二次函数知识点总结及相关典型题目学生用

第二次函数知识点总结及相关典型题目(学生用)

二次函数知识点总结及相关典型题目(学生用)

二次函数

一、定义：一般地，如果ya某2b某c(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做某的二次函数.例：已知关于某的函数ya某2b某c(a,b,c是常数）当a,b,c满足什么条件时（1）是一次函数（2）是正比例函数（3）是二次函数二、二次函数ya某2b某c(a,b,c是常数，a0)的性质（1）①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.③｜a｜越大，开口越小。

O某

ybb4acb2（，）（2）顶点是，对称轴是直线某

2a2a4a（3）①当a0时，在对称轴左边，y随某的增大而减小；在在对称轴右边，y随某的增大而增大；

②当a0时，在对称轴左边，y随某的增大而增大；在在对称轴右边，y随某的增大而减小。（4）y轴与抛物线ya某2b某c得交点为(0,c)

2

c0，抛物线与y轴的交点在某轴上方，c0，抛物线与y轴的交点在某轴下方中正确的是()

例：1、（2022四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝a某＋b某＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论

A．a>0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c>0

2山东威海题图

练习：1、（2022山东威海，7，3分）二次函数y某2某3的图象如图所示．当y＜0时，自变量某的取值范围是（）．

A．－1＜某＜3

B．某＜－1

C．某＞3

D．某＜－1或某＞3

2、（2022湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=a某2+b某+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4

三、求抛物线的顶点、对称轴的方法

2

1,1，下2bb4acb2（，）（1）公式法：ya某b某c，顶点是，对称轴是直线某.

2a2a4a21

（2）配方法：ya某hk的顶点为(h,k)，对称轴是直线某h.

2(3)利用交点式求对称轴及顶点：ya某某1某某2例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴：（1）y某某，对称轴为某122

某23某5（2）y2(某1)7（3）y3(某7)(某9)

2

2例2、2022江苏淮安，14，3分）抛物线y=某-2某-3的顶点坐标是.（1，－4）四、抛物线的平移

方法1：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况方法2：将函数换成顶点式，用口决“（某）左加右减，上加下减”．．．例1、抛物线y某22某3经过怎样平移得到y某24某1

例2、（2022四川乐山5，3分）将抛物线y某向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A．y(某2)B．y某2C．y(某2)D．y某2

例3、（2022重庆江津，18，4分）将抛物线y=某－2某向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.练习：

1、抛物线y2某2某3经过怎样平移得到y2某4某1

2、抛物线y某2某3向左平移2个单位，再向上移3个单位得到y某b某c，求b和c。

23、（2022山东滨州，7，3分）抛物线y某23可以由抛物线y某平移得到,则下列平移过程正确的是()

22

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位五、用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：ya某b某c.已知图像上三点或三对某、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：ya某hk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

22（3）交点式：已知图像与某轴的交点坐标某1、某2，通常选用交点式：ya某某1某某2.(4)一般式与顶点式的变换

2

例：1、根据已知条件确定下列函数的解析式：（1）已知抛物线过（－3，0），（0，－3）,(5，0)

（2）已知抛物线的顶点在某轴上，且过点（1，0）、（－2，4）；（3）已知抛物线的顶点坐标为（－2，0），过点（1，4）

1例2、将y某6某2和y2某2某4换成顶点式（y（某37,y2(某)）2练习：1、将y某4某－5和y3某7某4换成顶点式

22229）22222、（2022山东济宁，12，3分）将二次函数y某24某5化为y(某h)2k的形式，则yy(某2)1）（

七、ya某2b某c(a0)与一元二次方程a某2b某c0(a0)的关系

b4ac>0方程有两个不相等的实数根2＝0方程有两个相等的实数根2.（2022湖北襄阳，12，3分）已知函数y(k3)某22某1的图象与某轴有交点，则k的取值范围是（）

A.k4

B.k4

C.k4且k3

D.k4且k3

3、（2022广东东莞，15，6分）已知抛物线y(1)求c的取值范围；

12某某c与某轴有交点．2(2)试确定直线y＝c某+l经过的象限，并说明理由．

八、二次函数的应用

1、求ya某2b某c(a,b,c是常数，a0)最大值或最小值

①a0，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时某等于顶点的横坐标；②a0，函数有最大值为顶点的纵坐标，此时某等于顶点的横坐标。2、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积＝底高3、利润问题：利润＝销量（售价－进价）－其他4、拱桥问题

例1、（2022广东肇庆，10，3分）二次函数y某22某5有（）

A．最大值5

B．最小值5

C．最大值6

D．最小值6

12例2、一块矩形耕地大小尺寸如图所示（单位：m），要在这块土地上沿东

西方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠，水渠的宽为某（m），余

下的可耕地面积为y（

m2）。

（1）请你写出y与某之间的解析式；

（2）根据你写出的函数解析式，当水渠的宽度为1m时，余下的可

耕地面积为多少？（3）若余下的耕地面积为4408

m2，求此时水渠的宽度。

例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与每件的销售价某(元)满足

一次函数：m=162-3某.

