2022-2023学年河北省沧州市黄骅新世纪中学高二数学理期末试题含解析

2022-2023学年河北省沧州市黄骅新世纪中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交

D．与a，b都平行参考答案：C2.在同一平面直角坐标系中，将直线按：变换后得到的直线为l，若以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程为（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据直线直角坐标方程，将直线上的点按坐标变换得到直线的方程；利用直角坐标与极坐标的互化公式，写出直线的极坐标的方程；【详解】将直线按变换后得到的直线，，即，化为极坐标方程为.故选A.【点睛】本题考查了坐标变换的应用，极坐标与直角坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的连续函数，且在处存在导数，若函数f(x)及其导函数满足，则函数f(x)(

)A.既有极大值又有极小值 B.有极大值，无极小值C.既无极大值也无极小值 D.有极小值，无极大值参考答案：C【分析】由，由于，可得，当时，，令，可得，利用其单调性可得：当时，取得极小值即最小值，，进而得出函数的单调性.【详解】因为，，所以，所以，因为函数是连续函数，所以由，可得，代入，可得，所以，当时，，令，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，取得极小值即最小值，所以，所以函数在上单调递增，所以既没有极大值，也没有极小值，故选C.【点睛】该题考查的是有关判断函数有没有极值的问题，涉及到的知识点有导数与极值的关系，导数的符号与函数单调性的关系，在解题的过程中，求的解析式是解题的关键.

4.已知++=0，||=2，||=3，||=，则向量与的夹角为（）A．60° B．45° C．30° D．以上都不对参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把已知向量等式变形，两边平方后展开数量积公式得答案．【解答】解：∵++=0，且||=2，||=3，||=，∴，设向量与的夹角为θ，则=，即19=4+2×2×3×cosθ+9，∴cosθ=，则θ=60°．故选：A．5.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种

B．10种

C．9种

D．8种参考答案：A略6.已知函数f（x）=6﹣x3，g（x）=ex﹣1，则这两个函数的导函数分别为（）A．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=ex B．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=ex﹣1C．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=ex D．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=ex﹣1参考答案：C【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的运算法则求导即可．【解答】解：f′（x）=﹣3x2，g′（x）=ex，故选：C7.已知不等式对一切正整数n恒成立，则实数a的范围为（）A．（0，3） B．（1，3） C．（2，4） D．（3，+∞）参考答案：B【考点】数列的求和．【分析】由于，于是原不等式化为＞，由于不等式对一切正整数n恒成立，可得log2（a﹣1）+a﹣，化简整理利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵，∴不等式，化为＞，由于不等式对一切正整数n恒成立，∴log2（a﹣1）+a﹣，化为4﹣a＞log2（a﹣1），∴1＜a＜3．故选：B．8.已知两个正数a，b的等差中项为4，则a，b的等比中项的最大值为()A．2

B．4

C．8

D．16参考答案：B9.已知定义在R上的函数f(x)满足其导函数在R上恒成立，则不等式的解集为（

）A．(－1,1)

B．(0,1)

C．(1,+∞)

D．(－∞,－1)∪(1,+∞)参考答案：D10.把15个相同的小球放到三个编号为1,2,3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（

）A.18 B.28 C.38 D.42参考答案：B【分析】根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3.个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案．【详解】根据题意，15个相同的小球放到三个编号为1,2,3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有种不同的放法，即有28个不同的符合题意的放法；故选B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将个球放入个盒子的问题，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（文科学生做）设函数是奇函数，则实数的值为

．参考答案：12.已知函数的自变量取值区间为,若其值域也为,则称区间为的保值区间.若函数的保值区间是,则的值为

.参考答案：13.在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球至少有一个红球的概率是_______（用分数表示）．参考答案：14.有一堆数量足够多的规格一样的正方体模具，计划从现有的6种颜色涂料中选出5种颜色涂料对以上模具进行染色，要求每个面只染一种颜色，每两个有公共棱的面不能同色，恰用了5种颜色，称为“五色模具”，若有两个正方体经翻转后，6个面颜色都对应相同，则视为相同“五色模具”，则可得到不同的“五色模具”的个数为

.参考答案：90略15.小明所在的高二年级共有1500名同学，现在以简单随机抽样的方式抽取30名同学来填写调查问卷，则小明被抽到的概率为

．参考答案：用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为，故答案为.

