高等教育离散数学云昂版答案

将下列命题符号化，并真值1；e1；数，q:21；0；┐p∧┐q,其中，p:4q:4将下列命题符号化，并真值1；1；p∨┐q,其中，p:3q:41；┐p∨┐q,其中，p:3q:4p：选，q：选学日pq件为真，后件为情况）；前件为真，后件为情况）；（3）pq，0，否则，p→r1.5.(1)：∨∨00、10、：0，式，无成真赋值：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、00、 7.(1)：∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，式11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧(2)：∨∨∨∨∨∨∨(3)：0⇔∧∧∧12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1Ap,Bq，*1(p→q)∧p→q⇒⇔(┐p∨q)∧q⇔q⇔⇔∨但不考虑内在联系时，*2(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p)(记为⇔(┐p∨┐q) ⇔(┐p∨q) ⇔∨∨5W略证明题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ① ② ③ ④ ②③析取⑤ ⑥ ① ② ③(┐p∨q)∧(┐p∨p)④ ⑤ 15.(1)① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ （2）① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 16.(1)① ②p→ ③┐q ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ （2）① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 口 前提引⑾①口┐(p∨q)∧(p∨q)17．p：A，q:A11，r：A，s：A。前提：(p∧┐q)→r,p,q→s,┐s①q→s②┐s③┐q④p⑤p∧┐q⑥（p∧┐q）→r⑦r18．（1）设p：今天是星期六，q：我们要到玩，s：游人太多。前提：p→(p∨r),s→┐q,p,s① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③⑥析取（2）设p:是理科学生，q：数学成绩好，r：是文科学生。前提：p→q,┐r→p,┐q① ② ③ ④ ⑤ 4.(1)┐x(F(x)∧┐G(x))⇔x(F(x)→G(x),F(x)：x,G(x)：x┐x(F(x)→G(x))⇔x(F(x)∧┐G(x)),其中,F(x)：x在卖菜,G(x)：x是x(F(x)→G(x)),其中,F(x)：x,G(x)：xxF(x)∧G(x)),其中,F(x)：x是人,G(x)：x天天锻炼身体。 域,因而使用全总域。5.(1)xy(F(x)∧G(y)→H(x,y)),其中,F(x)：x,G(y)：y,H(x,y)：xyxy(F(x)∧G(y)→H(x,y)),其中,F(x)：x,G(y)：yH(x,y)：xy┐x(F(x)∧y(G(y)H(x,y)))⇔x(F(x)y(G(y)┐H(x,y))),其中,F(x)：x是汽车,G(y)：y,H(x,y)：xy┐x(F(x)→y(G(y)H(x,y)))⇔xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y))),其中,F(x)：x车,G(y)：y,H(x,y)：xyxy(x．y=xy(x．y=xy(yxy(x．y=xy(x．y=x+xy(x+y＜09.(1)xy,x＜y,x≠xy,x–y=0,xy,x＜y,xy,x–y＜0,其中,(1)(3)1(2)与(4)取解释I为：域为自然数集合N,F(x,y)：x≤y,在下,xyF(x,y)为真,而xyF(x,y)也为真(只需取x=0即可),于是(3)中为真,取解释为：域仍为自然数集合N,而F(x,y)：x=y。此时,xyF(x,y)为真(取y为x即可),可是xyF(x,y)为假,于是(3)中在下为假,这说明(3)中为可满足式。IIxyF(x,y)xyF(x,y)→yxF(x,y)为真,若前件xyF(x,y)为真,必存在I的域D1中的常项x0,yF(x0,y)y∈,F(x0,y)x0∈,F(x0,y)为真,所以xF(x,y)为真,又其中y是任意变项,所以yxF(x,y)为真,由于I的任意性,所以(4)中为永真取解释为：域为自然数集合,F(x,y)：x=y在下,(5)中为真,而将F(x,y)改为F(x,y)：x＜y,(5)中就为假了,所以它为可满足式。