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四川省成都市棕北联合中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期是π,若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数f(x)的图象()A.关于点(,0)对称 B.关于x=对称C.关于点(,0)对称 D.关于x=对称参考答案:D【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】由已知求出满足条件的ω,φ值,求出函数的解析式,进而分析出函数f(x)的对称性,可得答案.【解答】解:∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期是π,∴ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),将其图象向右平移个单位后得到的函数g(x)=sin[2(x﹣)+φ]的图象,若得到的函数为奇函数,则g(0)=sin[2?(﹣)+φ]=0,即φ﹣=kπ,k∈Z∵|φ|<,故φ=,故f(x)=sin(2x+),∵当2x+=+kπ,即x=+,k∈Z时,函数取最值,故函数f(x)的图象的对称轴方程为:x=+,k∈Z当k=0时,x=为函数f(x)的图象的一条对称轴,故选:D2.若f(a)=(3m-1)a+b-2m,当m∈[0,1]时f(a)≤1恒成立,则a+b的最大值为

A.

B.

C.

D.

参考答案:D3.六位同学站成一排照毕业相,甲同学和乙同学要求相邻,并且都不和丙丁相邻,则一共有多种排法()A.72 B.144 C.180 D.288参考答案:A【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.【分析】先把甲乙捆绑在一起看做一个复合元素,分这个复合元素在两端,和这个复合元素在不在两端,根据分类计数原理可得【解答】解:先把甲乙捆绑在一起看做一个复合元素,若这个复合元素在两端,从不包含丙丁的2人选1人,和复合元素相邻,剩余的全排即可,故有A22A22A21A33=48种,若这个复合元素在不在两端,从不包含丙丁的2人选2人,分别放在这个复合元素两边,这4人捆绑在一起组成一个新的复合元素,再和丙丁全排即可,故有A22A22A33=24种,根据分类计数原理可得,共有48+24=72种,故选:A4.已知函数的图像关于直线对称,则的单调递增区间为A.

B.C.

D.参考答案:A略5.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(﹣3)等于(

)A.2 B.3 C.6 D.9参考答案:C【考点】函数的值.【专题】压轴题.【分析】根据关系式f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,令x=y=0求出f(0),再令x=y=1,求出f(2),同样的道理求出f(3),最终求出f(﹣3)的值.【解答】解:令x=y=0?f(0)=0,令x=y=1?f(2)=2f(1)+2=6;令x=2,y=1?f(3)=f(2)+f(1)+4=12,再令x=3,y=﹣3得0=f(3﹣3)=f(3)+f(﹣3)﹣18?f(﹣3)=18﹣f(3)=6故选C.【点评】本题主要考查已知函数的关系式求函数值的问题.这里经常取一些特殊点代入,要注意特殊点的选取技巧.6.已知点M(x,y)是圆的内部任意一点,则点M满足y≥x的概率是(

)A.

B.

C.

D.参考答案:D7.若正三棱柱的三视图如图所示,该三棱柱的表面积是A.

B.

C.

D.参考答案:8.函数的最小值为(

)A.1103×1104

B.1104×1105

C.2006×2007

D.2005×2006参考答案:A9.已知点在圆:上运动,则点到直线:的距离的最小值是(

)A. B. C. D.参考答案:D10.已知函数f(x)=﹣5,若对任意的,都有f(x1)﹣g(x2)≥2成立,则a的取值范围是()A.(0,+∞) B.[1,+∞) C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,﹣1]参考答案:B【考点】利用导数研究函数的单调性;抽象函数及其应用.【分析】根据不等式恒成立,利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立,构造函数h(x)=x﹣x2lnx,求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可.【解答】解:函数g(x)的导数g′(x)=3x2﹣2x=x(3x﹣2),∴函数g(x)在[,]上递减,则[,2]上递增,g([)=,g(2)=8﹣4﹣5=﹣1,若对任意的,都有f(x1)﹣g(x2)≥2成立,即当≤x≤2时,f(x)≥1恒成立,即恒成立,即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立,令h(x)=x﹣x2lnx,则h′(x)=1﹣2xlnx﹣x,h′′(x)=﹣3﹣2lnx,当在≤x≤2时,h′′(x)=﹣3﹣2lnx<0,即h′(x)=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减,由于h′(1)=0,∴当≤x≤1时,h′(x)>0,当1≤x≤2时,h′(x)<0,∴h(x)≤h(1)=1,∴a≥1.故选:B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设f(sina+cosa)=sina?cosa,则f(sin)的值为______。参考答案:12.设球的半径为时间的函数,若球的体积以均匀速度增长,则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为

