理论力学课件八

第十六章虚位移原理在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。动力学2§16–1约束及其分类§16–2自由度广义坐标§16–3虚位移和虚功§16–4理想约束§16–5虚位移原理第十六章虚位移原理3

§16-1约束及其分类动力学

一、约束及约束方程

限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。

平面单摆例如：曲柄连杆机构4动力学根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通常按如下分类：二、约束的分类1、几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几何约束。当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束。例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。5动力学几何约束：运动约束：当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。约束条件不随时间改变的约束为定常约束。前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。2、定常约束和非定常约束例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长l0,匀速v拉动绳子。x2+y2=(l0-vt)2

约束方程中显含时间t6动力学如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达。3、完整约束和非完整约束如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。7在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为双面约束。只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单面约束。动力学例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，是微分方程，但经过积分可得到（常数），该约束仍为完整约束。

4、单面约束和双面约束几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。刚杆x2+y2=l2绳x2+y2l28动力学双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质点系的质点个数）9动力学

§16-2自由度广义坐标一个自由质点在空间的位置：（x,y,z)3个一个自由质点系在空间的位置：(xi

,yi

,

zi)(i=1,2……n)3n个对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s)个独立坐标。其自由度为k=3n-s。

确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。

例如,前述曲柄连杆机构例子中,确定曲柄连杆机构位置的四个坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程,因此有一个自由度。10动力学一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其自由度为通常，n与s很大而k很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的k个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个约束方程方便得多。用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,y,z,s等）也可以取角位移（如,,,等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。11动力学例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。12动力学

例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。两个自由度取广义坐标，13动力学

一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度，取q1、q2、……、qk为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。14动力学§16-3虚位移和虚功在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质点发生的为约束允许的任意的无限小位移，称为质点系（在该瞬时）的虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号表示虚位移。M15动力学

虚位移与真正运动时发生的实位移不同。实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，完全与时间无关。在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。而在非定常约束下，微小实位移不再是虚位移之一。16动力学质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系,确定这些关系通常有两种方法：(一)几何法。由运动学知，质点的位移与速度成正比，即因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。17动力学

(二)解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数（q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分，各质点的虚位移在直角坐标上的投影可以表示为18动力学[例1]分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。(已知OC=BC=a，OA=l)解：此为一个自由度系统，取OA杆与x轴夹角为广义坐标。1、几何法19动力学将C、A、B点的坐标表示成广义坐标的函数，得2、解析法对广义坐标求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：20动力三学力在质三点发三生的三虚位三移三上所三作的三功称三为虚功，记三为三。21动力三学§1三6-三4理想三约束如果三在质三点系三的任三何虚三位移三上，三质点三系的三所有三约束三反力三的虚三功之三和等三于零三，则三称这三种约三束为理想三约束三。质点三系受三有理三想约三束的三条件三：22动力三学理想三约束三的典三型例三子如三下：1、光三滑支三承面2、光三滑铰三链3、无三重刚三杆4、不三可伸三长的三柔索5、刚三体在三粗糙三面上三的纯三滚动23动力三学§1三6-三5虚位三移原三理一、三虚位三移原三理具有三定常三、理三想约三束的三质点三系，三平衡三的必三要与三充分三条件三是：三作用三于质三点系三的所三有主三动力三在任三何虚三位移三上所三作的三虚功三之和三等于三零。三即解析三式：24动力三学证明：(1)必要性：即质点系处于平衡时，必有∵质三点系三处于三平衡三∴三选取三任一三质点Mi也平三衡。对质点Mi的任一虚位移，有由于三是理三想约三束所以对整三个质三点系三：25动力三学(2三)充分三性：三即当三质点三系满三足三，质三点系三一定三平衡三。若三，三而质三点系三不平三衡，三则至三少有三第i个质三点不三平衡三。在方向上产生实位移，取，则对质点系：(理想约束下，)与前三题条三件矛三盾故时质点系必处于平衡。26动力三学二、三虚位三移原三理的三应用1、系统三在给三定位三置平三衡时三，求三主动三力之三间的三关系三；2、求系三统在三已知三主动三力作三用下三的平三衡位三置；3、求系三统在三已知三主动三力作三用下三平衡三时的三约束三反力三；4、求平三衡构三架内三二力三杆的三内力三。27动力三学例1图示三椭圆三规机三构，三连杆AB长l，杆重三和滑三道摩三擦不三计，三铰链三为光三滑的三，求三在图三示位三置平三衡时三，主三动力三大小P和Q之间三的关三系。解：研三究整三个机三构。三系统三的所三有约三束都三是完三整、三定常三、理三想的三。28动力三学1、几何法：使A发生虚位移，B的虚位移，则由虚位移原理，得虚功方程：由的任意性，得29动力三学2、解三析法由于三系统三为单三自由三度，可取为广三义坐三标。由于任意，故30动力三学解：这三是一三个具三有两三个自三由度三的系三统，三取角及为广三义坐三标，三现用三两种三方法三求解三。例2均质三杆OA及AB在A点用三铰连三接，三并在O点用三铰支三承，三如图三所示三。两三杆各三长2a和2b，各重P1及P2，设在B点加三水平三力F以维三持平三衡，三求两三杆与三铅直三线所三成的三角及。y31动力三学应用三虚位三移原三理，代入(a)式，三得：解法三一：32动力三学由于是彼此独立的，所以：由此三解得三：33动力三学而代入三上式三，得解法三二：先使保持不变，而使获得变分，得到系统的一组虚位移，如图所示。34动力三学再使保持三不变三，而三使获得三变分三，得三到系三统的三另一三组虚三位移三，如三图所三示。而代入三上式三后，三得：图示三中：35动力三学例3多跨三静定三梁，三求支三座B处反三力。解：将支座B除去，代入相应的约束反力。36动力三学37动力三学例4滑套D套在三光滑三直杆AB上，三并带三动杆CD在铅三直滑三道上三滑动三。已三知=0o时，三弹簧三等于三原长三，弹三簧刚三度系三数为三5(k三N/三m)，求在三任意三位置三（角）三平衡三时，三加在AB杆上三的力三偶矩M？解：这三是一三个已三知系三统平三衡，三求作三用于三系统三上主三动力三之间三关系三的问三题。三将弹三簧力三计入三主动三力，三系统三简化三为理三想约三束系三统，三故可三以用三虚位三移原三理求三解。38动力三学选择AB杆、CD杆和三滑套D的系三统为三研究三对象三。由虚三位移三原理三，得三：39动力三学以不三解除三约束三的理三想约三束系三统为三研究三对象三，系三统至三少有三一个三自由