13．（1）取解释为：域为自然数集合N，F（x）：x为奇数，G（x）：x为偶数，在下x（F（x）∨G（x））取解释为：域为整数集合Z，F（x）：x为正整数，G（x）：x为为负整数，在下x（F（x）∨G（x））（2）与（3）提示：对每个分别找个成真的解释，一个 解释2.(1)(F(a)∧F(b)∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(a)∨G(b)∨G过演算真值分别为：1,0,1.x⇔x⇔(F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4x，辖域为(F(x)→G(x,y)),F(xG(x,y)x(F(x)∧(G(y)→H(x,y)))≠(F(x)∧G(y)→Hxy(F(x)→xt(x,y)→x4((F(,y)→G(,y))∧(G(,y)((F()→G(,))→(H()→L(,(F(,)→(F()→┐G(,13.(1)xy(F(x)∧G(y)∧H(x,y)),其中，F(x):x，G(y)：y，H(x，y)：xxy(F(x)∧G(y)→H(x,y)),其中，F(x):x，G(y)：y，H(x，y)：xxy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y)),其中，F(x):x，G(y)：y，H(x，y)：xyxy(F(x)∧G(y)┐H(x,y)),其中，F(x):x，G(y)：y，H(x，y)：xy14.(1)F(x)xG(x)EIF(x)→xG(x)<=>x(F(y)→G(x))因为量词辖域(F(y)→G(x))xy，EI对xF(x)→yG(y)也应先化成前束范式才能消去量词，其前束范式为x→G(y)),UIEIA(c)/∴x(x)其中c为特定的常项，这里A(y)=F(y)→G(y)不满足要求如，F(x):x，G(x):xF(3)∧G(4)F(x)∧G(x)为真的个这里c为常项，不能对F(c)→G(c)引入全称量词15.(1)证明：① 前提引②xF(x)→y((F(y)∨G(y)) ③y((F(y)∨G(y)) ⑧ 证明① 前提引② ⑧ 证明：①┐ 前提引② ④ ③⑤析取⑦ 证明① 前提引 ③ ⑤x ④⑥析取 ②⑦析取⑨ 17．20.(1)与(2)前提:x(F(x)→G(x))，F(6)结论(2)设F(x)：x是大学生，G(x):x是勤奋的，a：。前提:x(F(x)→G(x))，┐G(a)结论前提:x(F(x)→G(x))，x(F(x)∧H(x))结论:前提:x((F(x)∨G(x))→H(x))，x(I(x)→┐H(x))结论:证明① 前提引 ③ ②⑤假言⑦ 前提:x(┐F(x)→┐G(x))，x(G(x)∨H(x))，x┐H(x)结论:证明① 前提引 ③ ②④析取⑥x(F(x) ⑨ 前提:x(F(x)→G(x))，x(G(x)∧H(x)→I(x))，a：王大海，F(a)，H(a)证明 前提引② ⑥

4.(1)③(2)④(3)⑤(4)⑦(5)6.只有(2)9.(1){4}；(2){1,3,5,6}；(3){2,3,4,5,6}；(4){,{1}}；(5){{411.(1)；(2)22.(2)、(3)、(4)、(8)、(10)24.(1)(P-Q)=P⇒(P-Q)∩Q=P∩Q⇒=(2)(3)(4)的反例：P={1}，Q26.(A–B)∪(B–A)= B)∪(B∩=(A∪B)∩( A)∩( =(A∪B)∩E∩(A∩B)=(A∪B)-27.(1)(A-B)-C= C=A∩(B∪C)=A-(2)(A-C)-(B- (B∩ B∪C)=(A∩ C=(A–B)-(3)(A–B- C C∩28.(1)A∩(B∪A)=(A∩B)∪(A∩A)(2) A) ( =(A∩B)∪A=26(A-B)∪(B-A)=(A∪B)–(A∩B)，故(A-B)∪(B-A)A∪B。假若x∈A∩B，x∈A∪B，因此x(A∪B)-(A∩B),与(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)=A∪BAB⇔x(x∈A→x∈B)⇔x(xB→x⇔ AB A∪AA∪B⇒ 而A∪BE，因此AB A∪B=E反之A∪B=E⇒ A∪B)=A⇒A∩B=A⇒A综合上述，A A∪B=AB⇒A-B=⇒A-BA-BB⇒(A-B)∪BB⇒A∪BB⇒A∪B=B⇒AAB⇔A-Bx,x∈A⇒{x}A=>{x}∈P(A)=>{x}∈P(B)=>{x}B⇒CA∧CBCA∩B,x,x∈Cx∈C∧x∈Cx∈A∧x∈Bx∈A∪B,从而得CA∪B.CA∩B⇒CA∧CB，CA∩BA,CA∩BBPQ⇒P-Q=⇒P- P，反之，P-QP P∩(P-Q)P∩P⇒P-Q=⇒PX=，则有∪YY=.AB⇒ A A⇒EB∪A因为E为全集 AE综合上述 A∩CB∩C,A-CB-C，A∪CB∪D(A∩C)∪(A-C)(B∩C)∪(B-C)~ C)(B∩C)∪(B∩~ C) C)⇒A∩EB∩E⇒A39.x，x∈P(A)⇒xA⇒xB⇒x∈P(B)，P(A)40.