2022年湖南省湘潭市湘乡石坝中学高三数学理期末试题含解析

2022年湖南省湘潭市湘乡石坝中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.方程表示（

）（A）两条直线 （B）两条射线 （C）两条线段 （D）一条射线和一条线段参考答案：C略2.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（

）

A．B．C．D．

参考答案：B3.把方程化为以t为参数的参数方程是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.在△ABC中，若3cos（A﹣B）+5cosC=0，则tanC的最大值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣2参考答案：B【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由题意可得3cos（A﹣B）﹣5cos（A+B）=0，展开化简可得tanAtanB=，再利用基本不等式求得tan（A+B）≥，从而求得tanC的最大值．【解答】解：△ABC中，若3cos（A﹣B）+5cosC=0，即3cos（A﹣B）+5cos（π﹣A﹣B）=3cos（A﹣B）﹣5cos（A+B）=0，即3cosAcosB+3sinAsinB﹣5cosAcosB+5sinAsinB=0，故8sinAsinB=2cosAcosB，tanAtanB=，tanA+tanB≥2=1，∴tan（A+B）=≥=，则tanC=﹣tan（A+B）≤﹣，当且仅当tanA=tanB时，等号成立，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．5.已知直线过双曲线右焦点，交双曲线于，两点，若的最小值为2，则其离心率为（） A． B． C．2 D．3参考答案：B6.设，则＝

A．256

B．96

C．128

D．112参考答案：D与二项式定理有关的问题，常常需进行合理的赋值，在本题中，分别令，可求出结果，选D．7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以侧视图为底面的一个三棱柱，切去两个三棱锥所得的组合体，进而可得体积．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以侧视图为底面的一个三棱柱，切去两个三棱锥所得的组合体，∵侧视图的面积S==8，棱柱的高为5，切去的两个棱锥高均为1，故组合体的体积V=5×8﹣2××8×1=，故选：C．8.执行如图所示的程序框图，输出S，则

（

）（A）9 （B）10

（C）11

（D）12

参考答案：B执行循环为结束循环，输出，所以，选B.

9.已知函数f（x）=x﹣﹣1，g（x）=x+2x，h（x）=x+lnx，零点分别为x1，x2，x3，则（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x3＜x1参考答案：D【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别确定函数零点的大致范围，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x﹣﹣1的零点为＞1，g（x）=x+2x的零点必定小于零，h（x）=x+lnx的零点必位于（0，1）内，∴x2＜x3＜x1．故选D．【点评】本题考查函数零点的定义，利用估算方法比较出各函数零点的大致位置是解题的关键．10.某器物的三视图如图2所示，根据图中数据可知该器物的表面积为A．

B．

C．

D．参考答案：D考点：三视图，圆锥与球的表面积．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用二分法求方程：的一个近似解，现在已经将根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为

。参考答案：答案：（）12.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是

．参考答案：13.高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8．现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为

．参考答案：45【考点】系统抽样方法．【分析】先求出分组间隔为，再由在第一组中随机抽取的号码为5，能求出在第6组中抽取的号码．【解答】解：高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8．分组间隔为，∵在第一组中随机抽取的号码为5，∴在第6组中抽取的号码为：5+5×8=45．故答案为：45．【点评】本题考查样本号码的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．14.（5分）（2015?枣庄校级模拟）设、是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且，，则△OAB的面积等于．参考答案：5【考点】：向量在几何中的应用；数量积表示两个向量的夹角．【专题】：计算题．【分析】：确定向量的坐标，求出向量的模及夹角，利用三角形的面积公式，即可得到结论．解：由题意，=（﹣2，1），=（4，3）∴||=，||=5∴cos∠AOB==﹣∴sin∠AOB=∴△OAB的面积等于××5×=5故答案为：5【点评】：本题考查三角形面积的计算，解题的关键是确定向量的坐标，求出向量的模及夹角，属于中档题．15.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点M,则点M恰好取自阴影部分的概率为

.参考答案：16.已知数列中，，，记为前项的和，则=

；参考答案：-100717.过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，求出A的坐标，即可求出点A到抛物线C的焦点的距离．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则分别过A，B作直线x=﹣2的垂线，垂足分别为D，E．∵|PA|=|AB|，∴3（x1+2）=x2+2，3y1=y2，∴x1=，∴点A到抛物线C的焦点的距离为1+=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定A的横坐标．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a＞0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为，直线l与曲线C分别交于M，N两点.(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.参考答案：(1)由C：ρsin2θ＝2acosθ，得(ρsinθ)2＝2aρcosθ，所以曲线的普通方程为y2＝2ax.由直线l的参数方程，消去参数t，得x－y－2＝0.……5分(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入y2＝2ax,得到t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a).因为|MN|2＝|PM|·|PN|，所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2.解得a＝1.………10分19.已知，函数（的图像连续不断）（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：存在，使；（Ⅲ）若存在均属于区间的，且，使，证明．参考答案：（Ⅰ）解：，

令.

当x变化时，的变化情况如下表：+0-极大值

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是

（Ⅱ）证明：当

由（Ⅰ）知在（0，2）内单调递增，在内单调递减.令由于在（0，2）内单调递增，故取所以存在即存在（Ⅲ）证明：由及（Ⅰ）的结论知，从而上的最小值为又由，知故从而

20.已知函数.（1）若，解不等式；（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）不等式可化为，则或或解得，所以不等式的解集为.（2）不等式等价于即，因为若存在实数，使得不等式成立，则，解得，实数的取值范围是.21.求函数的最大值与最小值。参考答案：解：……………4分……………6分由于函数在中的最大值为

最小值为

故当时取得最大值，当时取得最小值……………10分略22.已知函数f（x）=Acos（ωx+?）（A＞0，ω＞0，）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角θ满足，求f（2θ）的值．参考答案：

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数的图象，