.参考答案:1略13.若等差数列的首项为公差为,前项的和为,则数列为等差数列,且通项为.类似地,请完成下列命题:若各项均为正数的等比数列的首项为,公比为,前项的积为,则

参考答案:数列为等比数列,通项为略14.如图,已知球是棱长为1的正方体的内切球,则以为顶点,以球被平面截得的圆为底面的圆锥的全面积为

。参考答案:

15.已知a,bR,2a2-b2=1,则|2a-b|的最小值为

.参考答案:116.已知,且,则=___________。参考答案:17.函数在点处的切线方程为__________________________;参考答案:4x-y-4=0略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.近年来,我国许多省市雾霾天气频发,为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召n名义务宣传志愿者,成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5组:第1组,得到的频率分布直方图如图所示,已知第2组有35人.(1)求该组织的人数;(2)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动,应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者?(3)在(2)的条件下,该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率.参考答案:考点:古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图.专题:概率与统计.分析:(1)根据频数=频率×样本容量,频率=对应矩形面积,构造关于n的方程,解方程可得该组织的人数;(2)先计算出第3,4,5组中每组的人数,进而根据比例,可得到应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者;(3)选求出这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案.解答: 解:(1)由题意:第2组的人数:35=5×0.07?n,得到:n=100,故该组织有100人.…(2)第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10.∵第3,4,5组共有60名志愿者,∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:;第4组:;第5组:.∴应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.…(3)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种.其中第3组的3名志愿者A1,A2,A3,至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),共有12种,则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为.

…点评:本题考查的知识点是古典概型概率计算公式,其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤,是解答的关键.19.如图,点C是以A,B为直径的圆O上不与A,B重合的一个动点,S是圆O所在平面外一点,且总有SC⊥平面ABC,M是SB的中点,AB=SC=2.(1)求证:OM⊥BC;(2)当四面体S﹣ABC的体积最大时,设直线AM与平面ABC所成的角为α,求tanα.参考答案:考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角.专题:计算题;空间位置关系与距离;空间角.分析:(1)证明BC⊥平面SAC,BC⊥SA,OM平行于SA,可得OM⊥BC;(2)求出四面体S﹣ABC的体积最大时,,取BC的中点N,连接MN,AN,则MN与SC平行,MN⊥平面ABC,则α=∠MAN,即可求tanα.解答: (1)证明:由于C是以AB为直径的圆上一点,故AC⊥BC又SC⊥平面ABC,SC⊥BC,又SC∩AC=C,∴BC⊥平面SAC,BC⊥SA,∵O,M分别为AB,SB的中点,∴OM平行于SA,∴OM⊥BC…(2)解:四面体S﹣ABC的体积,当且仅当时取得最大值…取BC的中点N,连接MN,AN,则MN与SC平行,MN⊥平面ABC,则α=∠MAN,∴…点评:本题考查线面垂直的判定与性质,考查四面体体积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.20.(本小题满分12分)

某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.

(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?参考答案:解:(1)当每辆车月租金为3600元时,未租出的车辆数为=12,所以这时租出了88辆.……………4分(2)设每辆车的月租金定为x元,则公司月收益为f(x)=(100-)(x-150)-×50………8分整理得:f(x)=-+162x-2100=-(x-4050)2+307050∴当x=4050时,f(x)最大,最大值为f(4050)=307050元…………12分21.中,三个内角的对边分别为,若,,且.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若,,求的面积.参考答案:(Ⅰ)∵,∴,∴∴,∴,∴.(Ⅱ)根据余弦定理可知,∴,又因为,∴,∴,∴,则.22.已知等比数列{an}、等差数列{bn},满足a1>0,b1=a1﹣1,b2=a2,b3=a3且数列{an}唯一.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)求数列{an?bn}的前n项和.参考答案:【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.【专题】计算题;转化思想;等差数列与等比数列.【分析】(1)设等比数列{an}的公比为q,从而可得(q﹣1)2=,从而结合数列{an}唯一可得a1=1,q=2;从而解得.(2)化简an?bn=(2n﹣2)2n﹣1,结合通项公式的形式可知利用错位相减法求其前n项和.【解答】解:(1)设等比数列{an}的公比为q,∵b1=a1﹣1,b2=a2,b3=a3,且{bn}为等差数列,∴2a2=(a1﹣1)+a3,即2a1q=(a1﹣1)+a1q2,即(q﹣1)2=,∵数列{an}唯一,∴q在{q|q≠0}上只有一个解,∴(q﹣1)2=中有一个解为q=0,故=1,此时,a1=1,q=2;故数列{an}是以1为首项,2为公

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