四川省成都市棕北联合中学高三数学理模拟试卷含解析

四川省成都市棕北联合中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于x=对称参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由已知求出满足条件的ω，φ值，求出函数的解析式，进而分析出函数f（x）的对称性，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴ω=2，则f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）=sin[2（x﹣）+φ]的图象，若得到的函数为奇函数，则g（0）=sin[2?（﹣）+φ]=0，即φ﹣=kπ，k∈Z∵|φ|＜，故φ=，故f（x）=sin（2x+），∵当2x+=+kπ，即x=+，k∈Z时，函数取最值，故函数f（x）的图象的对称轴方程为：x=+，k∈Z当k=0时，x=为函数f（x）的图象的一条对称轴，故选：D2.若f（a）＝（3m－1）a＋b－2m，当m∈[0,1]时f（a）≤1恒成立，则a＋b的最大值为

A．

B．

C．

D．

参考答案：D3.六位同学站成一排照毕业相，甲同学和乙同学要求相邻，并且都不和丙丁相邻，则一共有多种排法（）A．72 B．144 C．180 D．288参考答案：A【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】先把甲乙捆绑在一起看做一个复合元素，分这个复合元素在两端，和这个复合元素在不在两端，根据分类计数原理可得【解答】解：先把甲乙捆绑在一起看做一个复合元素，若这个复合元素在两端，从不包含丙丁的2人选1人，和复合元素相邻，剩余的全排即可，故有A22A22A21A33=48种，若这个复合元素在不在两端，从不包含丙丁的2人选2人，分别放在这个复合元素两边，这4人捆绑在一起组成一个新的复合元素，再和丙丁全排即可，故有A22A22A33=24种，根据分类计数原理可得，共有48+24=72种，故选：A4.已知函数的图像关于直线对称，则的单调递增区间为A．

B．C．

D．参考答案：A略5.定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）等于(

)A．2 B．3 C．6 D．9参考答案：C【考点】函数的值．【专题】压轴题．【分析】根据关系式f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0求出f（0），再令x=y=1，求出f（2），同样的道理求出f（3），最终求出f（﹣3）的值．【解答】解：令x=y=0?f（0）=0，令x=y=1?f（2）=2f（1）+2=6；令x=2，y=1?f（3）=f（2）+f（1）+4=12，再令x=3，y=﹣3得0=f（3﹣3）=f（3）+f（﹣3）﹣18?f（﹣3）=18﹣f（3）=6故选C．【点评】本题主要考查已知函数的关系式求函数值的问题．这里经常取一些特殊点代入，要注意特殊点的选取技巧．6.已知点M(x，y)是圆的内部任意一点，则点M满足y≥x的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是A.

B.

C.

D.参考答案：8.函数的最小值为（

）A．1103×1104

B．1104×1105

C．2006×2007

D．2005×2006参考答案：A9.已知点在圆：上运动，则点到直线：的距离的最小值是（

）A． B． C． D．参考答案：D10.已知函数f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，﹣1]参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性；抽象函数及其应用．【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）=x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．【解答】解：函数g（x）的导数g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递减，则[，2]上递增，g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，即当≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，即恒成立，即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，当在≤x≤2时，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，由于h′（1）=0，∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，当1≤x≤2时，h′（x）＜0，∴h（x）≤h（1）=1，∴a≥1．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设f(sina+cosa)=sina?cosa,则f(sin)的值为______。参考答案：12.设球的半径为时间的函数，若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为

.参考答案：1略13.若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则

参考答案：数列为等比数列，通项为略14.如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则以为顶点，以球被平面截得的圆为底面的圆锥的全面积为

。参考答案：

15.已知a，bR，2a2-b2=1，则|2a-b|的最小值为

.参考答案：116.已知，且，则=___________。参考答案：17.函数在点处的切线方程为__________________________;参考答案：4x-y-4=0略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频数=频率×样本容量，频率=对应矩形面积，构造关于n的方程，解方程可得该组织的人数；（2）先计算出第3，4，5组中每组的人数，进而根据比例，可得到应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者；（3）选求出这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答： 解：（1）由题意：第2组的人数：35=5×0.07?n，得到：n=100，故该组织有100人．…（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．∵第3，4，5组共有60名志愿者，∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：．∴应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．…（3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1B2，第5组的1名志愿者为C1．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有15种．其中第3组的3名志愿者A1，A2，A3，至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种，则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为．

…点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．19.如图，点C是以A，B为直径的圆O上不与A，B重合的一个动点，S是圆O所在平面外一点，且总有SC⊥平面ABC，M是SB的中点，AB=SC=2．（1）求证：OM⊥BC；（2）当四面体S﹣ABC的体积最大时，设直线AM与平面ABC所成的角为α，求tanα．参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明BC⊥平面SAC，BC⊥SA，OM平行于SA，可得OM⊥BC；（2）求出四面体S﹣ABC的体积最大时，，取BC的中点N，连接MN，AN，则MN与SC平行，MN⊥平面ABC，则α=∠MAN，即可求tanα．解答： （1）证明：由于C是以AB为直径的圆上一点，故AC⊥BC又SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又SC∩AC=C，∴BC⊥平面SAC，BC⊥SA，∵O，M分别为AB，SB的中点，∴OM平行于SA，∴OM⊥BC…（2）解：四面体S﹣ABC的体积，当且仅当时取得最大值…取BC的中点N，连接MN，AN，则MN与SC平行，MN⊥平面ABC，则α=∠MAN，∴…点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查四面体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.（本小题满分12分）

某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案：解:（1）当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了88辆．……………4分（2）设每辆车的月租金定为x元，则公司月收益为f（x）＝（100－）（x－150）－×50………8分整理得:f（x）＝－＋162x－2100＝－（x－4050）2＋307050∴当x＝4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）＝307050元…………12分21.中，三个内角的对边分别为，若，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的面积.参考答案：（Ⅰ）∵，∴，∴∴，∴，∴.（Ⅱ）根据余弦定理可知，∴，又因为，∴，∴，∴，则.22.已知等比数列{an}、等差数列{bn}，满足a1＞0，b1=a1﹣1，b2=a2，b3=a3且数列{an}唯一．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{an?bn}的前n项和．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，从而可得（q﹣1）2=，从而结合数列{an}唯一可得a1=1，q=2；从而解得．（2）化简an?bn=（2n﹣2）2n﹣1，结合通项公式的形式可知利用错位相减法求其前n项和．【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵b1=a1﹣1，b2=a2，b3=a3，且{bn}为等差数列，∴2a2=（a1﹣1）+a3，即2a1q=（a1﹣1）+a1q2，即（q﹣1）2=，∵数列{an}唯一，∴q在{q|q≠0}上只有一个解，∴（q﹣1）2=中有一个解为q=0，故=1，此时，a1=1，q=2；故数列{an}是以1为首项，2为公