山西省忻州市国利美术高级中学高三数学理月考试题含解析

山西省忻州市国利美术高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f(x)=log5(x2+1),

x∈[2,+∞的反函数是

（

）

A．g(x)=(x≥0)

B．g(x)=(x≥1)

C．g(x)=(x≥0)

D．g(x)=(x≥1)

参考答案：答案：D2.则(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D略3.已知△ABC，，，N是边BC上的点，且，为△ABC的外心，的值为（

）A.8 B.10 C.18 D.9参考答案：D【分析】先由得到，取，中点分别为，求出，，进而可求出结果.【详解】因，所以，因此；取，中点分别为，则，；因此，所以.故选D

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，熟记数量积运算法则以及数量积的几何意义，即可求解，属于常考题型.4.若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（

）A．－2

B．

C．

D．2参考答案：C，且是纯虚数，，故选C.

5.设函数，的零点分别为，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略6.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A． B． C．6 D．7参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V正方体﹣2V棱锥侧=．故选：A．7.复数z=的共轭复数是(

)A．2+i

B．2-i

C．-1+i

D．-1-i参考答案：D8.“”是方程表示椭圆的

（

）

A．充分必要条件

B．充分但不必要条件

C．必要但不充分条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C9.若函数在(2，f(2))处的切线过点(1，2)，则a=（

）

(A)4

(B)7(C)8

(D)参考答案：A试题分析：.,,解得.故A正确.考点：导数的几何意义.10.已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（

）

A．(-∞,-1]

B．[1,+∞）

C．[-1，1]

D．（-∞，-1]∪[1，+∞）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线l：y=x﹣1与曲线相切于点A，则A点坐标为．参考答案：（1，0）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点A（m，n），代入切线的方程和曲线方程，求得函数的导数，求得切线的斜率，化为lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的导数大于0，且f（1）=0，解方程可得m=1，n=0，进而得到切点的坐标．【解答】解：设切点A（m，n），可得m﹣1=n，=n，y=的导数为y′=，可得=1，即为lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的导数为+2m＞0，则f（m）递增，且f（1）=1，即有方程lnm+m2=1的解为m=1．可得n=0．即为A（1，0）．故答案为：（1，0）．12.已知

参考答案：113.已知函数的导函数为，且满足，则。参考答案：614.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，已知|AF|=3，|BF|=2，则p等于．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据AF|=3，|BF|=2，利用抛物线的定义可得A，B的横坐标，利用==，即可求得p的值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3，|BF|=2∴根据抛物线的定义可得x1=3﹣，x2=2﹣，∵==，∴4（3﹣）=9（2﹣）∴p=．故答案为：．15.已知集合A=，B=，则=

.参考答案：16.正实数x，y满足2x+y=2，则x+的最小值

．参考答案：．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】由y=2﹣2x＞0，解得0＜x＜1．则=x+=x+=f（x），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：x＞0，y=2﹣2x＞0，解得0＜x＜1．则=x+=x+=f（x），f′（x）=1+，令f′（x）=0，解得x=．则可得x∈时，f′（x）＜0；x∈时，f′（x）＞0．∴x=，y=时，函数f（x）取得极小值即最小值+=，故答案为：．17.(坐标系与参数方程选做题)已知圆的极坐标方程ρ=2cosθ，直线的极坐标方程为ρcosθ－2ρsinθ+7=0，则圆心到直线的距离为__参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，AD是BC边的中线，,且△ABC的面积为.(1)求的大小及的值;(2)若,求AD的长.参考答案：(1)在中,由可得,故因为,所以,解得.所以(2)由得.在中,出余弦定理得得,由正弦定理得.

∵故在中,解得19.某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且，若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，记作M（a） （1）令，x∈[0，24]，试求t的取值范围 （2）试求函数M（a） （3）市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前该市的污染指数是否超标．参考答案：【考点】在实际问题中建立三角函数模型． 【分析】（1）利用正弦函数的性质，可求t的取值范围； （2）分类讨论求最值，即可求函数M（a）的解析式； （3）由（Ⅱ）知M（a）的最大值，它小于2，即可得出结论． 【解答】解：（1）由0≤x≤24得

当即x=0时tmin=0当即x=18时 所以t的取值范围是… （2）令， 当时，即时， 当时，即时， 所以… （3）当时，易知M（a）单调递增，所以 当时，由M′（a）=0得 当时，M′（a）＞0，M（a）单调递增 当时，M′（a）＜0M（a）单调递减 所以函数，所以没有超标 答：目前该市的污染指数没有超标．… 【点评】本题考查三角函数的性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 20.在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，DB=DC=4，∠BDC=90°，P在线段BC上，CP=3PB，M，N分别为AD，BD的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面MNP；（Ⅱ）若AB=4，求直线MC与平面ABC所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）推导出MN∥AB，MN⊥BC，PN⊥BC，由此能证明BC⊥平面MNP．（Ⅱ）由AB⊥QD，得QD⊥平面ABC，连接AQ，取AQ的中点E，连接EM，EC，得到∠MCE就是直线MC与平面ABC所成角，由此能求出直线MC与平面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵MN是△ABD的中位线，∴MN∥AB．…（2分）又AB⊥平面PBC，∴MN⊥平面PBC．∴MN⊥BC．①…（4分）取BC的中点Q，连接DQ，则DQ⊥BC．由PN是△BDQ的中位线知PN∥DQ，∴PN⊥BC．②…（6分）由①②，得BC⊥平面MNP．…（7分）解：（Ⅱ）∵AB⊥平面PBC，∴AB⊥QD．而BC⊥QD，∴QD⊥平面ABC．…（9分）连接AQ，取AQ的中点E，连接EM，EC．在△AQD中，EM是中位线，∴EM∥QD．∴EM⊥平面ABC．…（10分）∴∠MCE就是直线MC与平面ABC所成角．…（11分）连接CN，则，，在Rt△MCE中，，∴直线MC与平面ABC所成角的正弦值为．…（15分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图（如图）：（I）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这两户在同一分组的概率；（Ⅱ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30939捐款不超过500元5611合计351550

P（K2≥k）50.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：临界值表参考公式：K2=，n=a+b+c+d．参考答案：【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户，损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，即可求这两户在同一分组的概率；（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（I）由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户，损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，…（3分）因此，这两户在同一分组的概率为P==

…（6分）（II）如表：

经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30939捐款不超过500元5611合计351550…（7分）K2=…（8分）==4.046＞3.841…（10分）所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图，独立性检验知识，考查古典概型，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．22.已知函数，函数，函数的导函数为.（1）求函数的极值；（2）