(1)xx∈P(A)∩P(B)⇔x∈P(A)∧x∈P(B)⇔xA∧xB⇔x(2)xx∈P(A)∪P(B)⇔x∈P(A)∨x∈P(B)⇔xA∧x~x注意与(1)的推理不同，上面的推理中有一步是“⇒”符号，而不是“⇔(3)反例如下：A{1}，B{2}，则P(A)∪P(B)={,{1},{2}}P(A∪B)={3.(1)任取<x,y<x,y>∈(A∩B)×(C∩D)<=>x∈A∩B∧y∈C∩⇔x∈A∧x∈B∧y∈C∧y∈⇔(x∈A∧y∈C⇔<x,y>∈A×C∧<x,y(2)A={1},B={1,2},C={2},D4.(1)为假,反例如下:A={1},B=,C=为真,证明如下:任取<x,y>A=即可;为假,反例如下:A7.={<2,2>,<3,3={<2.3>,<2,4>,<3,2>,<3,4>,<4,2>,<4,3>}9.(1){<1,2>,<1,4>,<1,6>,<2,1>,<2,2>,<2,4><2,6>,<4,1>,<4,2>,<4,4>,<4,6><6,2>,<6,4>12.（略13.A∩B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>},A∩BdomA={1,2,3},domB={1,2,4},dom(A∪B)=ranA={2,3,4},ranB={2,3,4},ran(A∪B)={4},fld(A-B)=14.RR=R=R{0,1}=R[{1,2}]={2,3}18.(1)F(G∪H)=FG∪FH任取<x,y><x,y>∈F⇔⇔⇔t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)∨⇔<x,t>∈FG∨<x,t>∈FH⇔<x,y>∈FG∪FH19.(2)y,y∈R[T∪W]⇔⇔⇔⇔x(x∈T∧<x,y>∈R)∨<x,y>∈F⇔<x,y>∈FA∧<x,y>∈F⇔<x,y>∈FA∩F20.(1)任取<x,y>,<x,y>∈(∪)<=><y,x>∈∪⇔<x,y>∈∨ (2)和(1)1+1≠10,<1,1>R,R<5,5>∈R,RxRy⇔x+y=10=>yRx,可知R是对称的,又由于<1,9>,<9,1>都是属于R,因此R不是称的22.(1)7.15(P148)具有反自反性、称性、传递性26.(1)R={<3,3>,<3,1>,<3,5>},=31.(1)R={<2,3>,<3,2>,<2,4>,<4,2>,<3,4>,<4,3>}∪；(2)R；32.(1)不是等价关系，因为<1,1>R，R(3)不是等价关系，因为<2,2>R，R(4)R(5)33．7.17[a]=[b]={a,b},[c]=[d]=x，x∈A⇒<x,x>∈R⇒~<x,x>∈R∧<x,x>∈⇒任取<x,y>,有<x,y>∈R∩~<y,x>∈∧<y,x>∈R⇒任取<x,y>,<y,z>,<x,y>∈R∩~<x,y>∈R∧<x,y>∈~(<x,y>∈R∧<y,z>∈R)∧(<x,y>∈~<x,z>∈R∧<x,z>∈R⇒反的。x,y∈A,<x,y>∈T⇔<x,y>∈R∧<y,x>∈R⇔<y,x>∈R∧<x,y>∈R⇒<y,x>∈T,T。x,y,z∈A,<x,y>∈T∧<y,z>∈T~T44.(a)偏序集<A,R>,A={1,2,3,4,5},R={<1,3>,<1,5>,<2,4>,<2,5>,<3,5>,<4,5>}∪偏序集<A,R>,A={a,b,c,d,e,f},R={<a,b>,<c,d>,<e,f>}∪偏序集R={<1,2>,<1,4>,<1,5>,<1,3>,<2,4>,<2,5>,<3,4>,<3,5>,<4,5>}∪45.(a)A={a,b,c,d,e,f,g}, (b)A={a,b,c,d,e,f,g},R46.7.19e,f；a,f；a,b,d,e；a,b,c,e；2.={,,…=========3.(1)双射，反函数=,f({8}=|8|),双射，反函数：R→R，（x）=logx,({1})= ({1,2})单射，({5})= ({2,3})=单射，({2,3})= ({1,3})=单射，({-1,2})= ({1})={-单射，((0,1))=(1/4,3/4),([1/4,1/2])=(8)单射，((0,1))=(1,+∞),({2,3})=4.(1)(2)(3)(4)(5)(6)5.(1)7.