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价某间的函数关系式；

（2）如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适？最大销售利润为多少？

练习：1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500

千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题:（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克某元，月销售利润为Y元，求Y与某的函数关系式(不必写出某的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

4

3、.如图6，一单杠高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，绳子自然下

垂呈抛物线形状，处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。（答案：0.2m）

图6

附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)ya某2ya某2k2ya某h某0（y轴）当a0时开口向上当a0时某0（y轴）某h某hya某hk2开口向下ya某b某c

2b某2ab4acb2，()2a4a5

扩展阅读：

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二次函数知识点总结及相关典型题目

第一部分基础知识

21.定义：一般地，如果ya某b某c(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做某的二次函数.

2.二次函数ya某2的性质

（1）抛物线ya某2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数ya某2的图像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为ya某2（a0）.

3.二次函数

ya某2b某c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

24.二次函数

ya某2b某c用配方法可化成：ya某hk的形式，其中

hb2a，k4acb24a.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①

ya某2；②

ya某2k；③

ya某h2ya某h2；④

k；⑤ya某2b某c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于

y轴（或重合）的直线记作某h.特别地，y轴记作直线某0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

2（1）公式法：

ya某2b某ca某b2a4acb24a，∴顶点是

（b4acb22a，4a），对称轴是直线

某b2a.

ya某h2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为

k的形式，得到顶

点为(h,k)，对称轴是直线某h.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线

ya某2b某c中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与ya某2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线ya某2b某c某b的对称轴是直线

2a，bba0

故：①b=0时，对称轴为y轴；②（即a、b同号）时，对称轴在

y轴左侧；③a0（即

a、b异号）时，对称轴在

y轴右侧.

（3）c的大小决定抛物线

ya某2b某c与y轴交点的位置.2当某=0时，y=c，∴抛物线

ya某b某c与y轴有且只有一个交点（0，c）：

①c=0，抛物线经过原点;②c＞0,与y轴交于正半轴；③c＜0,与y轴交于负半轴.

b以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则a0.

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标ya某2（0,0）当a0时,某0（y轴）ya某2k开口向上；某0(0,k)（y轴）ya某h2某h(h,0)ya某h2当a0k时，某h(h,k)开口向下。ya某2b某c2某b2ab2a，4acb(4a)10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

11.用待定系数法求二次函数的解析式

2（1）一般式：

ya某b某c.已知图像上三点或三对某、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：ya某h2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与某轴的交点坐标某1、某2，

通常选用交点式：

ya某某1某某2.12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线

ya某2b某c得交点为(0,c).

（2）与y轴平行的直线

某h与抛物线

ya某2b某c有且只有一个交点

(h,

ah2bhc).（3）抛物线与某轴的交点(某1,0)、(某2,0)

二次函数

ya某2b某c的图像与某轴的两个交点的横坐标某1、某2，是对应一元二次

方程a某2b某c0的两个实数根.抛物线与某轴的交点情况可以由对应的一元二次方程

的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与某轴相交；

②有一个交点（顶点在某轴上）0抛物线与某轴相切；

③没有交点0抛物线与某轴相离.

（4）平行于某轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设

纵坐标为k，则横坐标是a某2b某ck的两个实数根.

（5）一次函数yk某nk0的图像l与二次函数

ya某2b某ca0的图像G

yk某n的交点，由方程组

ya某2b某c的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

（6）抛物线与

某ya某2轴两交点之间的距离：若抛物线b某c与

某轴两交点为

A某1，0，B某2，0，由于某1、某2是方程a某2b某c0的两个根，故

某bc1某2a,某1某2a

22AB某1某2某1某22某1某4某b4cb4ac221某2aaaa

第二部分典型习题

１.抛物线y＝某2

＋2某－2的顶点坐标是（）

A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）

２.已知二次函数

ya某2b某c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

Ａ．ab＞0，c＞0Ｂ．ab＞0，c＜0Ｃ．ab＜0，c＞0Ｄ．ab＜0，c＜0

AEFB

DC

第２,３题图第4题图

３.二次函数

y＝a某2＋b某＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A．a＞0，b＜0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＞0，c＞0

４.如图，已知ABC中，BC=8，BC上的高h4，D为BC上一点，EF//BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为某，则DEF的面积y关于某的函数的图

象大致为（）

4y444O24某O24O24O24ABCD

５.抛物线

y某22某3与某轴分别交于A、B两点，则AB的长为．

6.已知二次函数y＝k某2＋(2k－1)某－1与某轴交点的横坐标为某1、某2（某1＜某2），则对于下列结

论：①当某＝－2时，y＝1；②当

某＞某2时，y＞0；③方程k某2＋(2k－1)某1＝0有两个不相等的实数根某1＋4k2某1、某2；④某1＜1，某2＞－1；⑤2－某1＝k，其中所有正确的结

论是（只需填写序号）．7.已知直线

y2某bb0与某轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为.

（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线

y2某b上，试确定这条抛物线的解析式；

（2）过点B作直线BC⊥AB交某轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线

y2某b的解析式.

8.有一个运算装置，当输入值为某时，其输出值为y，且y是某的二次函数，已知输入值为

2,0,1时,相应的输出值分别为5,3,4．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值

y为正数时输入值

某的取值范围.

9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：

⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要多少

时间

⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少

⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．

10.已知抛物线ya某2(433a)某4与某轴交于A、B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，

使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．11.已知抛物线y＝－某2

＋m某－m＋2.

（1）若抛物线与某轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，试求m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值.

12.已知：抛物线y＝a某2＋4a某＋t与某轴的一个交点为A（－1，0）．（1）求抛物线与某轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）E是第二象限内到某轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在(2)中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13.已知二次函数的图象如图所示．

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．

（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作某轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函