)+(p,V)]=00同理［p,H］同理［p,H］=0yP［b］角动量l系沿着z二xp—ypy[i,H]=0x

轴，故ix[i,H]二0yxy2)+V0][i,H]=[xp—yp,—(pxy2)+V0](nipp—nipp)=02卩 yxxy[匸H]=0z[c][c]PH屮=P{门2 02 02豈(0X2+丽)+少(x，y，t)耳2 02{_ (―2卩0(-X)2乔帀)+少(一x,-y,t)=HP屮［P,H］二0八 c 八 八H不显含t,总起来说p,l,H,P守恒.z本题和三维自由场类似,差别在于均匀二维势场,但它不影响力学量的守恒.⑷［中心力场］这种场的势能V(r),哈氏算符门2 10 0 l2H=-^-{—-(r2 )-—}+V(r)⑴2卩r20r 0r 耳2r2动量算符如下:叶0叶 0 cos0cos甲0sin甲0= =—{sin0cos甲 +i0x i 0r-}r 00 rsin00申叶0叶 0 cos0sin00cos甲0= =-{sin0sin0 +i0y i 0rr 00 rsin00申} ⑵叶0 叶 0 sin0 0、= =二{cos0 - }i0z i 0rr 000由于〒等不能与H中所含V(r)对易，因而各分量p等都不和H对易，即［p,H］丰0等式成0x立，p2二-甲{丄0(r20)- 1 [(sin0r20r 0r r2sin000r2sin200p2二-耳2({ +二+j)和V(r)对易，也不与H对易。即［p2,H］丰00x20y20z2［b］角动量算符是:00lx=ni{Sin旨Ctg0C0S申亦}〈 [=-ni{cos000-ctg0sin000}pl及其分量仅与角度（°,P）有关，与r无关，因而l等和l2和势能V（r）对易直接看出：（见x课本113页)[l,12]二0z直接代入能证：［l,I2］=0aa1(r2—)一——l2}}=0

r q2r2同理关于lx门2iaai[l2,H]={/2,一丄{ —(r2—)一 l[l2,H]={/2,一2pr2ar arq2r2［c］中心力场是球对称势场，即在同一球面上势能相等（等势面球形）V（-P）=V（P）对任意波函数屮（卩,t），有PH(p)v(p,t)=P匸+v(p)}屮(p,t)2p=炸+V(-臥(-t)=吩+V(臥(-t)=讪况t儿［P,H］=0p中心力场的守恒量是l,l2,H,P。⑸［均匀交变场］这种势场可以是三维的，但既是均匀的，则势能不应依赖于座标，而只依赖于时间，例如写成标量场形式=Vcoswt0这样，在每一个指定时间t就是一个空间中的均匀场，其性质就和三维自由粒子场相仿。ppk,l,H,P守恒量。但若这种场是矢量场，例如一个电场沿z轴，随时间作交变，这样对称性要减低。=V0coswt•k（k沿z轴单位矢）则守恒量是p,p,l,H,Pxyx⑹［椭球场］这种势场的对称性,在于场的等势面是一群椭球面,因而势场写作:V（卩）=（-）2+G）2+（-）2abc这可以用直角坐标形式的算符来讨论:H一尖(穽+二+穽)+心2+G)2+(三)2}2卩ox2 (3y2 dz2a bc动量算付疋：p-耳o入 耳o，p=入 耳o，p=xioxyidyzioz另两个轮换对称。由于直角坐标与其共轭动量不对易，即［p,X］=】等x i[P，H]二[卫f，-2^(字+^~+^~)+{(-)2+(b)2+(Z)2}]x iox 2卩ox2 dy2 dz2 abc一式中［p,X2］丰0，所以动量不守恒，同理［/,H］=［卫（y?—吕），-尹（字+字+字）+｛（X）2+（y）2+（三）2｝］x i oz oy 2卩ox2oy2Oz2 abc此式之中i与T，V两部分都不能够对易，因而角动量也不守恒。x椭球形势场中粒子的守恒只会有H和P两种。c.f.D.特哈尔：量子力学习题集：§3。31题pl54—p。160。［12］对于平面转子（转动惯量I），设：屮®,0）二Asin29（1）试求屮（申,t）兀［解］平面转子的定位坐标是转角9，这种坐标相当于球面极坐标中r=常数，°=—，9=自首先推出哈氏算符，在经典力学中，若刚体对旋转轴转动惯量I,角动量（相当于f）/xx\o"CurrentDocument"1 nd和动量T的关系是T=l2，转子的势能是零，又在球面极座标中导得l= ，故转子21x zi创n2d2哈氏算符：H二— ⑴21珈2根据本章§5.1的⑵状态的波函数采用海森伯表象时记作申（卩,0），采用薛定谔表象时是屮（卩,0）,则二者有函数变换关系是：P（卩,t）=e-iHt/叩（卩,0） ⑵本题是该公式的典型用法的示例，本题情形，所用变换算符不显含时间，根据（1）式有：iqt/qB2e-iHt/n二e2i却2 ⑶将⑶式运算于题给的海森伯表象波函数川 1—cos2q、屮(r,t)=P(P,t)=e21B申2( - )厶申1nit B2 1—cos2p=乙()n( )n( )n!2i BP2 2n=0B注意至U： cos2申=2cos(2申+兀)=-2sin2申B申cos2p=—22cos2pBp2cos2p二22ncos(2p+n兀)二(一4)ncos2pBP2nf1-2nir.1—cos2p、1V1-2nircos2p屮(P,t)二乙一( )n( )=_-乙一( )»-n!I 2 2 n! I 2n=0 n=01—2qit—{乙(—n!Icos2Pn=01 —2qit=^{1-eicos2p}(4)⑷还是非归一化的波函，要将屮（卩,t）归一化，应乘常数［13］证明在伽利略变换下薛定谔方程具有不变性，即设惯系K'以速度v相对于惯性系K(沿x轴正方向)运动时，空间任何一点，两座标系中的坐标满足：{x=x‘+vt‘ y=y‘z=Ztz=t ⑴势能在KzK两坐标系中的表示式有下列关系V＇(x＇,t＇)=V＇(x-vt,t)=V(x,t) ⑵证明若在K'中薛定谔方程式是。屮 耳2Q2则在K'中:+则在K'中:+V)屮dt 2pdx2其中：屮(x,t)二ei(nx_2/W(x—vt,t) ⑶［证明］从伽利略变换定义可知，在⑴式中当t=0时，x=xz,t=t‘，因此在时刻t=0一点的波函数屮(x,t)与屮'(x‘,t')相重合，这个关系和§5.1⑵的海森伯，薛定谔表象变换：e—e—Ht/n屮(卩,0)为普遍起见，我们假设K,K‘间的变换用一未知的么正算符U?(x,t)表示。关于这一点也可以用变换前后的几率相等来解释(x,t)|2="(x；t')|2。屮'(x',t')=U(x,t)V(x,t) ⑷逆变换 屮(x,t)