(1)结果不唯一，结果不唯一，mnmn,m=n.9.n!17.fg(x)=2x+7,bf(x)=2x+4,ff(x)=x+6,gg(x)=4xhf(x)=x/2+3,gh(x)=x+1/2,fh(x)=(x+5)/2ghf(x)=x18.ff(n)=n+2,gf(n)=2n+1,fg(n)=2n+2,gh(n)=0hg(n)=,hgf(n)=.19.(1)gf(x)=x+8x+14,fg(x)=x+2(3)gh，g:R→R,g(x)x–4;h:R→R,h(x)=fg:N→Nfg(x)21.(1)f()=f()，那么<,+1>=<,+1>。根据有序对相等的条件得ff<0,0>ran(3)ran={<n,n+24.(1)f=(2)f(x)=(3)f(x)=｜x｜-(4)f(x)=令:P(A)→2,(T)=Xт,假如,∈P(A),且≠,那么存在x只属于和之中的一个集合，不妨设x∈∧x ,因此<x,1>∈(),<x,0>∈()，于是（）≠（）,从而证明了是单射的，对于任意g∈2,令B={x｜x∈A,g(x)=1}，则B∈P(A),且(B)=Xв=g.令:[1,2]→[0,1],(x)=x–1,则为[1,2]到[0,1]的双射函数令:A→N,(x)=x/2,则为双射函数6.提示：根据A≈C,B≈D，存在双射：A→C,g:B→D,构造函数h：A×B→C×D,h(<a,=<(a),g(b)>h7.A={2n｜n∈N},B={29.(1)3∪6=6,2∩5=(2)4–3={3},3⊕1=(3)∪4=3,∩1=(4)1×4={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>},2={,,,}，其中:={<0,0>,<1,0>}={<0,0>,<1,1>}={<0,1>,<1,0>}={<0,1>,<1,1>}10.(1)3,(2),(3),(4),(5),(6)3.(1)可以，A={-4.(1)封闭(2)不封闭(4)加法不封闭，乘法封闭(5)不封闭(7)封闭(9)5.(1)加法满换律、结合律，乘法满足结合律，乘法对加法满足分配律加法和乘法都满换律、结合律，乘法对加法满足分配律乘法满换律、结合律乘法满换律、结合律乘法满换律、结合律6.(1)n0；nnMM；n0)对M.nMM0，xxn=11，只有两个可逆元素：1=1,(-1)=-n＞11，1，1=1，1，118.(1)不可交换。反例：<0,1>*<1,2>=<0,1>,<1,2>*<0,1>=可结合，因为<a,b>,<c,d>,<g,f>∈Q×(<a,b>*<c,d>)*<g,f>=<ac,ad+b>*=<acg,acf+ad+<a,b>*(<c,d>*<g,f>)=<a,b>*<cg,cf+=<acg,acf+ad+不是幂等的，因为<1,1>*<1,1>=(2)容易严整<1,0>为单位元，没有零元，当a≠0时，<a,b>的逆元为<1/a,- 换律、结合律、无单位元，零元是1； 15.(1)能(2)不能(3)不能(4)2.(1)5.(1)a*bb*a，a*baaba*bbb*aa。若为前者，则(a*b)*a=a*a=b,a*(b*a)=a*b=a与结合律，若为后者，(a*b)*a=b*a=a;a*(b*a)=a*a=也与结合律(2)b*b=aa*b=b*a=a，a*b=b*a=b(b*a)*a=a*a=b;b*(a*a)=b*b=与结合律，若为后者，(b*a)*a=b*a=b;b*(a*a)=b*b=也与结合律7.a+bi,c+di∈G(abi)+(cdi)=(ac)+(bd)i∈Ga+bi,c+di,e+i∈G,有((a+bi)+(c+di))+(e+i)=(a+c)+(b+d)i+(r+=(a+c+e)+(b+d+)(a+bi)+((c+di)+(e+i))=(a+c+e)+(b+d+)0，a+bia–bi9.能构成群，运算封闭。x,y,z∈A(xy)z=(x+y-2)z=(x+y-2)+z–2=x+y+z–4x(yz)=xо(y+z-2)=x+(y+z-2)–2=x+y+z–2，x4–x11．设矩阵A=,B=，C=，D=，11.7·ABCDAABCDBBADCCCDABDDCBA13.(2)a,b∈G(ab)(ba)=a(bb)a=aa=e(ba)(ab)=b(aa)b=bbaabm，nn，ma∈G，m=0,(a)=e=假设(a)=a，(a =(a)a=aa=a=(a)=(a)=((a))=(a)=a=aGnnN=0,(ab)=e=ee=a假设(ab)=ab,则 =(ab)(ab)=(ab)ab=a(b=a(ab)b=(aa)(bb)= n＜0,n=-m,m＞0(ab)=(ba)=(ba)=((ba))=(ab=(a)(b)=ab=a16.若x∈Gx=e,因此x∈Gx=x.x,y∈G，xy=(xy)=yx=17.a