平面向量知识归纳和题型总结

平面向量知识归纳和题型总结平面向量知识归纳和题型总结13/13PAGE13平面向量知识归纳和题型总结平面向量知识归纳和题型总结平面向量章节分析:向量是近代数学中重要和基本的概念之一,具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体,是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有重要应用.向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具,向量概念引入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系,例如平行、垂直、夹角、距离等.对本章的学习要立足基础,强化运算,重视运用,能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题.平面向量的概念、几何运算和基本定理1.向量的相关概念2.向量的线性运算3.向量的共线定理非零向量与向量共线,当且仅当存在唯一一个实数,使。延伸结论:三点共线当且仅当有唯一,使4.平面向量的基本定理如果是一个平面内两个不共线向量,那么对这平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使:,其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.练习:（1）已知是平面向量的一组基底,,①若当且仅当且.②若则.（2）如图为单位向量，，其中的夹角为，的夹角为。若，求的值。5.一个常用结论:中,为边的中点,则有:.练习:设的重心为点,设试用表示.典型例题分析:知识点一:基本概念例1.1.如果是平面内两个不共线向量,那么下列各说法错误的有()①()可以表示平面内的所有向量;平面内的所有向量都可以表示成()。②对于平面中的任一向量使的,有无数多对;③若向量与共线,则有且只有一个,④若实数,使,则. A.①② B.②③ C.③④ D.②练习:1)判断下列命题的真假(1)向量与向量为共线向量,则四点共线.(2)若则四边形为平行四边形.(3)若向量,则.(4)是两个向量,则当且仅当不共线时成立知识点二:向量的线性运算例1.化简:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)例2.如图,四边形,,分别为,的中点,求证:.练习:（1)已知三个顶点,,及平面内一点,若,则()A.在内部B.在外部C.在边所在直线上D.在线段上(2)设是平行四边形的对角线的交点,为任意一点,则=知识点三:平面向量基本定理和共线定理例1.1）已知为不共线向量,用表示.2)设,是两个不共线的向量,已知,,若,,三点共线,求的值.例2.证明:平面内三点共线存在两个均不为的实数,使且练习:证明:平面内三点共线存在三个均不为的实数,使且向量数量积及坐标运算一、基本知识回顾:1、已知向量其中:向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,即可使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合了起来向量几何表示或运算向量运算与关系向量坐标表示或运算平行四边形法则或三角形法则向量加减法实数λ与向量的积是一个向量,记作λ实数与向量的积数量积存在唯一的实数使（）向量向量()向量的模向量夹角<>三点共线练习:判断下列命题的真假1）若向量,,则.2）若则3）4）5）6）2、已知.若,则;若,则.3、已知则与同向的单位向量是,与平行的单位向量是.4、已知点和向量,若,则点的坐标为5、已知,,若,求实数6、已知,则7）下列各组向量中,可以作为平面基底的是（）A.B.C.D.8）已知,则在方向上的投影为二、典型例题讲解例1:1）已知与的夹角为,求:（1）在方向上的投影（2）（3）2）4、在直角中,是斜边上的高,则下列等式不成立的是（）A. B.C.D.3）已知向量夹角为，的夹角为锐角，求的范围。练习:1）已知向量,满足则2）在中，已知求边的长度例2:1）已知,点在线段的延长线上,且,求点的坐标（若点在直线上）2）在中,点在上,且,点是的中点,若,则例3:已知向量,.（Ⅰ）当,且时,求的值;（Ⅱ）当,且∥时,求的值.解:（Ⅰ）当时,, ,由,得,………3分上式两边平方得,因此,.……………6分（Ⅱ）当时,,由∥得.即.………9分,或.…………12分例4、已知向量.且1)当时,求的集合;2)求;3）求函数的最小值4）求函数的最小值5）若的最小值是,求实数的值.练习:1）设是不共线的两非零向量,若,且夹角为,求为何值时,的值最小.2）已知向量==且∈.（1）求·及|+|;(2)若=·-|+|,求的最大值和最小值.向量与三角形平面向量的应用十分广泛.由于三角形中的有关线段可以视为向量,线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示,这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件,在这类问题中,往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质,因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强.三角形之心外心.三角形外接圆的圆心,简称外心.是三角形三边中垂线的交点.（下左图）重心三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.（上右图）三、垂心

三角形三条高的交点,称为三角形的垂心.（下左图）四、内心

三角形内切圆的圆心,简称为内心.是三角形三内角平分线的交点.三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.（上右图）知识点一、三角形形状与向量1、已知向量满足条件,且,求证是正三角形.2、是所在平面上的一点,若,则是三角形.3、已知非零向量和满足且,则为.4、若为所在平面内一点,且满足则的形状为（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形5、已知非零向量与满足且,则△ABC为 （ ）A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形思路分析:1.根据四个选择支的特点:本题可采用验证法来处理,不妨先验证等边三角形,刚好适合题意,则可同时排除其他三个选择支,故选D.2.由于所在直线穿过△ABC的内心,则由知,（等腰三角形的三线合一定理）;又,所以,即△ABC为等边三角形,故选D.知识点二、三角形的“心”与向量重心在△ABC中,AD为BC边上的中线,根据向量加法的平行四边形法则,可得.这说明所在的直线过的中点,从而一定通过的重心.另外,为的重心的充要条件是或,（其中为所在平面内任意一点）,这也是两个常用的结论.例1.已知是平面上不共线的三点,是的外心,动点满足,则的轨迹一定通过的（ ）A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心思路分析:取AB边的中点M,则,由可得,所以,即点P的轨迹为三角形中AB边上的中线,故选D.垂心在中,由向量的数量积公式,可得,这说明所在直线是BC边上的高所在直线,从而它一定通过△ABC的垂心.例:若动点满足,则点P轨迹一定通过的（）A、外心B、内心C、垂心D、重心例2.点是所在平面内的一点,满足,则点是的 （ ）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点思路分析:由,得,所以,即.同理.因此是三条高的交点,故选D.练习:点是所在平面内的一点,满足,则点是的（ ）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点内心在中,由两单位向量相加,可得所在直线是∠A的平分线所在的直线,从而一定经过的内心.例3是平面上定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P的轨迹一定通过△