16.给出下列五个命题：①过点(–1,2)的直线方程一定可以表示为y–2=k(x+1)；②过点(–1,2)且在x轴、y轴截距相等的的直线方程是x+y–1=0；③过点M(–1,2)且与直线l:Ax+By+C=0(AB≠0)垂直的直线方程是B(x+1)+A(y–2)=0；④设点M(–1,2)不在直线l:Ax+By+C=0(AB≠0)上，则过点M且与l平行的直线方程是A(x+1)+B(y–2)=0;⑤点P(–1,2)到直线ax+y+a2+a=0的距离不小于2.

以上命题中，正确的序号是

.参考答案：④⑤.17.已知双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为

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．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某市教育部门对甲校四年级学生进行体育学科测试，随机抽取15名学生的测试成绩，绘制茎叶图如图：（Ⅰ）依据上述数据，估计甲校此次的体育平均成绩；（Ⅱ）从得分在70～80之间的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生的平均成绩为，求|﹣|≤1的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）读取茎叶图数据，求得平均数（Ⅱ）列举从得分在70～80之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件个数，满足|﹣|≤1的结果个数得出结果．【解答】解：（Ⅰ）==77．…（Ⅱ）从得分在70～80之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件：{75，77}，{75，73}，{75，78}，{75，79}，{77，73}，{77，78}，{77，79}，{73，78}，{73，79}，{78，79}共10个；其中满足|﹣|≤1的事件：{75，77}，{75，78}，{75，79}，{77，78}，{77，79}，{73，79}共6个．所以满足|﹣|≤1的概率P==．…19.已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切.过点P(－4,0)作斜率为的直线，使得和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|·|PB|＝|PC|2.(1)求双曲线G的渐近线的方程；(2)求双曲线G的方程；(3)椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分AB，若P（x,y）（y>0）为椭圆上一点，求当的面积最大时点P的坐标.参考答案：解：(1)设双曲线G的渐近线的方程为y＝kx，则由渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切可得＝，所以k＝±，即双曲线G的渐近线的方程为y＝±x.

…

3分(2)由(1)可设双曲线G的方程为x2－4y2＝m，把直线的方程y＝(x＋4)代入双曲线方程，整理得3x2－8x－16－4m＝0，则xA＋xB＝，xAxB＝－.(*)∵|PA|·|PB|＝|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，∴(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，即(xB＋4)(－4－xA)＝16，整理得4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0.将(*)代入上式得m＝28，∴双曲线的方程为－＝1.

…

7分(3)由题可设椭圆S的方程为＋＝1(a>2)，设垂直于的平行弦的两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为P(x0，y0)，则＋＝1，＋＝1，两式作差得＋＝0.由于＝－4，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，所以－＝0，所以，垂直于的平行弦中点的轨迹为直线－＝0截在椭圆S内的部分.又由已知，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以＝，即a2＝56，故椭圆S的方程为＋＝1.

…11分

由题意知满足条件的P点必为平行于AB且与椭圆相切的直线m在椭圆上的切点，易得切线m的方程为，解得切点坐标，则P点的坐标为

…13分20.（12分）（2015秋?洛阳期中）解关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）．参考答案：【考点】一元二次不等式的解法．

【专题】不等式的解法及应用．【分析】由﹣1＜a＜0，a=0，0＜a＜1，a≥1，进行分类讨论，由此利用分类讨论思想和一元二次方程的解法能求出原不等式的解集．【解答】解：（1）当a=0时，有﹣2x＜0，∴x＞0．（2）a＞0时，∵△=4﹣4a2．①当△＞0，即0＜a＜1．方程ax2﹣2x+a=0的两根为=，∴不等式的解集为{x|＜x＜}．②当△=0，即a=1时，有x2﹣2x+1＜0，∴x∈?；③当△＜0，即a＞1时，方程ax2﹣2x+a=0无实数根，不等式ax2﹣2x+a＜0无解，∴x∈?．（3）当﹣1＜a＜0时，△＞0，不等式ax2﹣2x+a＜0的解集为{x|x＜或x＞}．综上，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：当﹣1＜a＜0时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|x＜或x＞}；当a=0时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|x＞0}；当0＜a＜1时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|＜x＜}．当a≥1时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：?．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．21.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若点(x，y)是圆C上的动点，求x+y的最大值.参考答案：（Ⅰ）将圆C的参